2022秋高中数学章末检测3第三章圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册

这是一份2022秋高中数学章末检测3第三章圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册，共9页。
第三章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆＋＝1的离心率是(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝3，c＝＝＝．所以e＝＝．2．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)A．－＝1(y＞0) B．－＝1(x＞0)C．－＝1(y＞0) D．－＝1(x＞0)【答案】B【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，则c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x＞0)．3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面上升1m，则水面宽度为(　　)A．2m B．4mC．4m D．12m【答案】C【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py，又由当水面离拱顶2m时，水面宽8m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p·(－2)，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y．若水面上升1m，即y＝－1，则有x2＝8，解得x＝±2，此时水面宽度为2－(－2)＝4．4．(2021年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则下列选项中满足题意的方程为(　　)A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【解析】∵用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切，∴4ab＝144，即ab＝36．对于A，a＝9，b＝4，满足a＞b＞0且ab＝36，故A正确；对于B，a＝，b＝9，不满足a＞b＞0，故B错误；对于C，a＝10，b＝8，不满足ab＝36，故C错误；对于D，a＝8，b＝10，不满足a＞b＞0，故D错误．故选A．5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为(　　)A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，不妨设F为双曲线的右焦点，点P在第一象限．∵△FPQ为等腰直角三角形，F(2,0)，∴直线PF的方程为y＝－x＋2．∴可设P(x,2－x)，将其代入双曲线C的方程中，得x2－(2－x)2＝2，解得x＝，∴P，∴S△FPQ＝×2××＝．6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为(　　)A． B．(0,2]C． D．【答案】C【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|≥1，则＋＝＋≤＋1＝，则＋的取值范围为．故选C．7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝．设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝．所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝．8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为．将x＝代入圆D的方程，得y＝±．不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程，得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c．所以椭圆C的离心率e＝＝．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值可以是(　　)A．2 B．6C．4 D．8【答案】AC【解析】设M(x0，y0)，由点M在抛物线上，所以y＝2px0，由抛物线的方程可得准线的方程为x＝－，由题意可得x0＋＝3，|y0|＝＝2，解得p＝2或p＝4．10．关于双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝－1，下列说法正确的是(　　)A．它们的渐近线不相同 B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等【答案】ACD【解析】双曲线C1：－＝1的顶点坐标为(±3,0)，渐近线方程为4x±3y＝0，离心率为，焦距为10．双曲线C2：－＝－1，即－＝1，它的顶点坐标为(±4,0)，渐近线方程为3x±4y＝0，离心率为，焦距为10．故选ACD．11．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是(　　)A．双曲线C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4B．双曲线C的离心率为C．双曲线C上的点到点F的距离的最小值为2D．过点F的最短的弦长为【答案】ABC【解析】由题意可得2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝＝4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x±3y＝0，所以C的渐近线上的点到点F的距离的最小值为F到渐近线的距离d＝＝4，所以A正确；离心率e＝＝，所以B正确；双曲线上，顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确；过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为＝，而斜率为0时，弦长为实轴长2a＝6＜，所以最短的弦长为6，故D不正确．12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为【答案】BC【解析】由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，所以焦距2c＝2，所以A不正确；离心率e＝＝＝，所以B正确；C中，整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××＝－2＜0，所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内部，所以C正确；设P(x，y)，则由题意可得|PQ|＝－＝－＝－≥－＝，所以|PQ|的最小值为，所以D不正确．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．【答案】【解析】双曲线C：－＝1，则c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则点(3,0)到渐近线的距离d＝＝．14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．【答案】【解析】由双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，得＝，所以a＝2．所以双曲线的离心率为e＝＝＝．15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________．【答案】4　8【解析】由＋＝1知a＝5，b＝4，所以c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6．又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF1|＝10－6＝4．于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8．16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1,1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．【答案】2x－y－1＝0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，则y1＋y2＝2．又因为点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；(2)求以A(－3,0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4,2c＝2，则a＝2，c＝1，则b＝＝．若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1；故要求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．(2)要求双曲线以A(－3,0)为一个焦点，实轴长为2，则其焦点在x轴上，即c＝3,2a＝2，则a＝，b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C．(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB＝，代入抛物线的方程可得yB＝p，所以圆的半径R＝p．(2)直线AB与抛物线E相切．由(1)知A，|AF|＝p，B，C，则直线AB：y＝x＋，联立整理得x2－px＋＝0，所以Δ＝p2－p2＝0，所以直线AB与抛物线相切．19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求△AOB的面积．解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，所以双曲线的方程为－＝1．(2)由(1)可得F2(3,0)，F1(－3,0)，由题意设y＝(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与双曲线的方程整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|＝×3×＝·＝36．即△AOB的面积为36．20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．解：(1)因为S△FAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝．(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则＋y2＝1，＋＋y＝1，kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝．所以椭圆C的离心率e＝＝＝．21．(12分)(2021年汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过点M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．解：(1)由已知可得|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线．∴曲线C的方程为y2＝4x．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，即D．∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，从而2＋2＝6，kDE·k＝－1，即整理可得2＝2，即k＝±，∴m＝0，故直线l2的方程为x－y＝0或x＋y＝0．22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2,0)，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)点Q为左顶点，过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当•取得最大值时，求直线l的方程．解：(1)由题意可得a＝2，＝，则c＝，则b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2,0)，B(2,0)，此时·＝0；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，显然Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝(t2＋1)＋3t＋9＝＋9＝＋9＝，当t＝0时，·取最大值，最大值为．此时直线l方程为x＝1．