2022秋高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第二册

这是一份2022秋高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第二册，共11页。

模块综合检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022年山东月考)在等差数列{an}中，若a21＋a33＝6，则a25＋a27＋a29＝(　　)
A．6　　 B．9
C．12　　 D．54
【答案】B　【解析】∵在等差数列{an}中，a25＋a29＝a21＋a33＝2a27＝6，∴a27＝3，∴a25＋a27＋a29＝3a27＝9.
2．已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是(　　)

【答案】C　【解析】函数f(x)＝ex－(x＋1)2，当x＝－1时，f(－1)＝e－1＝>0，故排除A，D．又∵f′(x)＝ex－2x－2，f″(x)＝ex－2＝0⇒x＝ln 2，当0 3．已知首项为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝，a7·a9＝，则a13＝(　　)
A．　　 B．
C．±　　 D．±
【答案】B　【解析】首项为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝＝a，∴a3＝.∵a7·a9＝＝a，∴a8＝.设公比为q，则＝q5＝，∴q＝，则a13＝a8·q5＝×＝.
4．(2022年通辽期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为(　　)
①y＝sin2x；②y＝tanx；③y＝，x∈(－2，＋∞)；④y＝ex－lnx.
A．①③ B．①④
C．①③④ D．②③④
【答案】C　【解析】y＝sin2x＝＝－cos 2x，所以y′＝sin 2x∈[－1，1]，其导函数上存在两点的导函数值乘积为－1，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；
y＝tan x，所以y′＝>0恒成立，不满足条件；
y＝，x∈(－2，＋∞)，所以y′＝其导函数上存在两点的导函数值乘积为－1，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；
y＝ex－ln x，所以y′＝ex－，函数y′＝ex－单调递增，且y′＝－3<－1，y′|x＝1＝e－1>1，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为－1，即这两点处的切线互相垂直，满足条件．故选C．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列结论错误的是(　　)
A．{an＋1}是等比数列
B．Tn－1＝－
C．an＋1＝2·
D．Tn<1
【答案】B　【解析】由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1)，又S1＝a1＝1，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1，即an＋1＝2n＋1－1.
又∵＝＝－，
∴Tn－1＝1－＋－＋…＋－－1＝－<0，
即Tn<1，Tn－1＝－＋1，∴B错误．
6．(2022年宁波开学)设定义在(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足>，则关于x的不等式f(x－3)－f(3)<0的解集为(　　)
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞)
【答案】A　【解析】∵f(x－3)－f(3)<0，∴(x－3)3·f(x－3)－27f(3)<0，∴(x－3)3f(x－3)<27f(3)．∵定义在(0，＋∞)的函数f(x)，∴3，∴xf′(x)>－3f(x)，∴xf′(x)＋3f(x)>0，∴x3f′(x)＋3x2f(x)>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)单调递增．又因为由上可知g(x－3) 7．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则λ的取值范围是(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】D　【解析】因为a1＋a2＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，所以a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2＋(n－1)(n∈N*，n≥2)，故an＝2n即an＝2n2，其中n≥2.而令n＝1，则a1＝12＋1＝2＝2×12，故an＝2n2，n≥1.bn＝＝，故Tn＝＝＝，故Tn<λ(n∈N*)恒成立，等价于<λ，即<λ恒成立，化简得到＋<λ.因为＋≤＋＝，故λ>.
8．(2022年合肥三模)若关于x的不等式(a＋2)x≤x2＋alnx在区间(e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最大值是(　　)
A．－1 B．
C． D．
【答案】D　【解析】∵(a＋2)x≤x2＋aln x在区间上有实数解，∴不等式变形为a(x－ln x)≤x2－2x.∵x∈，则x－ln x＞0，∴a≤.设f(x)＝，求f(x)的最大值．
∵f′(x)＝
＝，x∈，∴x－2ln x＋2＝x＋2(1－ln x)＞0，则1≤x≤e时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增；在上单调递减．又∵f(e)＝>0；f＝＝<0，即f(e)>f，∴f(x)max＝f(e)＝，则a≤，即实数a的最大值是.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．(2022年平和月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】ABC　【解析】因为在等比数列{an}中8a2＋a5＝0，设公比为q，所以8a2＋a2q3＝0，即q3＝－8，解得q＝－2，所以＝＝4，＝q＝－2，Sn＝＝，所以＝＝，＝＝.故选ABC．
10．(2021年北京模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
【答案】BD　【解析】根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f＇(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f＇(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点．因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－1不是函数的最小值点．因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，则y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，所以命题错误的选项为B，D．
11．(2022年山东模拟)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是(　　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
【答案】ABC　【解析】由等差数列的求和公式可得Sn＝na1＋d＝n2＋n，选项A，若d<0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d<0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有Sn>0，对应抛物线开口向上，d>0，可得数列{Sn}是递增数列，故正确；选项D，若数列{Sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有Sn>0，故错误．
12．(2021年枣庄期末)设函数f(x)＝，则(　　)
A．f(x)的定义域为∪
B．若a＝1，f(x)的极小值点为1
C．若a＝e，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增
D．若a>1，则方程f(x)＝1无实数根
【答案】ABD　【解析】由题意得解得x>0且x≠，故函数f(x)的定义域是∪，故A正确；当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝，令g(x)＝ln x－＋1，则g′(x)＝＋>0，g(x)在定义域递增，而g(1)＝0，故x∈∪时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故a＝1时，f(x)的极小值点是1，故B正确；a＝e时，f(x)＝，f′(x)＝，令h(x)＝ex(ln x＋1)－(ex＋1)，h′(x)＝ex＋，令k(x)＝ln x＋1＋(x>1)，则k′(x)＝，故k(x)在(1，)上递减，在(，＋∞)上递增，故k(x)>k()>0，故h′(x)>0，h(x)递增，而h(1)＝－1，h(e)＝ee＋ee－>0，故存在x0∈(1，e)，使得h(x0)＝0，即f′(x0)＝0，故f(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故C错误；由B得f(x)的极小值即f(x)的最小值为f(1)＝1，由C得f(x)的最小值是f(x0)＝>＝1，综合B，C，a＝1时，f(x)的最小值是1，a>1时，f(x)的最小值大于1，故若a>1，则方程f(x)＝1无实根，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2022年普宁期末)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则公差d＝________．
【答案】2　【解析】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51(n>3)可得an－2＋an－1＋an＝51，即3an－1＝51，an－1＝17，故a1＋an＝a2＋an－1＝20，故Sn＝＝10n＝100，n＝10，所以解得d＝2.
14．已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的两点P1(t1，f(t1))，P2(t2，f(t2))处的切线的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)　【解析】由题得f′(x)＝x2－2ax＋a(a≤1)，由已知得t1，t2为x2－2ax＋a＝c(c为常数)的两个不等实数根，所以t1＋t2＝2a，∵f(t1＋t2)＋m≥0恒成立，∴－m≤f(2a)(a≤1)恒成立．令g(a)＝f(2a)＝－a3＋2a2＋1(a≤1)，则g′(a)＝－4a2＋4a＝－4a(a－1)，当a∈(－∞，0)，g′(a)<0，当a∈(0，1)，g′(a)>0；∴g(a)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴[g(a)]min＝g(0)＝1，∴－m≤1，∴m≥－1.故实数m的取值范围是.
15．(2022年山东月考)函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上值域为________．
【答案】　【解析】f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，当x∈时，f′(x)≥0，故为增函数，所以f(x)max＝f＝e，f(x)min＝f(0)＝，所以f(x)的值域为
16．已知{an}是等差数列，{an＋bn}是公比为c的等比数列，a1＝1，b1＝0，a3＝5，则数列{an}的前10项和为________，数列{bn}的前10项和为________(用c表示)．
【答案】100　
【解析】因为{an}是等差数列，a1＝1，a3＝5，所以a3－a1＝2d＝4，解得d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以S10＝10×1＋×2＝100.因为{an＋bn}是公比为c的等比数列，且a1＋b1＝1，所以an＋bn＝cn－1，故bn＝cn－1－2n＋1，当c＝1时，T10＝＝－90，当c≠1时，T10＝(1＋c＋c2＋…＋c9)－(1＋3＋5＋…＋19)＝－100＋，综上T10＝
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在①a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列；②满足a5＝a6＋2a7，且a6＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且__________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn<.
(1)解：设等比数列的公比为q(q>0)，
若选择条件①，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，所以
即
解得
所以an＝a1qn－1＝8×＝24－n.
若选择条件②，由a5＝a6＋2a7，可得a1q4＝a1q5＋2a1q6.因为a1≠0，所以2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，又因为a6＝，
所以an＝a1qn－1＝a6qn－6＝×＝24－n.
(2)证明：由(1)可知an＝24－n，所以bn＝a2n＝24－2n，所以＝＝，所以数列是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝＝＝－×<.
18．(12分)已知函数f(x)＝2x－lnx.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝f(x)＋(a－2)x，a>0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e是自然对数的底数)．
解：(1)因为函数f(x)＝2x－ln x，所以f′(x)＝2－，f′(1)＝1，f(1)＝2，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
(2)f(x)定义域是(0，＋∞)，由(1)知，当f′(x)>0时，x>，当f′(x)<0时，0 (3)因为g(x)＝f(x)＋(a－2)x＝ax－ln x，所以g′(x)＝a－＝，当≥e，即0时，当00，所以g(x)min＝g＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件．综上，实数a的值是e2.
19．(12分)已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1，S2，S3－1，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n.
解：(1)由S1＝1知等差数列首项为1，所以Sn＝n＋d.由S2，S3－1，S4成等比数列可得(S3－1)2＝S2S4，所以(2＋3d)2＝(2＋d)(4＋6d)，解得d＝2或d＝－，由递增的等差数列知d>0，所以d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)因为bn＝＝＝(－1)n·，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－＋－＋＋…－＋＝－＋＝－.
20．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝.
(1)求证：为等差数列；
(2)若数列{bn}中的前n项和Sn＝2，求数列{bn}通项公式；
(3)在(2)的条件下，数列满足cn＝(－1)n·(n∈N*)，是否存在正整数m，使对任意n∈N*都有cn≤cm？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
(1)证明：∵a1＝1，an＋1＝，∴－＝－＝1，所以为以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，
∴an＝，∴Sn＝2＝()n，
∴当n＝1时，b1＝S1＝，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝()n－()n－1，
∴bn＝
(3)解：cn＝(－1)n·＝当n为偶数，且大于2时，cn为负数；当n等于2时，cn为零；当n为奇数，且大于2时，cn为正数，此时cn＝；cn＋2－cn＝－＝.因此当n＝3时，c5>c3；当n≥5，n为奇数时，cn＋2 21．(12分)(2022年长春月考)已知函数f(x)＝2ax－＋lnx，且f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)当x∈(0，2]，求f(x)的最小值．
解：(1)x>0，f′(x)＝2a＋＋，因为f(x)在x＝1，x＝处取得极值，所以⇒
所以a＝－，b＝－.
(2)f′(x)＝－－＋＝－(x－1)(2x－1)，所以x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝1，x＝为函数的极值点．
f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，2]上单调递减，而f(x)＝－x＋＋ln x，所以f＝－＋－ln 2＝－ln 2，f(2)＝－＋＋ln 2＝－＋ln 2.因为f(2)－f＝ln 综上，f(x)的最小值为－＋ln 2.
22．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数g(x)＝f(x)－xlnx在上有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增．
②当a<0时，f′(x)>0，得x<－或x>；
令f′(x)<0，得－ 则f(x)在，上单调递增；在上单调递减．
(2)因为g(x)＝f(x)－xln x，
所以g(x)＝x3＋ax－xln x.
函数g(x)在上有零点，等价于方程g(x)＝0在上有解，即x3＋ax－xln x＝0在x∈上有解．
因为x3＋ax－xln x＝0，
所以a＝－x2＋ln x.
设h(x)＝－x2＋ln x，x∈，
则h′(x)＝－，x∈.
令h′(x)<0，得＜x≤2；
令h′(x)≥0，得≤x≤，
则h(x)在上单调递减，在上单调递增．
因为h＝－＋ln＝－－ln 2，
h(2)＝－4＋ln 2，
所以h－h(2)＝－2ln 2>－2>0，
则h(x)min＝h(2)＝－4＋ln 2，
h(x)max＝h＝－－ln 2，
则实数a的取值范围为.