湖北省孝感市八校联考2017-2018学年高一上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

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2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟期中联合考试

高一理科数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

∴，故选C.

2. 下列各组函数是同一函数的是（   ）

A. 与    B. 与

C. 与    D. 与

【答案】B

【解析】对于选项B,两个函数的定义域都是R,根据对数的运算法则，，对应法则相同，故两个函数是同一个函数，选B.

点睛：本题涉及函数定义域的求法，函数解析式得化简及函数构成的两要素，属于中档题.处理此类问题的关键是求出两个函数的定义域，如果不同，则为不同函数，如果相同，再分析其解析式，经过等价变形后两个是否相同，不同则是不同函数，相同则是相同的函数.

3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是，因为满足，且在上是增函数，故选D.

4. 函数零点所在的大致区间是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】因为，即，所以零点在区间内，故选C.

5. 已知，，，则，，的大小关系是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】因为，，，所以，故选C.

6. 函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】二次函数开口向上，对称轴为，因为函数在区间上为单调函数，所以或，解得或，故选A．

点睛：本题主要考查了二次函数及其图像，二次函数的单调性等问题，属于中档题，处理此类问题时，要紧密联系二次函数的图象，以及一元二次方程，解决二次函数单调性时，要注意开口方向以及函数对称轴，解题时注意对称轴与所给区间的相对位置关系．

7. 已知函数则等于（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】根据函数解析式知，，故选B．

8. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数的值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】因为图象关于直线对称且在函数的图像上，则点在函数（且）上，代入解得，故选A.

9. 函数的单调递减区间是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

...............

10. 如图，半径为2的圆与直线相切于点，动点从点出发，按逆时针方向沿着圆周运动一周，这，且圆夹在内的弓形的面积为，那么的图象大致是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由已知中径为2的⊙○切直线AB于点P，射线PT从PB出发绕点P逆时针方向旋转到PA，旋转过程中，弓形的面积不断增大,而且弓形的面积由0增大为半圆面积时，增大的速度起来越快，而由半圆增大为圆时增大速度越来越慢，分析四个答案中的图象，可得C满足要求,故答案为C．

点睛：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．

11. 已知函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的实数的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为函数是定义在上偶函数，且在内是减函数，若，则，所以在y轴的左侧有时，，根据函数图像的对称性知当时，，即的解为，所以的解为，故选D.

点睛：本题考查了抽象函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.

12. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由可知函数在递减且，在递增，且，当函数递减且，因此有3个零点，只需函数图象有三个交点，过只需，故选B．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 函数在区间上值域为__________．

【答案】

【解析】因为函数在上是减函数，所以，故值域为，填.

14. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】令且，得，解得，故填．

点睛：本题主要考查函数定义域的求法，属于中档题．解题时注意要使函数各部分都有意义，然后求其交集即可，要积累常见函数有意义的条件，如开偶次方被开方数非负，零次幂的底数非零，分式的分母非零，对数真数为正数等条件，以便求函数定义域时使用．

15. 已知函数是幂函数，且当时，是增函数，则实数的值为__________．

【答案】3

【解析】函数是幂函数，所以，解得或，又当时，是增函数，所以，故，填

16. 若对于函数的定义域中任意的，（），恒有和成立，则称函数为“单凸函数”，下列有四个函数：

（1）；（2）；（3）；（4）．

其中是“单凸函数”的序号为__________．

【答案】（2）（3）

【解析】根据“单凸函数”的定义，满足 的函数是增函数，所以（4）不是，对于（1）当，时，，不符合定义，对于（2）（3）符合定义，故填（2）（3）.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 化简计算下列各式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据指数幂的运算法则即可求出；

（2）根据对数的运算法则及特殊值的对数即可求解.

试题解析：

（1）原式 ．　

（2）原式

．

18. 已知,．

（1）当时，求和；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】试题分析：（1）时，写出集合B，利用数轴即可求出；

（2）分时与时两种情况分类讨论即可求出结论.

试题解析：

（1）时，，

故，．

（2）当时，，则；

当时，，则，由，

得或解得或，

综上可知，的取值范围是．

点睛：求参数的取值范围的关键，是转化条件得到相应参数的方程或不等式，本题根据集合之间的关系是空集，从数轴上，数形结合、分类讨论，可以得到参数的取值范围，注意在处理集合关系及交并补运算的时候，特别考虑端点的取等成立与否的问题，否则非常容易出错.

19. 已知函数（且）是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若1是函数的零点，求实数的值．

【答案】（1）2；（2）3．

【解析】试题分析：（1）根据函数是奇函数，利用奇函数的定义即可求解；

（2）根据零点的概念，把1代入，即可求出a的值．

试题解析：（1）因为函数为奇函数，则，即，

即，所以，故有，所以，

当时， 不成立，

当时，，经验证成立，

所以．

（2）由（1）知，

∵是函数的零点，∴，

即，即，解得．

20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　

（1）求函数的解析式；

（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；

（3）求使的实数的取值集合．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；

（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象；

（3）观察图象，在x轴上方的图象所对应的x的值的集合即为所求．

试题解析：

（1）设，则，

∴，

∵函数是定义在上的奇函数，

∴（），

∴

（2）函数的图象如图所示：

（3）方程的根是，，，所以由函数的图象可知不等式的解集为．

21. 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数，其中 是新样式单车的月产量（单位：件），利润总收益总成本．

（1）试将自行车厂的利润元表示为月产量的函数；

（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．

【解析】试题分析：（1）根据利润总收益总成本写出利润与月产量的函数关系；（2）根据分段函数，分别求每段的最大值，分别利用二次函数和一次函数知识，注意自变量是自然数，即可求出.

试题解析：

（1）依题设，总成本为，

则

（2）当时，，

则当时，；

当时，是减函数，

则，

所以，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．

22. 已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）用单调性的定义证明为上的增函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解．

试题解析：

（1），∵，

∴是奇函数．

（2）任取，，且，则

，

∵，∴，

∵，

∴，即，∴在上是增函数．

（3）∵为奇函数且在上为增函数，

∴不等式化为，

∴对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．　

①时，不等式化为恒成立，符合题意；

②时，有即．　

综上，的取值范围为．

点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题．涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法．