海南省东方市民族中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

东方市民族中学2019-2020学年第一学期

高一数学期中试卷

一、选择题（12*5=60分）

1.设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

由题意可知，集合B由集合A中元素为正数的元素组成的集合，

结合集合可得：.

本题选择D选项.

2.已知集合，则下列式子表示正确的有（    ）

①；②；③；④.

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得集合A＝{﹣3，3}，依次分析4个式子：对于①由元素与集合的关系可得正确；②符号使用错误；③由空集的性质可得其正确；④|由于任何集合都是其本身的子集，可得其正确；综合可得答案．

【详解】根据题意，集合A＝{x|x2﹣9＝0}＝{﹣3，3}，依次分析4个式子：

对于①3∈A、3是集合A的元素，正确；

②{3}∈A、{3}是集合，有{3}⊆A，错误；

③∅⊆A、空集是任何集合的子集，正确；

④、任何集合都是其本身的子集，正确；

共有3个正确；

故选：B．

【点睛】本题考查集合的包含关系的判定以及元素与集合的关系，解答的关系是正确求出集合A．

3.已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，分类讨论，可得结论．

【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，

∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，

①m＜0，x，∴2，∴m，∴m＜0；

②m＝0时，C＝R,成立；

③m＞0，x，∴1，∴m≤1，∴0＜m≤1，

综上所述，m≤1，

故选：B．

【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

4.设则“且”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．

考点：本题考查充分、必要、冲要条件．

点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，所以选A．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．

5.设, 则 “”是“”的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.

【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

6.若，满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

化，利用对应系数解方程求得，再利用不等式性质求范围即可

【详解】，则 ，则

故选：B

【点睛】本题考查不等式的性质，考查方程思想的应用，是基础题

7.（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.

【详解】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；

对于C，，当且仅当时取等号；

对于D，当，时，，，，

所以

故选AD.

【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.

8.若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是（ ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】B

【解析】

试题分析：因为的解集为实数集，所以，故选B．

考点：不等式的求解．

9.不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将不等式进行等价转化，用其等价的不等式组求解．

【详解】不等式⇔，故可解得x＞﹣2且x≠1

故选：B．

【点睛】本题考查不等式的解法，本题形式较特殊，可根据其符号直接转化，省去了分类讨论这一过程，方法值得学习．

10.定义在R上的偶函数，在上是增函数，则（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B．

考点：1、函数的奇偶性及其应用；2、函数的单调性及其应用．

【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，属于基础题，解答本题的关键是利用函数的奇偶性，转化函数值，再利用函数的单调性进行比较大小关系，其中利用函数的奇偶性的转化思想是解题的一个易错点和难点．

11.函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式组即可得答案．

详解】由，解得：﹣5≤x≤﹣2．

∴函数的定义域为：[﹣5，﹣2]．

故选：C．

【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．

12.函数的最值的情况是（    ）

A. 没有最大值，也没有最小值 B. 最小值为1，没有最大值

C. 最大值为1，没有最小值 D. 最大值为2，最小值为1

【答案】B

【解析】

【分析】

去绝对值化简函数，即可得最值情况

【详解】，则 单增，故有最小值1，无最大值

故选：B

【点睛】本题考查分段函数及应用，考查函数的最值，是基础题

二、填空题（4*5=20分）

13.已知，则与的大小关系是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由结合题意和均值不等式的结论即可比较两者的大小关系，注意等号成立的条件.

【详解】，，，，

当且仅当，即时等号成立.

故.

【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中等题.

14.若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

f（x）+2f（﹣x）＝3x+2， f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x+2解方程组即可解决．

【详解】f（x）+2f（﹣x）＝3x+2 ①

f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x+2 ②

①﹣②×2：f（x）＝-3x，

故答案为：-3x．

【点睛】本题考查构造方程组的解析式的方法，较容易．

15.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

由f(x)＝－x2＋2ax得对称轴为x＝a，在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又由g(x)＝在[1,2]上是减函数，所以a>0，综合得a的取值范围为(0,1]．

16.已知函数，，并且最小值为，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围．

【详解】函数f（x）＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），

又∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴1＜a≤2，

故答案为：（1，2]．

【点睛】本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．

三、解答题（共70分）

17.已知全集，集合，．

（1）求，；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围．

【答案】（1），或 或；

（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，（∁UA）∪B；

（2）∁UB，求出根据C⊆∁UB，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

【详解】（1）全集，集合，，

则，所以，

或 或；

（2）集合，，

则．因为，

所以需满足或，故或，

所以实数的取值范围是或．

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查集合间的关系，注意数轴法的应用及端点值，是易错题．

18.已知函数.

（1）证明：函数在上单调递增；

（2）求在上的值域．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用单调性定义判断即可

（2）根据函数的单调性即可求出值域．

【详解】（1）证明：设，

则.

因为，所以，，

即，所以，所以，即，

所以在上单调递增．

（2）解：由（1）知上单调递增，

所以，，

所以的值域为.

【点睛】本题主要考查用单调性定义来证明函数单调性，以及函数的值域，考查推理能力，属于基础题．

19.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．

【解析】

【分析】

（1）根据已知得平均处理成本为，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利，根据二次函数图象可求得，可知不获利，同时求得国家至少补贴元.

【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：

当且仅当，即时取等号

月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元/吨

（2）不获利

设该单位每月获利为元

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴元才能不亏损

【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.

20.已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求的解析式及其定义域．

【答案】（1）；（2） 定义域为

【解析】

【分析】

（1）利用和的函数值列方程组，解方程组可求得的值.（2）先求得的解析式，然后根据解析式求函数的定义域.

【详解】(1)由

解得

∴f(x)＝x2－6x＋5.

(2)f()＝()2－＋5

＝－＋5.

由x＋1>0，得定义域为(－1，＋∞)．

【点睛】本小题主要考查二次函数待定系数法求解析式，考查函数对应法则以及定义域的求法.属于中档题.

21.已知是定义在上的奇函数．

（）若，求，的值．

（）若是函数的一个零点，求函数在区间上的值域．

【答案】（1）,；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）由奇函数的定义可得，即可解出的值，将代入解析式即可得到的值；（2）将代入可得的值，化简可得函数，由和的单调性可得函数的单调性，故而可得函数的值域.

试题解析：（1）由题意，，所以，所以，因为，所以=3，所以．

（2）因为是函数的一个零点，所以，，

所以，因为函数和在区间上都是单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以在区间上，，．所以函数在区间上的值域为.

22.设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.

(1)求f()的值；

(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.

【答案】（1）-1 ； （2）见解析； （3）{x|}．

【解析】

【分析】

(1)先给x,y取值，当x＝y＝1时，求出 f(1)＝0. 当x＝2，y＝时，即可求出f()的值.(2) y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，再利用单调性的定义证明.(3) 由(1)知，f()＝－1，所以f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()，得到f(2x)>f(4x－3)，再利用函数的单调性解不等式得解.

【详解】(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.

当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，

即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.

(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：

设0<x1<x2，则f(x1)＋f()＝f(x2)，

即f(x2)－f(x1)＝f()．

∵>1，故f()>0，

即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()

＝f( (8x－6))＝f(4x－3) 

∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴

解得解集为{x|}．

【点睛】(1)本题主要考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.