四川省成都外国语学校2021-2022学年高二上学期12月月考数学(（理）试题

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高二12月月考数学试卷（理科）一､单选题1. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．2. 与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点在双曲线上，代入解方程最终求出双曲线的方程．【详解】椭圆的焦点坐标是．设双曲线标准方程为，因为双曲线过点，所以，又，解得，所以所求双曲线的标准方程是．故选：B.3. 直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程.【详解】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，∴直线l的方程为，即.故选：D4. 已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （    ）A.  B. 2 C.  D. 3【答案】D【解析】【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，由抛物线定义知，，于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，所以的最小值为3.故选：D5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的的值.【详解】执行如图所示的程序框图如下：不成立，，；不成立，，；不成立，，；不成立，，.成立，跳出循环体，输出的值为，故选C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.6. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ）A. 10 B. 05 C. 09 D. 20【答案】C【解析】【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.【详解】依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号范围内，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选：C7. 满足的点的轨迹是（    ）A. 圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线【答案】C【解析】【分析】根据题意得出点到点和到直线：的距离相等，从而可得出点P的轨迹.【详解】依题意得，点到点和到直线：的距离相等，又在上，所以点P的轨迹是直线，即为过点且与垂直的直线.故选：C.8. 如果实数、满足，那么的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将看作圆上一点与连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.【详解】，即，圆心为，半径为，的几何意义是圆上一点与连线的斜率，如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即最大，令此时直线的倾斜角为，则，的最大值为，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将看作点与连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.9. 设双线（，）的右焦点是F，左､右顶点分别是，，过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意求得，，再由，可得，从而可得，进而可求得结果【详解】由题意得，当时，，得，不妨设点在轴上方，则,所以，因为，所以，化简得，所以，，所以，所以，所以双曲线的渐近线的斜率为，故选：C10. 圆与圆相交于两点．则弦长等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，求出一个圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．【详解】由题意化简可得的直线方程为，圆心到直线的距离为，故选：C．11. 已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分析可知当时，的面积取最小值，求得，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值.【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，如图，
 又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，可得，，则，解得.故选：B.12. 过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且，分直线AB斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解．【详解】如图，先固定直线AB，设，则，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，，则由根与系数的关系有，，，注意到与异号，故，设，则，，当，即，此时，故，又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D．【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．二､填空题13. 现凯里一中高一年级、高二年级、高三年级的学生人数分别是1500、2000、2500人，现用分层抽样方法在全校抽取一个容量为120人的样本，则高二年级应该抽_______人．【答案】40【解析】【分析】由样本与总体所占比例相等可得．【详解】设高二年级应该抽取人，则，解得．故答案为：40．14. 设2134与1455的最大公约数为，则化为三进制为__________.【答案】【解析】【分析】先求出2134与1455的最大公约数，再利用“辗转相除法”进位方法，即可得出结果.【详解】解：，与的最大公约数为，，用连续除3得余数，可得：化三进制数=.故答案为：.15. 已知椭圆C：的右焦点为，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线与椭圆C的一个交点，且，则椭圆C的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】运用已知条件求出点A、M的坐标，根据平面向量共线的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】因为是椭圆的右焦点，所以，即， 因为M为y轴上一点，所以不妨设，，显然有，因为三点共线，所以有：，因为，所以，即，或舍去，所以可得，代入中，得：，化简得：，解得，或，而，所以，即，故答案为：【点睛】关键点睛：运用三点共线的性质，结合代入法是解题的关键.16. 已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点,,P是它们在第一象限的交点,且,则的最小值为__________________.【答案】【解析】【分析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值.【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由椭圆的定义，由双曲线的定义，所以有，，因，由余弦定理可得，整理得，所以，当且仅当时取等号，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据共焦点的椭圆和双曲线相交，在相应的焦点三角形中，利用题中所给的条件，求其离心率的运算式的最值的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，双曲线的定义，余弦定理，基本不等式，属于简单题目.三､解答题17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：方程表示双曲线.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别求得命题为真命题时，实数的取值范围，结合命题，均为真命题，列出不等式组，即可求解；（2）由题意，得到命题与一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）当命题为真命题时，可得，解得；当命题为真命题时，可得，解得，因为命题为真命题，所以命题，均为真命题，即，解得，所以实数的取值范围是.（2）由命题为真命题，为假命题，可得命题与一真一假，当真假时，可得，解得；当假真时，可得，解得，所以实数的取值范围是.18. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．【答案】（1）；（2）1，8.【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点到其准线的距离为2，由求解；（2）设，则，利用点差法求斜率，联立，利用过焦点的抛物线的弦长公式求解.【详解】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，的方程为．（2）设，则，两式相减得，， ，联立，消去整理得，，∵直线过抛物线的焦点，．19. 已知两点，过动点P作x轴的垂线，垂足为H，且满足，其中．（1）求动点的轨迹C的方程，并讨论C的轨迹形状；（2）过点且斜率为1的直线交曲线C于两点，若中点横坐标为，求实数的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可.【详解】解：（1），又 所以由得则当时，C是两条平行直线；       当时，C是圆；当时，C是椭圆；             当时，C是双曲线 .（2）设，则【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20. 已知圆B：，点，P是圆B上任意一点，线段AP的垂直平分线交BP于点Q.（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）若曲线C上存在关于直线l：对称的两点M､N，求实数m的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，得Q点的轨迹为椭圆，根据定义即可求轨迹方程.（2）由两点关于直线对称，利用联立方程或者点差法即可实数m的取值范围.【小问1详解】（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴.又，∴∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为4的椭圆.可设方程为，则，∴，∴点Q的轨迹方程为.【小问2详解】（2）设，，AB中点，直线AB：联立即①，又在l上②②代入①中法2：（点差法）又又D在椭圆C内21. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为.（1）求双曲线C的标准方程.（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由渐近线可设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得，即得双曲线方程；（2）假设在在，设弦中点是，设，代入双曲线方程相减可得直线的斜率从而得直线方程，再与双曲线方程联立方程组，检验直线怀双曲线是否相交．若不相交说明弦不存在．【详解】（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入，可得，所以双曲线C的标准方程为.（2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点，设，则.因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即两式相减得，所以，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.联立直线l与双曲线方程得消去y，得，显然，所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦.【点睛】方法点睛：（1）已知双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线方程为，再由其他条件求得，即得双曲线方程；（2）已知圆锥曲线弦中点问题，设弦两端点坐标为，代入曲线方程相减可得弦所在直线斜率与中点坐标的关系．这种方法称为“点差法”，这种方法在双曲线中应用时，可能求出的直线与双曲线没有公共点，需进行检验．椭圆与抛物线中只要看已知点在不在曲线内部即可得．22. 已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.（1）求曲线C和曲线E的方程；（2）若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.（ii）若，求实数的取值范围.【答案】（1），    （2）（i）；（ii）【解析】【分析】(1) ，，再结合椭圆和抛物线有相同焦点，可以求出曲线方程；(2)先联立方程，求相交弦长，再求原点到直线的距离，可以求出面积关于k的函数；找出 与 的关系，利用韦达定理，求出 的取值范围，再求 的取值范围.【小问1详解】，椭圆C：又，椭圆C：，抛物线E：.【小问2详解】（i）设，联立由，且，，原点O到直线l距离，，令，所以，当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为.（ii），，， ，，又，，（）.
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