北京市一零一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

北京一零一中2017-2018学年度第一学期数学期中考试

一、选择题

1.设全集=R，M={0，1，2，3}，N={-1，0，1}，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A. {1}    B. {-1}    C. {0}    D. {0，1}

【答案】B

【解析】

由图可知阴影部分中的元素属于，但不属于，故图中阴影部分所表示的集合为，由，，得，故选B.

2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.

点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.

3.已知为奇函数，当时，，则在上是（ ）

A. 增函数，最小值为    B. 增函数，最大值为

C. 减函数，最小值为    D. 减函数，最大值为

【答案】C

【解析】

试题分析：,图像为开口向下对称轴为的抛物线,

所以时在上单调递减．

因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减．

所以在上,

．故C正确．

考点：1函数的奇偶性；2二次函数的单调性．

4.已知函数，则的值等于（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.

【详解】依题意，故选D.

【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.

5.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，则函数g（x）=bx2-ax的图象可能是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

∵一次函数有一个零点2，∴，即；则，令可得和，即函数图象与轴交点的横坐标为0，，故对应的图象可能为C，故选C.

6.已知函数y=（），则其单调增区间是（    ）

A. （-，0]    B. （-，-1]    C. [-1，+）    D. [-2，+）

【答案】B

【解析】

函数可以看作是由和两者复合而成，为减函数，的减区间为，根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为，故选B.

点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，属于基础题；寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础，充分理解“同增异减”的意义是关键，同时需注意当和类似于对数函数等相结合时，要保证单调区间一定在定义域内.

7.已知函数，则函数的零点个数为（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

画出函数图像，通过观察与图像的交点个数，得到函数的零点个数.

【详解】画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有两个零点.所以选A.

 【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查函数的零点问题，将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决.

8.定义在上的函数满足，，，且当时，，则等于（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

∵，，令得：，又，∴当时，；令，由得：；同理可求：；；①，再令，由，可求得，∴，解得，令，同理反复利用，可得；；…②，由①②可得：有，∵时，而，所以有，；故，故选B.

点睛：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用，，两次赋值后都反复应用，分别得到关系式两个关系式，结合时，从而使问题解决，实际上是两边夹定理的应用，属于难题.

二、填空题

9.计算：__________．

【答案】

【解析】

原式，故答案为.

10.已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】

由，得，，则，故答案为.

11.已知函数的定义域是，则的定义域是__________．

【答案】

【解析】

∵函数的定义域为，∴，解得，即函数的定义域为，故答案为.

点睛：本题主要考查了抽象函数的定义域，属于基础题；已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.

12.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．

【答案】.

【解析】

∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.

13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

【答案】6

【解析】

【分析】

先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.

【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .

【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.

14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：

①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；

②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；

③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；

④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．

其中，所有正确结论的序号是             ．

【答案】①④

【解析】

试题分析：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．

∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，

∴，

当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；

②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；

③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；

④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，

故正确的结论的序号为：①④，

故答案为：①④．

考点：命题的真假判断与应用．

三、解答题

15.已知集合，，且，，求实数，，的值及集合，．

【答案】

【解析】

试题分析：由，所以，，代入方程可得和集合A，再由，可得集合B，运用韦达定理即可得到所求，的值.

试题解析：因为，且，所以，解得；又，所以，又，，所以，解得，，所以.

16.已知是定义在上的奇函数．

（）若，求，的值．

（）若是函数的一个零点，求函数在区间上的值域．

【答案】（1）1；（2）

【解析】

试题分析：（1）由奇函数的定义可得，即可解出的值，将代入解析式即可得到的值；（2）将代入可得的值，化简可得函数，由和的单调性可得函数的单调性，故而可得函数的值域.

试题解析：（1）由题意，，所以，所以 ，因为，所以=3，所以。

（2）因为是函数的一个零点，所以，，

所以 ，因为函数和在区间上都是单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以在区间上，，。所以函数在区间上的值域为.

17.已知二次函数满足，其图象过点，且与轴有唯一交点．

（）求的解析式．

（）设函数，求在上的最小值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法设，依题意过点可得，由对称轴可得，由图象与轴有唯一交点零点可得，解出方程组可得函数解析式；（2）结合（1）可得函数的对称轴为，利用分类讨论思想分为，和三种情形，得到函数单调性，故可得其最值.

试题解析：（1）设二次函数的解析式为，因为，所以函数对称轴为。

因为图象过点，所以，因为函数的图象与轴有唯一交点，所以，所以，，，所以.

（2），函数图象对称轴为，且开口向上，

当时，即时，函数在上单调递增，所以；

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当即时，函数在上单调递减，

所以，所以h（a）=

点睛：本题主要考查了二次函数解析式的求法以及含有参数的二次函数最值的求法，充分体现了分类讨论思想在函数中的应用，属于中档题；利用待定系数法求二次函数解析式，主要是根据意义列出方程组，解出方程组即可；对于二次函数中的“轴动区间定问题”，主要是将函数的对称轴与所给区间的端点进行讨论.

18.函数是定义在上的奇函数，且．

（）确定函数的解析式．

（）判断并用定义证明在上的单调性．

（）若，求实数的所有可能的取值．

【答案】（1）；（2）增函数；（3）0

【解析】

试题分析：（1）根据条件可得代入解出方程组即可得函数解析式；（2）根据函数单调性的定义取值、作差、化简、下结论等步骤即可判断并证明的单调性；（3）根据单调性与奇偶性可得不等式组，解出不等式组即可.

试题解析：（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则即解得所以.

（2）任取，不妨设，y -=，因为，，，，，所以，即，所以在上是增函数；

（3）为上的奇函数，且由（2）知为增函数，则，所以解得.

19.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记．

（）求实数，的值．

（）若不等式成立，求实数的取值范围．

（）定义在上的函数，设，，，，将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数．试判断函数是否在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）10

【解析】

试题分析：（1）由已知中在区间的最大值为9，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于，的方程组，解得，的值；（2）由（1）参数，的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为或，解出不等式得到的取值范围；（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，分成，两个区间进行分别判断，进而判断是否恒成立，从而求出结论.

试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故解得

（2）由已知可得为偶函数，所以不等式可化为或，解得，即实数的取值范围是.

（3）函数为上的有界变差函数。

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

且对任意划分，

不妨设，

所以有，，

所以

；

当时， ；

当时， ，

综上，存在常数使得恒成立，所以的最小值为10。