四川省遂宁中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

这是一份四川省遂宁中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题，共15页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若直线等内容，欢迎下载使用。
遂宁中学2020～2021学年度上期二学段考试高二理科数学考试时间：120分钟          满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。 第Ⅰ卷（选择题   共60分） 一、单选题(共60分，每题5分)1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．2．圆(x－3) 2＋(y＋4) 2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(　　)A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1    B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1    D．(x－3)2＋(y－4)2＝13．过两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ）A．2 B． C． D．54．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（    ）A．    B． C．    D．65．设、表示直线，、表示平面，则下列命题中不正确的是（    ）．A．，，则 B．，，则C．，，则 D．，，则6．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（     ）A． B． C． D．7．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（     ）A．           B．C．          D．8．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定9．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角为（    ）A． B． C． D．10．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（    ）A． B． C． D．111．已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．12．三棱锥中，△ABC为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题   共90分） 二、填空题(共20分，每题5分)13．经过点作直线与连接，的直线垂直，则直线的方程为______．14．若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.15．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是______．16．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、、分别是棱、、的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题(共70分，17题10分，其余各题12分)17．已知直线  经过点.（1）若直线  平行于直线，求直线  的方程；（2）若直线  在两坐标轴上的截距相等，求直线  的方程.18．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，且．（1）求证：//平面；（2）求证：． 19．已知直线，.（1）证明:直线过定点；（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求. 20．如图，四棱锥中，底面是菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，，，求二面角的余弦值. 21．已知点，圆.（1）若点､点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程；（2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程. 22．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.（1）求圆面积的最小值；（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.
遂宁中学2020～2021学年度上期二学段考试高二理科数学试题1．D         2．B      3．B      4．A        5．B       6．A7．B试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，8．A9．A如图延长到，使得，易知即为所求异面直线所成角，不妨设，又，可证为等边三角形，于是所求异面直线所成角为. 10．C如图，易知直线平面，故动点的轨迹所围成图形为，因为为边长为的正三角形，所以其面积，11．A   在以为直径的圆上，因为圆上存在点（不同于点），使得，圆与圆相交，，解得，12．B三棱锥中，为等边三角形，，，，以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球也是三棱锥外接球，长方体的对角线为，球直径为，半径为，因此，三棱锥外接球的表面积是13．14．作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.故答案为：.15．16因为两圆有三条公切线，故与相外切，又，故，，而，，故，故.故答案为.16．②③取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，如下图所示：在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、分别为、的中点，且，平面，平面，平面，平面，平面平面，，为的中点，为的中点，，同理可得，且，平面，平面，，四边形为正方形，则，，平面，平面，，则，所以，四边形为矩形，其面积为，设，，则为的中点，为的中点，，，平面，平面，平面平面，，且，的边上的高为，的面积为.所以，截面面积为，命题①错误；该截面是一个五边形，命题②正确；由图可知，截面与四棱锥侧棱、、相交，命题③正确.故答案为：②③.17．（1）由题意设直线方程为，∵直线过点，∴，，所以直线方程为．（2）当截距为0时，设方程为，则，，直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，则，，直线方程为，即．∴直线方程为或．18（1）∵几何体为直三棱柱，∴四边形为矩形．设，则点O为的中点，又∵，∴，即点E为的中点，又∵D为的中点，∴在中，由三角形中位线定理得又∵平面，平面，∴平面．（2）作CF⊥AB，F垂足，因为，故F为中点，则直三棱柱，故面ABC⊥面ABB1 A1，则CF⊥面ABB1 A1，因为ABB1 A1为正方形，故A1B⊥，又，面FCD,故19．（1）由则直线，令且所以对任意的，直线必过定点（2）由直线//，所以可知直线，则直线，点到直线距离为又，所以20．（1）证明：记，连接．因为底面是菱形，所以，是的中点．因为，所以．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）因为底面是菱形，，，所以是等边三角形，即．因为，所以．又，，所以，即．方法一：因为是的中点，所以，因为，所以，所以和都是等腰三角形．取中点，连接，则，且，所以是二面角的平面角．因为，且，所以．因为，，所以．所以二面角的余弦值为．方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为由，得，令，得.同理，可求平面的法向量．所以．所以，二面角的余弦值为． 21．解：（1）设，中点为，在中，，在圆中，由弦长公式可得，，即，整理得：．该圆的圆心到圆圆心的距离，而．曲线在圆内，符合要求，即曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，即，由弦长公式可得：，则，解得：，直线方程为，综上，直线的方程为或．22．解：（1）由题意可设圆的圆心为，则半径为（当且仅当时取等号），所以圆的面积最小值为.（2）由，知.所以，解得.当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.所以，所求圆的方程为.（3）设，，，又知，，所以，．显然，设，则．从而直线方程为：，与圆的方程联立，消去，可得：，所以，，即；同理直线方程为：，与圆的方程联立，消去，可得：，所以，，即．所以；．消去参数整理得．    ①设直线的方程为，代入，整理得．所以，．代入①式，并整理得，即，解得或．当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．所以，直线过定点．