2022秋高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册

模块综合检测

 (时间：120分钟，满分150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　　)

A．36 B．35

C．34 D．33

【答案】D　【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33.

2．在4次独立重复试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　【解析】设事件A在一次试验中出现的概率是p.由事件A至少发生1次的概率为，可知事件A一次都不发生的概率为1－＝，所以(1－p)4＝，则p＝.

3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　【解析】P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.

4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C　【解析】记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，则P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.

5．已知二项式n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是(　　)

A．1 B．

C． D．3

【答案】D　【解析】由2n＝64得n＝6，Tr＋1＝Cx6－r·r＝Cx6－3r，令6－3r＝3，得r＝1，故含x3项的系数为C＝3.

6．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：

下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：

根据表中数据，计算χ2＝，若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过(　　)

A．0.05 B．0.1

C．0.01 D．0.005

【答案】A　【解析】完成2×2列联表

χ2＝＝4.8＞3.841＝x0.05.

7．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：

由表中数据，求得经验回归方程为＝0.8x＋，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力为(　　)

A．9.5 B．9.8

C．9.2 D．10

【答案】A　【解析】∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本点的中心为(7，5.5)，代入回归方程得5.5＝0.8×7＋，∴＝－0.1，∴y＝0.8x－0.1，当x＝12时，y＝0.8×12－0.1＝9.5.

8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　)

A．40种 B．30种

C．20种 D．60种

【答案】C　【解析】分类解决．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排，有A＝12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有A＝6(种)方法；甲排周三，乙，丙只能安排在周四和周五，有A＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知，共有12＋6＋2＝20(种)方法．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则(　　)

A．a0＝1

B．a1＋a2＋…＋a7＝129

C．a1＋a3＋a5＋a7＝8 256

D．a0＋a2＋a4＋a6＝8 128

【答案】BC　【解析】令x＝0，则a0＝－1，A错误；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①，所以a1＋a2＋…＋a7＝129，B正确；令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②，①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256，C正确；①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128，D错误．

10．设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)

A．E(X)＝2 B．D(X)＝1.4

C．E(Y)＝5 D．D(Y)＝7.2

【答案】ACD　【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD．

11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　)

A．若任意选择三门课程，选法总数为A

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C

【答案】ABD　【解析】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法，选法为CC；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，有CC种，由分类加法计数原理知，总数为CC＋CC，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝(C－C)种，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有CC种选法；②选化学，不选物理，有CC种选法；③物理与化学都选，有CC种选法，故总数为CC＋CC＋CC＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选ABD．

12．为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如下表：

其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝－0.8，经验回归方程为＝＋，则下列结论正确的为(　　)

A．点(，)必在回归直线上，即＝  ＋

B．变量x，y的相关性强

C．当x＝x1，则必有y＝y1

D．＜0

【答案】ABD　【解析】A．回归直线＝x＋过样本点中心(，)，即＝ ＋，所以A正确；B．相关系数r＝－0.8，|r|＞0.75，变量x，y的相关性强，所以B正确；C．当x＝x1时，不一定有y＝y1，因此C错误；D．因为r＝－0.8＜0，是负相关，所以＜0，D正确；故选ABD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．一射击测试中，每人射击3次，每击中目标一次记10分，没有击中目标记0分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值是________，得分的方差是________．

【答案】20　　【解析】记此人3次射击击中目标η次，得分为ξ分，则η～B，ξ＝10η，所以E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3××＝.

14．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________．

【答案】16　【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，令r＝0，得常数项为C·()9·x0＝()9＝16.

15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种(填数字)．

【答案】56　【解析】由题意可知，最终剩余的亮着的灯共有9盏，且两端的必须亮着，所以可用插空的方法，共有8个空可选，所以应为C＝56(种)．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．

解：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：

(1)4个名额全部分给某一个班，有C种分法；

(2)4个名额分给两个班，每班2个，有C种分法；

(3)4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有A种分法；

(4)4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有C·C种分法；

(5)4个名额分给四个班，每班1个，共有C种分法．

故共有C＋C＋A＋C·C＋C＝126(种)分配方法．

17．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．

解：5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，

令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝×C＝16.

又(a2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n，

由题意知2n＝16，得n＝4，

由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，

故有Ca4＝54，解得a＝±.

18．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

(1)求X的分布列；

(2)求此员工月工资的均值．

解：(1)依题意知X所有可能取值为0,1,2,3,4，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为

(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，

则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，

P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，

P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝＋＋＝.

所以E(Y)＝×3 500＋×2 800＋×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．

19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

已知在这30人中随机抽取1人，抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.

(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？

(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．

附：χ2＝.

解：(1)补充列联表如下：

由已知数据得χ2＝≈1.158＜2.706＝x0.1.所以，没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．

(2)X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以X的分布列为

X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

20．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算，把2016年编号为1,2017年编号为2，…，2020年编号为5)．

(1)以PM2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程＝x＋；

(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．

解：(1)由散点图可得，变量xi，yi组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，则＝3，

＝19，所以＝

＝3.1.

＝－＝19－3.1×3＝9.7.

所以所求经验回归方程为＝3.1x＋9.7.

(2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16，因为x∈N，所以x＝9.

故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．

21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同)，选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买任何一种型号的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m(m＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是.

(1)求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率；

(2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的均值；

(3)该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

解：(1)设“选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)X的所有可能的取值为0，m,2m,3m.

P(X＝0)＝C0×3＝，

P(X＝m)＝C1×2＝，

P(X＝2m)＝C2×1＝，

P(X＝3m)＝C3×0＝，

所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为

于是顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额的均值是

E(X)＝0×＋m×＋2m×＋3m×＝1.5m.

(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额，因此应有1.5m＜150，所以m＜100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．