高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、力与向量的概念复习练习题

第二章　1

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列说法正确的是(　C　)

A．若|a|>|b|，则a>b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a∥b

D．若a≠b，则a与b不是共线向量

[解析]　A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A，B，D都是错误的，C显然正确．

2．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是(　C　)

A．南偏东60° B．南偏东45°

C．南偏东30° D．南偏东15°

[解析]　如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，

则tan ∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．

3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　D　)

A．都相等 B．都共线

C．都不共线 D．模都相等

[解析]　正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．

4．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　D　)

A．相等的向量 B．平行的向量

C．有相同起点的向量 D．模相等的向量

[解析]　这四个向量的模相等．

5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有(　C　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[解析]　根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．

6．下列说法正确的是(　C　)

A．平行向量就是向量所在直线平行的向量

B．长度相等的向量叫相等向量

C．零向量的长度为0

D．共线向量是在一条直线上的向量

[解析]　平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．

二、填空题

7．零向量与单位向量的关系是 共线 (填“共线”“相等”“无关”)．

8．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 6 个互不相等的非零向量．

[解析]　模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．

9.如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：

(1)图中与共线的向量有 ，，，，，， ；

(2)图中与相等的向量有 ， ；

(3)图中与模相等的向量有 ，，，，，，，， .

三、解答题

10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

(1)与相等的向量共有几个；

(2)与平行且模为的向量共有几个？

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？

[解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．

(2)与向量平行且模为的向量共有24个．

(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

B　组·素养提升

一、选择题

1．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是(　D　)

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

[解析]　由相等向量的定义，显然＝.

2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是(　B　)

A．C⊂A B．A∩B＝{a}

C．C⊂B D．A∩B{a}

[解析]　因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．

3．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是(　B　)

A．与的夹角是锐角

B．与的夹角是锐角

C．与的夹角是钝角

D．与的夹角是锐角

[解析]　由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，与的夹角是∠A，为锐角，与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角．

4．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　ABC　)

A．与相等的向量只有一个(不含)

B．与的模相等的向量有9个(不含)

C．的模恰好为的模的倍

D．与不共线

[解析]　

与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选ABC．

二、填空题

5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于 3π .

[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.

6．有下列说法：

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在□ABCD中，一定有＝；

④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．

其中，正确的说法是 ③④⑤ .

[解析]　①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤南偏西60°和北偏东60°是两个共线，方向相反，所以两个向量是共线向量，故⑤正确．

三、解答题

7.如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)与相等的向量有哪些？

(2)与共线的向量有哪些？

(3)若||＝1．5，求||的大小．

[解析]　(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.

(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.

(3)若||＝1．5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3.

8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值．

[解析]　(1)画出所有的向量如图所示．

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.

∴||的最大值为，最小值为.