湖北省普通高中联考协作体2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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2018-2019学年湖北省普通高中联考协作体

高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集U={1，2，3，5，6，7，8}，集合A={1，3，5}，B={5，6，7，8}，则A∩（∁UB）=（　　）

A.     B.     C.     D. 3，

【答案】A

【解析】

【分析】

根据交集与补集的定义，计算即可．

【详解】全集U={1，2，3，5，6，7，8}，A={1，3，5}，B={5，6，7，8），

则∁UB={1，2，3}，

∴A∩（∁UB）={1，3}．

故选：A．

【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．

2.设集合A={x|-l＜x≤4}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B=（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

进行交集的运算即可．

【详解】因为集合A={x|-1＜x≤4}，B={x|0＜x＜5}，

所以A∩B={x|0＜x≤4}．

故选：B．

【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算．

3.函数f（x）=的定义域为（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【详解】要使函数f（x）有意义，需满足，解得–3<x<1，∴f（x）的定义域为（–3，1）．

故选C．

【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．

4.设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先分别求出集合A和B，由此能求出结果．

【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.设a=2.10.3，b=log43，c=log21.8，则a、b、c的大小关系为（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，比较a，b，c与1的大小，结合对数函数的单调性得答案．

【详解】：a=2.10.3＞2.10=1，

∵，c=log21.8，

且＜2，

∴b＜c＜1．

∴a＞c＞b．

故选：B．

【点睛】本题考查函数值的大小比较，考查对数的运算性质，指数函数与对数函数的图象与性质，是基础题．

6.已知函数f（x）=，则f（-1）•f（）+f（f（））=（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式结合自变量的取值范围求解即可．

【详解】∵函数f（x）=，

∴f（-1）=3-1=，

f（）==-3，

f（）= ，

f（f（））=f（）==，

∴f（-1）•f（）+f（f（））=+．

故选：A．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.下列函数中，既为偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

要判断函数是否为偶函数，只要检验f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可．

【详解】A：，f（-x）=-x-为奇函数，不符合条件；

B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），为偶函数，但是在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；

C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）为偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上单调递增，符合题意；

D：y=2|x|-x2满足f（-x）=f（x），即为偶函数，但是在（0，+∞）有，不是单调递增，不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，属于基础试题．

8.已知集合A={x|x2-3|x|+2=0}，集合B满足A∪B={-2，-l，1，2}，则满足条件的集合B的个数为（　　）

A. 4    B. 8    C. 16    D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】

先求解集合A,再由A∪B=A，得B⊆A，利用自己个数的求解公式即可得解.

【详解】由x2-3|x|+2=0，解得|x|=1或2，A={-2，-1，1，2}；

∵A∪B={-2，-1，1，2}=A；

∴B⊆A；

∵A子集的个数为：；

∴满足条件的集合B的个数为16．

故选：C．

【点睛】考查描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，并集及子集的定义．

9.已知集合A={x|x2一x一6=0}，B={x|ax+6=0}，若A∩B=B，则实数a不可能取的值为（　　）

A. 3    B. 2    C. 0    D.

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出A={-2，3}，根据A∩B=B即可得到B⊆A，这样即可讨论B是否为空集，从而求出a的可能取值，这样即可选出a的不可能取值．

【详解】A={-2，3}；

∵A∩B=B；

∴B⊆A；

∴①B=∅时，a=0；

②B≠∅时，；

∴或；

∴a=3，或-2；

综上得，a不可能取的值为2．

故选：B．

【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．

10.函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与f（x）的值域不相同的函数为（　　）

A. ，一1，0，1，2，    B. ，

C. ，1，    D. ，1，

【答案】C

【解析】

【分析】

求出f（x）=[x]在[-，]上的值域，与选项C中函数的值域，比较可知选C．

【详解】当x∈[-，0）时，f（x）=-1；

当x∈[0，1）时，f（x）=0；

当x∈[1，2）时，f（x）=1；

当x∈[2，3）时，f（x）=2；

当x∈[3，）时，f（x）=3，

所以当x∈[-，]时，f（x）的值域为：{-1，0，1，2，3}

对于C：y=，x∈{-1，1，，} 可求出值域为：{-1，1，2，3，4}

故选：C．

【点睛】本题考查了分段函数的值域、属基础题．

11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其与函数y=x有相同的单调性，且f（2）=-1，若-l≤f（3a-2）≤1，则实数a的取值范围为（　　）

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用奇偶性和单调性解不等式．

【详解】因为y=x是（0，∞）上的减函数，所以f（x）是定义在R上的减函数，

又f（2）=，所以，

所以-1≤f（3a-2）≤1，等价于f（2）≤f（3a-2）≤f（-2），

所以2≥3a-2≥-2，

解得：，

故选：D．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性．属基础题．

12.已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），则方程2f（x）-l=0的实数根的个数为（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

运用指数方程和二次方程的解法，结合判别式的符号，即可得到所求根的个数．

【详解】函数f（x）=，

则方程2f（x）-l=0，

即有f（x）=，

即为，

可得-|x2-x|=-ln2，

即x2-x+ln2=0或x2-x-ln2=0，

由（x-）2ln2＜0，方程无实数解；

由（x-）2+ln2＞0，方程有两个不等实数解．

综上可得方程2f（x）-l=0的实数根的个数为2．

故选：B．

【点睛】本题考查方程解的个数，注意运用二次方程的解法，考查运算能力，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知集合A={x∈N|x2-2x-4＜0}，则A中所有元素之和为______

【答案】

【解析】

【分析】

求解一元二次不等式化简A，则答案可求．

【详解】由x2-2x-4＜0，得1-＜x＜1+．

∴A={x∈N|x2-2x-4＜0}={0，1，2，3}，

∴A中所有元素之和为0+1+2+3=6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查元素与集合间的关系，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

14.已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式可得3-a+3a=3，

又由f（2a）+f（-2a）=3-2a+32a=（3-a+3a）2-2，变形可得答案．

【详解】根据题意，f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则3-a+3a=3，

f（2a）+f（-2a）=3-2a+32a=（3-a+3a）2-2=7；

故答案为：7．

【点睛】本题考查函数值的计算，涉及指数的运算，属于基础题．

15.设命题p：函数y=lg（ax2+ax+1）的定义域为R，若p是真命题，则实数a的取值范围______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据对数函数的定义，结合命题的真假性，得出ax2+ax+1＞0在R上恒成立，从而求出a的取值范围即可．

【详解】∵命题p：函数y=lg（ax2+ax+1）的定义域为R，且p是真命题，

∴ax2+ax+1＞0在R上恒成立；

当a=0时，1＞0满足题意；

当a≠0时，有，

解得0＜a＜4；

综上，实数a的取值范围是0≤a＜4．

故答案为：0≤a＜4．

【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是基础题目．

16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2）=1，f（x+4）=2f（x）+f（1），则f（3）=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，在f（x+4）=2f（x）+f（1）中，令x=-2可得f（2）=2f（-2）+f（1）=2f（2）+f（1），变形可得f（1）的值，再令x=1可得：f（3）=2f（1）+f（1）=3f（1），即可得答案．

【详解】根据题意，函数f（x）为偶函数且满足f（x+4）=2f（x）+f（1），

令x=-2可得：f（2）=2f（-2）+f（1）=2f（2）+f（1），变形可得f（1）=-1，

再令x=-1可得：f（3）=2f（-1）+f（1）==2f（1）+f（1）=3f（1）=-3；

故答案为：-3．

【点睛】本题考查函数的求值，涉及抽象函数的问题，注意用特殊值法分析，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩（∁UB）={1，3，5，7}，∁U（A∪B）={9}，求集合B．

【答案】

【解析】

【分析】

结合Venn图分析集合的关系即可得解.

【详解】

U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；

又A∩（∁UB）={1，3，5，7}，∁U（A∪B）={9}；

∴∁UB={1，3，5，7，9}；

∴B={2，4，6，8}．

【点睛】考查列举法的定义，交集、并集和补集的运算．

18.已知集合A={x|log2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．

【答案】

【解析】

【分析】

可先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【详解】由log2（2x-4）≤1，可得0<2x-4≤2.

解得A=（2，3]，

x时，y=（）x≤且（）x>0.

∴B=.

∴．

【点睛】考查描述法的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及交集的运算．

19.已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，求函数f（x2+1）的最小值．

【答案】

【解析】

【分析】

设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，推导出f（0）=c=2，2ax-a+b=2x+1，从而f（x）=x2+2x+2，由此能求出函数f（x2+1）的最小值．

【详解】解：∵二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，

∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，

∴f（0）=c=2．

ax2+bx+c-a（x-1）2-b（x-1）-c=2x+1．

∴2ax-a+b=2x+1，

∴，解得，

∴f（x）=x2+2x+2，

令t=x2+1，则t≥1．

函数f（x2+1）即为f（t）=t2+2t+2=（t+1）2+1，

又f（t）在[1，+∞）上单调递增．

∴f（t）min=f（1）=5，

∴函数f（x2+1）的最小值为5．

【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20.已知奇函数f（x）=a-（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）判定并证明f（x）的单调性；

（2）若对任意实数x，f（x）＞m2-4m+2恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）上的递增函数，证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）用单调性定义证明；

（2）先用奇函数性质求出a=1，再根据单调性求出函数最值，最后用最值使不等式成立即可．

【详解】解：（1）f（x）是R上的单调递增函数．

证明：因f（x）的定义域为R，任取x1，x2∈R且x1＜x2．

则f（x2）-f（x1）=-=．

∵y=ex为增函数，∴＞＞0，∴+1＞0，+1＞0．

∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），

故f（x）是R上的递增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），

∴a-=-a+，∴2a=2，∴a=1，

∴f（x）=1-，

令t=ex+1，∵ex＞0，∴t＞1，

又g（t）=1-在（1，+∞）上为增函数，

∴-1＜g（t）＜1，即-1＜f（x）＜1，

当f（x）＞m2-4m+2对任意实数x恒成立，

有m2-4m+2≤-1，即m2-4m+3≤0，

∴1≤m≤3，

故实数m的取值范围是[1，3]．

【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式恒成立．属中档题．

21.我国开展扶贫T作始于上世纪80年代中期，通过近30年的不懈努力，很多贫困地区和家庭都已脱贫致富，扶贫T作取得了举世公认的辉煌成就．2013年11月，习总书记又作出了“精准扶贫”的重要指示，我国于2014年开始全面推动了“精准扶贫”的工作．某单位甲在开展“精准扶贫”中，为帮扶“精准扶贫”对象--农户乙早日脱贫致富，与乙协商如下脱贫致富方案：让乙种植一年生易种药材，当乙种植面积不超过4亩时，甲投入2万元的成本；当乙种植面积超过4亩时，每超过1亩（不足1亩时按1亩计算），甲再追加投入2千元的成本，且甲投入的成本乙必须全部用于该药材种植．而每年该药材的总收益R（x）（单位：元）满足R（x）=-100x2+3200x+45000（其中x为种植药材面积，其单位为亩，且x∈N*，x≤20）．

（l）试表示甲这一年扶贫乙时所投入的成本g（x）（单位：元）关于种植该药材面积x的函数；

（2）试表示乙这一年的纯收益f（x）（单位：元）（注：纯收益一总收益一成本），当乙种植多少亩该药材时，才能使他当年的纯收益最大？其最大纯收益为多少元？

【答案】（1）；（2）当乙种植亩时，纯收益最大，最大值为元.

【解析】

【分析】

（1）直接由题意可得g（x）关于种植该药材面积x的函数；

（2）写出一年的纯收益f（x），利用配方法求出两段的最值，取最大值得答案．

【详解】解：（1）由题意，g（x）=

=；

（2）f（x）=．

当0＜x≤4时，f（x）为增函数，∴f（x）max=f（4）=36200；

当4＜x≤20时，f（x）=-100（x-6）2+36600．

故当x=6时，f（x）max=36600．

又36600＞36200．

故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．

【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．

22.已知函数f（x）=ax2+2ax+3-b（a≠0，b＞0）在[0，3]上有最小值2，最大值17，函数g（x）=．

（l）求函数g（x）的解析式；

（2）证明：对任意实数m，都有g（m2+2）≥g（2|m|+l）；

（3）若方程g（|log2x-1|）+3k（-1）=0有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）只需要利用好所给的在区间[0，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；

（2）可判断g（x）在（0，+∞）上为增函数，又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0，即可判定；

（3）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．

【详解】解：（1）∵f（x）=ax2+2ax+3-b=a（x+1）2+3-a-b，故抛物线的对称轴为x=-1．

①当a＞0时，抛物线开口向上，∴f（x）在[0，3]上为增函数．

f（x）min=f（0）=3-b=2，f（x）max=f（3）=15a-b+3=17．

∴a=1，b=1

②当a＜0时，抛物线开口向下，f（x）在[0，3]上为减函数．

f（x）min=f（3）=15a-b+3=2，f（x）max=f（0）=3-b=17．

∴a=-1，b=-14．又b＞0，∴a=1，b=1符合题意

∴f（x）=x2+2x+2．g（x）=x-+2．

（2）证明：任取x2＞x1＞0，则g（x2）-g（x1）=（

∵x2-x1＞0，x1x2＞0．∴g（x2）-g（x1）＞0，．

故g（x）在（0，+∞）上为增函数．

又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0；

∴m2+2≥（2|m|+l）>0．∴g（m2+2）≥g（2|m|+l）．

（3）令t=|log2x-1|，则方程为g（t）+3k（-1）=0，即t-+2+3k（-1）=0

可化为t2+（2-3k）t+3k-2=0 （△）．

因为当t>0时，t=|log2x-1|有两个x,

当t=0时，t=|log2x-1|有一个x，

当t<0时，t=|log2x-1|无解

当原方程有四个不同实数解时，关于t的（△）方程有两个不相等的正实根．

∴，即 ∴k＞2．

故实数k的取值范围为（2，+∞）．

【点睛】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．属于中档题．