广东省佛山市禅城区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编- 03 解答题

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广东省佛山禅城区市禅城区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编- 03 解答题
三、解答题
53．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△A′B'C′，使△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，（保留作图痕迹），则点C'的坐标为 ，周长比C△A'B'C′∶C△ABC＝ ．
（2）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6cm．请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF．根据题中信息，求得立柱DE的长为 m．

54．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄球）概率．
55．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．

56．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）某种商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)商场将进货价这30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？
(3)当台灯的售价为多少时，获得的利润最大？
57．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）如图矩形OABC中，点B的坐标（a，b）；点P为线段BC上的一动点（与点B，点C不重合），过动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，延长PQ交x轴于D．

(1)求证：四边形ADPC为平行四边形；
(2)若a，b是方程3x2﹣28x＋64＝0的根（a＞b），点F在AC上，若四边形AQPF为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点F的坐标．
58．（2022·广东佛山禅城区·九年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G．

(1)若AC＝EC时，求∠DAE的大小；
(2)求证：AG2＝GF•GE；
(3)连DE，求的最小值．
59．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）如下图，路灯下，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）试确定路灯的位置（用点P表示）；
（2）在图中画出表示大树高的线段；
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．

60．（2021·广东·佛山禅城区· 九年级期末）在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条的总长度与面条的粗细（横截面积）的关系如图所示：

（1）求y与x的函数关系式；
（2）当面条粗时，求面条总长度是多少厘米？
61．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）

62．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
摸球次数





摸到白球次数





摸到白球的概率






（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到），黄球有 个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
63．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
64．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于点P，点P的横坐标为6，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且；

（1）求直线的解析式；
（2）C为线段上一点，过C作轴交双曲线于D点，连接，当是等腰直角三角形时，求点C的坐标．
65．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．

（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
66．（2021·广东·佛山禅城区·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，设点D的横坐标为m，的面积为s．求s与m的函数关系式，并求出s的最大值；
（3）如图2，点E坐标为，过点D作于F，连接、，是否存在点D，使得与相似？若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．
67．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）（1）解方程
（2）计算：
68．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点（顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是，以为位似中心在网格内画出的位似图△A1B1C1，使与的相似比为，并计算出的面积．

69．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形.

70．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）某公司2017年产值2500万元，2019年产值3025万元
（1）求2017年至2019年该公司产值的年平均增长率；
（2）由（1）所得结果，预计2020年该公司产值将达多少万元？
71．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，王老师一共调查了　　　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
72．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）已知一次函数（为常数，）的图象分别与轴、轴交于、B两点，且与反比例函数的图象交于、D两点（点在第二象限内，过点作轴于点

（1）求的值
（2）记为四边形的面积，为的面积，若，求的值
73．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）如图，折叠边长为的正方形，使点落在边上的点处（不与点，重合），点落在点处，折痕分别与边、交于点、，与边交于点.证明：

（1）；
（2）若为中点，则；
（3）的周长为.
74．（2019·广东佛山禅城区·九年级期末）如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.

（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？

【答案】
参考答案：
53．（1）（1，2），1：2；（2）9
【分析】（1）利用位似变换的性质得出A′、B'、C′的坐标和周长比，顺次连接A′、B'、C′即可得到△A′B'C′；
（2）连接AC，根据太阳光线是平行光线，过D作DF∥AC交BC延长线于F，即可得DE在阳光下的投影EF，再根据相似三角形的判定与性质求解DE即可．
【详解】解：（1）由图知：A(－2，0)，B（4，0），
∵△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，O为位似中心，
∴A′（－1，0），B'（2，0），C′（1，2），C△A'B'C′∶C△ABC＝1：2，
顺次连接A′、B'、C′，如图①△A'B'C'即为所求作：

故答案为：（1，2），1：2；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：

∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=6m，BC=4m，EF=6m，
∴，
解得：DE=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查坐标与位似图形、相似三角形的实际应用，利用位似变换的性质得出对应点的坐标和位置是解答的关键．
54．(1)1个；
(2)

【分析】（1）设袋中黄球x个，利用概率公式列出方程求解即可；
（2）画树状图，得出全部的可能结果总数和符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．
(1)
解：设袋中黄球个数是x个，根据题意，得：，
解得：x=1，
经检验，x=1是所列方程的解，
答：袋中黄球的个数是1个；
(2)
解：画树状图为：

由图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的有4种，
∴两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率、简单的概率计算，理解题意，正确画出树状图是解答的关键．
55．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由平行四边形ABCD，可得∠ADF=∠CED（平行线的内错角），由∠AFE＝∠B，结合∠B+∠C＝180°可得∠AFD=∠C，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
【详解】解：（1）证明：∵平行四边形ABCD，∠AFE＝∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠CED，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴DE＝，
由上可得△ADF∽△DEC，CD＝AB＝7，
∴，
∴，
∴AF＝
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用是解题关键
56．(1)
(2)售价定为50元，应进台灯500个
(3)60元

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．”列出方程，即可求解；
（2）设这种台灯的售价定为元，则台灯的销售量为个，根据题意列出方程，即可求解；
（3）设台灯的售价定为元，获得的利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的增减性，即可求解．
(1)
解：设该种商品每次降价的百分率为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该种商品每次降价的百分率为；
(2)
解：设这种台灯的售价定为元，则台灯的销售量为个，根据题意得：
，
解得：，，
∵售价在40～60元，
∴不合题意，舍去，
∴台灯的销售量为个，
答：这种台灯的售价定为50元，这时应进台灯500个；
(3)
解：设台灯的售价定为元，获得的利润为元，根据题意得：
，
∵ ，
∴当时，随的增大而增大，
根据题意得：，
∴当时，的值最大，
答：当台灯的售价为60元时，获得的利润最大．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
57．(1)见解析；
(2)y＝， F（，）

【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形求得点P、Q坐标，进而求得CP、BP、BQ、AQ，证明△QBP∽△QAD，利用相似三角形的性质求得AD，证得AD=CP即可证得结论；
（2）解一元二次方程求得a、b，利用菱形的性质得到PF=PQ=AQ，进而得到关于k的方程，解方程求得k值即可解答．
(1)
解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标（a，b），
∴BC∥OA，AB∥OC，
∴C（0，b），A（a，0），
∵点P为线段BC上，点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，
∴P（，b），Q（a，），k＜ab，
∴CP=，BP=a－，BQ=b－，AQ=，
∵BC∥OA，
∴∠BPQ=∠ADQ,∠PBQ=∠DAQ,
∴△QBP∽△QAD，
∴，即，
解得：AD=，
∴AD=CP，又CP∥AD，
∴四边形ADPC是平行四边形；
(2)
解：解方程3x2﹣28x＋64＝0得x1=4，x2=，
∵a，b是方程3x2﹣28x＋64＝0的根（a＞b），
∴a= ，b=4，
∴BP= －，BQ=4－，AQ=，
∵四边形AQPF为菱形，
∴PF∥AQ∥OC，PF=PQ=AQ，即PQ2=AQ2，
∴（－）2+（4－）2=（）2，
解得：k=或k=，
∵k＜ab=，
∴k=，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵PF=AQ==，P（，4），
∴F（，）．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、解一元二次方程、菱形的性质、求反比例函数解析式等知识，是反比例函数与几何的综合题，熟练掌握相关知识的联系与运算，利用数形结合思想求解是解答的关键．
58．(1)22.5°；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）根据正方形的性质∠DAC=45°，AD∥BC，再根据平行线的性质和等边对等角证得∠DAE=∠CAE即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例和比例性质即可证得结论；
（3）如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P，根据相似三角形的判定与性质证明△PDA∽△CDE，△PDC∽△ADE，证得，取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=AD，设PO=x，则AD=DC=2x，CO=x，根据两点之间线段最短求得PC的最大值即可求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AD∥BC，CD∥AB，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠DAE=∠E，
∵AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC=22.5°；
(2)
证明：∵AD∥BC，CD∥AB，
∴，，
∴，
∴AG2＝GF·GE；
(3)
解：如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P，
∴∠APD=∠DCE=90°，又∠ADP=∠CDE，
∴△PDA∽△CDE，
∴，即，
∵∠ADP+∠ADC=∠CDE+∠ADC，
∴∠PDC=∠ADE，
∴△PDC∽△ADE，
∴，即，
取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=DO=AD，
设PO=x，则AD=DC=2x，
∴CO= =x，
∵PC≤PO+CO=(1+)x，
∴PC的最大值为(1+)x，
∴的最小值为．

【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．
59．图形见解析
【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接MN顶部N的直线与地面相交即可找到MN影子的顶端．线段GM是大树的高．若小明的眼睛近似地看成是点D，则看不到大树，GM处于视点的盲区．
【详解】（1）点P是灯泡的位置；

（2）线段MG是大树的高．
（3）视点D看不到大树，GM处于视点的盲区．

60．（1）y＝（x＞0）; （2）面条总长度是80厘米
【分析】（1）由题意可以设y＝，利用待定系数法即可解决．
（2）把x＝1.6代入y＝，求出y即可．
【详解】解：（1）由题意可以设y＝，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝（x＞0）;
（2）当x＝1.6时，y＝＝80，
∴面条总长度是80厘米．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是记住反比例函数图象的特征，熟练掌握待定系数法，属于基础题．
61．车门不会碰到墙，理由见解析．
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．
【详解】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，

在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构建直角三角形进行求解．
62．（1），；（2）
【分析】（1）根据表中数据即可估计摸出一个球恰好是白球的概率，再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数即可得出答案；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列出表格得到所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在0.25，所以估计摸到白球的概率大约是，袋子中的黄球的个数=1÷0.25-1-1=．
故答案为：0.25，2；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“×”，列出表格为：

白
红
黄
黄
白

×
×
×
红
×

√
√
黄
×
√

×
黄
×
√
×


从表中可知，“总次数”为，“一红一黄”的次数为次，
（一红一黄）．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率、列表法与树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
63．（1）5元；（2）当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元
【分析】（1）设每千克应涨价为x元，根据（售价﹣进价＋涨价额）×销售量＝6000，可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据要使顾客得到实惠，可得答案；
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得w关于a的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设每千克应涨价为x元，由题意得：
（22﹣12＋x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x＋50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10.
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝5.
∴每千克应涨价5元．
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w＝（a﹣12）[500﹣20（a﹣22）]
＝﹣20a2＋1180a﹣11280
＝﹣20＋6125，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当a＝时，w有最大值为6125.
∴当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
64．（1）；（2）．
【分析】（1）利用待定系数法把点P的横坐标6代入反比例函数解析式中，解得点P的坐标，过点P作轴于点E，由，得点P坐标可得AE=PE=2，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法把A、P两点坐标代入一次函数解析式中，即可解题；
（2）要使是等腰直角三角形时，只能，根据C、D点所在函数解析式可设，过P作于F，则，再根据等腰三角形三线合一性质可得，解出方程的解即可．
【详解】解：（1）在反比例函数的图象上，


过点P作轴于点E，





设直线AB的解析式为：，代入点A、点P得，



（2）根据题意，要使是等腰直角三角形时，只能，
设，则，
过P作于F，则，






（不合题意，舍去）
当是等腰直角三角形时，点C的坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
65．（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH；
（2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH；
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，

∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，
∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，
∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，

∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），
∴AB＝AH，
故答案为：AB＝AH；
（2）AB＝AH成立，理由如下：
延长CB至E，使BE＝DN，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，

∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠EAB＋∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：

∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，
设AH＝AB＝BC＝CD＝x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
66．（1）y＝−x2＋2x＋3；（2）s与m的函数关系式为s＝−m2＋m，s的最大值为；（3）点D的坐标为（，）或（，）．
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点可设交点式来求解析式．
（2）过点D作y轴平行线交BC于点M，把△BCD分成左右两部分△CDM与△BDM，都以DM为底时面积和即为OB与DM的积的一半．由D的横坐标为m，可用m表示D的纵坐标，求BC解析式，即可用m表示BC上的点M，进而得到用m表示DM的式子，代入即求得s关于m的关系式二次函数，配方即求出最大值．
（3）因为∠CFD＝∠COE＝90°，所以存在相似时有△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC两种情况，即∠OCE的对应角有两种情况．把△COE三边求出并求出∠OCE的正弦和余弦值．利用（2）求得△BCD面积s，即能用m表示以BC为底时的高DF的长，再利用∠FCD或∠FDC与∠OCE相等得到的三角函数关系，即求得DF与CD的等量关系，解方程即求得m的值．
【详解】（1）∵抛物线y＝−x2＋bx＋c与x轴交于点A（−1，0），B（3，0），
∴y＝−（x＋1）（x−3）＝−x2＋2x＋3，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋2x＋3；
（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M，

∵当x＝0时，y＝−x2＋2x＋3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC解析式为：，
则，解得：，
∴直线BC解析式为y＝−x＋3，
∴D（m，−m2＋2m＋3），M（m，−m＋3），
∴DM＝−m2＋2m＋3−（−m＋3）＝−m2＋3m，
∴s＝S△DMB＋S△DMC＝×MD（xB−xD）＋（xM−xC）＝OB•DM＝（−m2＋3m）＝−m2＋m＝−（m−）2＋（0＜m＜3），
∴s与m的函数关系式为s＝−m2＋m，s的最大值为；
（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似．
如图2，连接BD，设点D的横坐标为m，

∵E（2，0），A（−1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OE＝2，OC＝＝OB＝3，CD2＝m2＋（−m2＋2m＋3−3）2，
∴CE＝，
∴sin∠OCE＝＝，
cos∠OCE＝＝=，
∵BC＝，DF⊥BC，
∴由（2）知，面积s＝BC•DF＝−m2＋m，
∴DF＝＝，
∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°，
∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC，
①若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE，
∴sin∠FCD＝＝，
∴13DF2＝4CD2，
∴13（）2＝4[m2＋（−m2＋2m）2]，
解得：m1＝7（舍去），m2＝，
∴−m2＋2m＋3＝−＋＋3＝
∴D（，）．
②若△CFD∽△EOC，则∠FDC＝∠OCE，
∴cos∠FDC＝＝，
∴13DF2＝9CD2，
∴13（）2＝9[m2＋（−m2＋2m）2]，
解得：m1＝−3（舍去），m2＝，
∴−m2＋2m＋3＝−＋＋3＝，
∴D（，）
∴点D的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式和最大值，相似三角形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程．其中（3）里利用角相等即三角函数相等得到等量关系，与利用相似得到对应边成比例的思路是一致的，且能减少说理和计算，较为简便．
67．（1），；（2）
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；
（2）先将sin45°和tan60°的值代入，再计算即可得出答案.
【详解】解：（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）原式
.
【点睛】本题考查的是解一元二次方程和三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.
68．画图见解析，的面积为6．
【分析】先找出各顶点的对应顶点A1、B1、C1，然后用线段顺次连接即可得到，用割补法可以求出的面积.
【详解】如图所示：，即为所求，
的面积为：．

【点睛】本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
69．见解析.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC，结合已知条件，从而得出四边形EBFC是平行四边形，再根据得出四边形EBFC是菱形．
【详解】证明：，

，
∴四边形EBFC是平行四边形
又，
∴四边形EBFC是菱形.
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
70．（1）这两年产值的平均增长率为；（2）预计2020年该公产值将达到3327.5万元.
【分析】（1）先设出增长率，再根据2019年的产值列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求出的增长率乘以2019年的产值，再加上2019年的产值，即可得出答案.
【详解】解：设增长率为，则2018年万元，2019年万元.
则，
解得，或（不合题意舍去）.
答：这两年产值的平均增长率为.
（2）（万元）.
故由（1）所得结果，预计2020年该公产值将达到3327.5万元.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用——增长率问题，解题关键是根据题意列出方程.
71．（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：

（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，

男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D

共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．

72．（1）；（2）
【分析】（1）先求出A和B的坐标，进而求出，即可得出答案；
（2）根据题意可得△AOB∽△AEC，得出，设出点C的坐标，列出方程，即可得出答案.
【详解】解：（1）一次函数（为常数，）的图象分别与轴、轴交于、两点，
令，则；令，则求得，
∴，，
∴，，
在，，
∵轴于点，
∴轴，
∴，
∴；

（2）根据题意得：，
∴.
设点的坐标为，则，，
∴，
解得：，或（舍去）.
【点睛】本题考查的是反比例函数的综合，综合性较强，注意面积比等于相似比的平方.
73．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）根据折叠和正方形的性质结合相似三角形的判定定理即可得出答案；
（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可得出答案；
（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为折痕，
∴，
∴，
∴，
在与中
∵，，
∴；
（2）∵为中点，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，，
∴；
（3）设，则，，
在中，，
∴，即，
解得：，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查的是相似三角形的综合，涉及的知识点有折叠的性质、正方形的性质、勾股定理和相似三角形，难度系数较大.
74．（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；
②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.
【详解】解：（1）由，
令，得，所以点；
令，得，所以点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点坐标为，
又∵四边形是平行四边形，
∴点坐标为，
将点、点代入二次函数，可得，
解得：，
故该二次函数解析式为：.
（2）∵，，
∴.
①设点运动了秒时，，此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：.
即当点运动到距离点个单位长度处，有.
②∵，且，
∴当的面积最大时，四边形的面积最小，
当动点运动秒时，，，，
设底边上的高为，作于点，
由可得：，
解得：，
∴，
∴当时，达到最大值，此时，
故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，难度系数较大，解题关键是将四边形PDCQ面积的最小值转化为△APQ的面积的最大值并根据题意列出的函数关系式.