广东省中山市（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编 3解答题

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广东省中山市（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03 解答题

三、解答题
52．（2022·广东中山·八年级期末）计算：．
53．（2022·广东中山·八年级期末）已知，求的值．
54．（2022·广东中山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标．
55．（2022·广东中山·八年级期末）在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．
56．（2022·广东中山·八年级期末）如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：．

57．（2022·广东中山·八年级期末）某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？
58．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．

(1)当且为直角三角形时，求t的值；
(2)当t为何值，为等边三角形．
59．（2022·广东中山·八年级期末）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．

(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
60．（2021·广东中山·八年级期末）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
61．（2021·广东中山·八年级期末）先化简，再求值： ，其中x＝2﹣．
62．（2021·广东中山·八年级期末）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长．
63．（2021·广东中山·八年级期末）如图，已知△ABC．

（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
64．（2021·广东中山·八年级期末）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．

（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
65．（2021·广东中山·八年级期末）已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．

66．（2021·广东中山·八年级期末）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x取什么整数时的值为整数．
67．（2021·广东中山·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
68．（2020·广东中山·八年级期末）计算：(2x－1)2－x(4x－1)
69．（2020·广东中山·八年级期末）先化简，再求值：，其中a=－1.
70．（2020·广东中山·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC = 23°，∠BCA = 125°.
(1)尺规作图：作AC的垂直平分线，交BC的延长线于点D(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AD，求∠BAD的度数.

71．（2020·广东中山·八年级期末）如图，已知△ABC ≌△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的中线，求证：BG = EH.

72．（2020·广东中山·八年级期末）如图，△ABC中，AE=BE，∠AED =∠ABC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若AB = CB，∠AED =4∠EAD，求∠C的度数.

73．（2020·广东中山·八年级期末）某商家用1000元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1600元购进第二批多肉盆栽，且数量是第一批的1.2倍，已知第一批盆栽的单价比第二批的单价少3元，问这两批多肉盆栽的单价各是多少元?
74．（2020·广东中山·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE.求证：(1)点D是EF的中点；(2)△CEF是等腰三角形.

75．（2020·广东中山·八年级期末）已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点.
(1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；
(2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小；
(3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长.

【答案】
52．
【分析】先利用平方差公式进行整式的乘法运算，同步计算多项式除以单项式，再合并同类项即可.
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查的是平方差公式的运用，多项式除以单项式，掌握“整式的混合运算”是解本题的关键.
53．2
【分析】先计算括号内分式的加法，再把除法转化为乘法，约分后可得结果，再把化为 再整体代入即可.
【详解】解：原式

∵
∴，代入上式，
得：原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“整体代入法求解分式的值”是解本题的关键.
54．(1)图见解析，
(2)图见解析，

【分析】（1）根据A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点B1的坐标；
（2）连接B1C交x轴于点P即可使得PB+PC最短，进而可以写出点P的坐标．
(1)
解：如图，△A1B1C1即为所求；

点B1的坐标为（﹣4，2）；
(2)
解：如图，点P即为所求；点P的坐标：（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握旋转的性质．
55．，，
【分析】先计算多项式乘以多项式，再结合题意可得，，解方程组求解的值，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：∵


∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式的因式分解，二元一次方程组的解法，理解题意列出方程组求解的值是解本题的关键.
56．见解析
【分析】先证明，可得，，再证明，从而可得答案.
【详解】证明：∵AB，CD互相平分
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解本题的关键.
57．商场实际购进彩灯的单价是60元
【分析】设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，由题意：某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则（元，
答：商场实际购进彩灯的单价为60元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．
58．(1)或
(2)或

【分析】（1）根据题意可知当时，点M在BC上，点N在AB上，根据为直角三角形，则或，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；
（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，分①时，②时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；
(1)
当，点M在BC上，点N在AB上，
，，
为直角三角形，则或，
①当时，，，
即，
解得：．
②当时，，，
即，
解得：．
综上，或时，为直角三角形．
(2)
点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，
①在时，当时，为等边三角形
此时，，
解得：．
②在时，为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，
此时，．
综上，或时，为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
59．(1)见解析
(2)MC=1.5

【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
(2)
解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，

∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
60．x（x﹣y）2
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式．
【详解】解：x3﹣2x2y+xy2，
=x(x2﹣2xy+y2)，
=x(x﹣y)2．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题关键在于要进行二次分解．
61．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝﹣
＝﹣+
＝，
当x＝2﹣时，
原式＝﹣＝．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式．
62．其他两边的长度为11cm，11cm
【分析】分腰长为6cm和底边长度为6cm两种情况，根据等腰三角形的性质讨论可得．
【详解】解：若腰长为6cm，则另一腰的长也为6cm，则底边长为28﹣6﹣6＝16cm，
此时三角形的三边为6cm，6cm，16cm，
∵6+6＜16，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
若底边长度为6cm，则两腰的长度为＝11（cm），
∴此时其他两边的长度为11cm，11cm．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
63．（1）见解析；（2）27
【分析】（1）根据角平分线的作法利用尺规即可作∠ABC的角平分线交AC于点G；
（2）作GD⊥AB，GE⊥BC，根据角平分线的性质可得GD＝GE，根据AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，即可求△CBG的面积．
【详解】解：（1）如图，BG即为所求；

（2）如图，∵BG平分∠ABC，
过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，
∴GD＝GE，
∵AB＝8，△ABG的面积为18，
∴
∴GD＝，
∵BC＝12，GE＝GD＝，
∴△CBG的面积为12×＝27．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
64．（1）①，②；（2）或．．
【分析】（1）①图丁是由1个甲，3个乙，2个丙组成，把面积相加即可得出答案；
②图丁可以看作由长为，宽为x的长方形和长为，宽为2y的长方形组成，把两个长方形面积相加即可得出答案；
（2）由（1）中十字相乘或提取公因式即可得出答案．
【详解】解：（1）①，
②；
（2）或．
【点睛】本题考查列代数式以及因式分解，掌握正方形和长方形的面积公式以及灵活运用因式分解是解答本题的关键．
65．见解析
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，得出∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，作出AF＝BD＝CE，证明△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），得出EF＝FD＝DE，即可得出结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，
∵AE＝BF＝CD，
∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，
即AF＝BD＝CE，
在△AEF、△BFD和△CDE中，
，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），
∴EF＝FD＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
66．（1）真分式；（2）x+2﹣；（3）x＝3
【分析】（1）根据真分式的定义求解即可；
（2）原式变形为＝，再进一步化简即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则变形得出原式＝，再进一步变形为＝﹣2+，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：（1）分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）
＝
＝
＝x+2-；
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣2+，
∵x≠±1且x≠0，x≠2，
∴当x＝3时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键．
67．（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
68．-3x+1
【分析】根据完全平方公式及整式的乘法即可求出答案．
【详解】(2x－1)2－x(4x－1)
=4x2-4x+1-4x2+x
=-3x+1
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
69．；
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
=
=
=
=
把a=－1代入原式=
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
70．（1）见解析（2）78°
【分析】（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；
（2）先求出∠ACD，再根据垂直平分线的性质得到∠CAD=∠ACD，再利用∠BAD=∠BAC+∠CAD即可求解.
【详解】（1）如图直线 MN 为所求作的图

（2）∵∠BCA = 125°.
∴∠ACD=180°-∠BCA=55°，
∵MN是AC的垂直平分线
∴∠CAD=∠ACD=55°
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 23°+55°=78°
【点睛】此题主要考查垂直平分线的作图与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质.
71．见解析
【分析】根据全等三角形的性质及判定即可求解.
【详解】∵△ABC ≌△DEF
∴AB=DE，∠A=∠D，AC=DF
∵BG、EH分别是△ABC和△DEF的中线，
∴AG=AC, DH=DF,
∴AG= DH
∴△ABG ≌△DEH（SAS）
∴BG = EH
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.
72．（1）见解析（2）54°
【分析】（1）先根据AE=BE得到∠ABE=∠BAE，再由∠AED=∠ABC得到∠BAE=∠CBD，即可得到∠ABE=∠CBD，故可求解；
（2）先求出，再求出∠BAE=，从而求出∠BAD，再根据AB=CB求∠C.
【详解】（1）证明：∵AE=BE
∠ABE=∠BAE
∵∠AED=∠ABC 而∠AED=∠ABE+∠BAE，∠ABC=∠ABE+∠CBD
∴∠BAE=∠CBD
∴∠ABE=∠CBD，即 BD 平分∠ABC.
（2）解：若 AB=CB，由（1）知 BD 平分∠ABC
∴BD⊥AC
∴∠EDA=90°
∴∠AED+∠EAD=90°
∵∠AED=4∠EAD
∴
∴∠BAE=
∴∠BAD=36°+18°=54°
又∵AB=CB
∴∠C=∠BAD=54°
【点睛】此题主要考查等腰三角形内的角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
73．第一批多肉盆栽的单价是 9 元，第二批的单价为 12 元.
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得第一批多肉盆栽的进价，注意分式方程要检验．
【详解】设第一批多肉盆栽的单价是 x 元，第二批的单价为（x+3）元，依题意得
解得：x= 9
经检验，x=9是原分式方程的解.
∴9+3=12（元）
答：第一批多肉盆栽的单价是 9 元，第二批的单价为 12 元.
【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分式方程的知识解答．
74．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据题意已知条件证明△CDF≌△BDE即可求解；
（2）先证明△ACF≌△CBE 得到∠CAF=∠BCE ，从而得到∠ECF=∠CFE，即可求解.
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB=∠CBA=45°  
∵BE⊥AB
∴∠ABE=90°
∴∠DBE=90°-45°=45°
∵CF 平分∠ACB
∴∠FCD=∠FCA=90°×°
∴∠DBE=∠FCD  
又∵D 为 BC 边的中点，
∴CD=BD
在△ CDF 与△BDE 中，

∴△CDF≌△BDE（ASA）
∴DF＝DE
即点D是EF 的中点.
（2）∵∠ACF=45°，∠CBE=45°      
∴∠ACF=∠CBE    
又∵AC=BC，CF=BE
∴△ ACF≌△CBE（SAS）
∴∠CAF=∠BCE
∵∠ECF=45°+∠BCE ，∠CFE=∠ACF+∠CAF=45°+∠CAF
∴∠ECF=∠CFE
∴CE=FE
即△CEF是等腰三角形.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
75．（1）见解析（2）40°（3）3
【分析】（1）根据DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根据折叠的性质得到∠FDE=∠ADE=60°，从而得到△BDF 是等边三角形
（2）根据CF=EF ，设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根据折叠得到∠A=∠DFE=2x ，再由（1）同理可得到△BDC 是等边三角形，再利用△ABC内角和即可列出方程求解
（3）同（1）可得△BDG 是等边三角形，根据BF⊥AB 得到∠BFD=30°，得BD=DF，再根据折叠的性质得到DF=AD，故BD=AD=AB=×9=3，即可求出BG的长.
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∠B=60°
∴∠ADE=∠B=60°
∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF
∴∠FDE=∠ADE=60°
∴∠BDF=180°-60°-60°=60°   
在△BDF 中，∠B=∠BDF=60°
∴△BDF 是等边三角形.
（2）解：∵CF=EF
∴设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x
∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF
∴∠A=∠DFE=2x
同（1）可得△BDC 是等边三角形
∴∠BCD=60°
在△ABC 中，∠A+∠B+∠BCA=180° ∴2x＋60°＋（60°＋x）=180° 解得：x=20°
∴∠A=2x=40°.
（3）解：同（1）可得△BDG 是等边三角形
∴∠BDG=60°，BG=BD
∵BF⊥AB
∴∠DBF=90°
∴∠BFD=90°－60°=30°
∴BD=DF  
又∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF
∴DF=AD
∴BD=AD=AB=×9=3
∴BG=3.
【点睛】此题主要考查等边三角形与折叠的综合，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、折叠的性质定理.