辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．命题“存在， ”的否定是A． 不存在，       B． 存在， C． 对任意的，     D． 对任意的， 2．已知全集为，集合，，则集合 A．     B．     C．     D． 3．如果，那么下列各式一定成立的是A．     B．     C．     D． 4．已知函数，则=A．     B．     C．     D． 5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为 ,A．     B．     C．     D． 6．的一个充分但不必要的条件是A．     B．     C．     D． 7．已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是①若 ， ，，则    ②若，，则③若，，，则  ④若 ， ，则//A． 1    B． 2    C． 3    D． 48．已知，则的A． 最大值为    B． 最小值为C． 最大值为    D． 最小值为9．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是A． （1）（2）（3）    B． （1）（4）    C． （1）（2）（4）    D． （2）（4）10．函数，若，，，则有A．     B．     C．     D． 11．设函数，，若，使得和同时成立，则的取值范围为A．       B．C．      D．12．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为A．     B．     C．     D．  二、填空题13．已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm14．已知，则的最小值是________15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是            。16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________． 三、解答题17．已知幂函数在上单调递增，函数Ⅰ求m的值；Ⅱ当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．解关于的不等式19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；20．某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用（）（单位：万元）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（1）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？21．如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，,F是AB上的一点，且,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知（1）求证：AD平面BCE（2）求证：AD//平面CEF；（3）求三棱锥A-CFD的体积.22．已知函数，若同时满足以下条件：①在D上单调递减或单调递增；②存在区间，使在 上的值域是，那么称为闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间 ；（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；（3）若是闭函数，求实数的取值范围
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题数学  答 案参考答案1．D【解析】特称命题的否定是全称命题，所以为“对任意的， ”，故选D。2．D【解析】【分析】由题意，求得集合，再根据集合的补集和交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意可得，集合,，所以，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C【解析】试题分析：令，代入验证排除A，B，D选项，故选C.考点：不等式的基本性质.4．B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求解，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确把握分段函数的解析式，根据分段条件代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C【解析】【分析】当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．【详解】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离，所以，∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积的最值问题，其中解答中根据题意，把矩形折叠成一个三棱锥，求解点B到平面ACD的距离是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．B【解析】【分析】先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.【详解】由不等式，可得，解得，由此可得：选项A，是不等式成立的一个充要条件；选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，故选B.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7．C【解析】【分析】由线线平行的性质定理能判定A是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判定C的正误，在D中，可得或，即可得到答案.【详解】由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，在A中，由于，过直线平面都相交的平面，记，则且，所以，又，所以，故A是正确的；在B中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；在D中，若，则或，，所以是不正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8．A【解析】【分析】由题意知，则，化简，利用基本不等式即可求解.【详解】由题意知，则，又由，当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.10．D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.详解：，在上为减函数，且时，时，，且，，且，且，，在上单调递减，，即 ，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用11．A【解析】试题分析：函数的图象恒过定点（1，4），的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．由知，又存在，使得，知即或，另中恒过（2，0），故由函数的图象知：a=0时，恒大于0，显然不成立．若时，，；若a<0时，，此时函数图象的对称，故函数在区间为增函数，又不成立．故选A．考点：一元二次不等式的解法12．B【解析】【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【详解】△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到 见图示：AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：B．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.13．【解析】【分析】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，利用扇形的弧长公式和勾股定理，即可求解.【详解】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是．【点睛】本题主要考查了旋转体的侧面展开图的应用问题，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，利用弧长公式求解圆心角的度数，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力.14．【解析】【分析】由题意，整理得，再利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．[2，3）【解析】试题分析：若0＜a＜1，则函数在区间（-∞，1]上为增函数，不符合题意；若a＞1，则在区间（-∞，1]上为减函数，且t＞0∴即a的取值范围是[2，3）．考点：对数函数的图象与性质．16．【解析】【分析】由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果.【详解】由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，小球与一个面不能接触到的部分的面积为，所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.【点睛】本题主要考查了几何体的结构特征的应用，其中解答的关键是看出小球的运动轨迹是什么，得到一个正三角形，通过计算正三角形的面积之间的关系，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.17．(1),(2)【解析】试题分析：根据幂函数定义得出解出值，根据函数单调性取舍，根据范围求出值域，利用集合包含关系求出的范围.试题解析：（Ⅰ）依题意得：或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去 ．（Ⅱ）当时，，单调递增， ，由命题是成立的必要条件，得， ．18．见解析【解析】【分析】由题意，原不等式等价于，分类讨论，即可求解不等式的解集.【详解】原不等式等价于(1)当时，解集为(2)当时，原不等式可化为，因为，所以解集为(3)当时，，解集为(4)当时，原不等式等价于，即，解集为(5)当时，，解集为综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为【点睛】本题主要考查了含参数的分式不等式的求解，以及含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解答中根据参数，合理分类讨论求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.19．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．【详解】证明：（1）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC． 因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC． 因为 A1D∩BD=D， 所以 AC⊥平面A1BD． 所以 AC⊥A1B． （2） 因为 A1D⊥平面ABC，因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD． 由（1）知 BD⊥AC．因为 AC∩A1D=D，所以 BD⊥平面A1ACC1．因为 BD⊂平面BB1D，所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．20．（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，根据，求得的值，得到，进而得到函数利润万元表示为年促销费用万元的函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意有，得 故∴ （2）由（1）知： 当且仅当即时，有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.【点睛】本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.21．（1）参考解析；（2）参考解析；(3) 【解析】试题分析：（1）因为由于AB是圆的直径，所以AD⊥BD,又因为点C在平面ABD的射影E在BD上，所以CE⊥平面ADB.又因为平面ADB.所以AD⊥CE.又因为.所以AD⊥平面BCE.（2）因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF, 平面CE.所以AD//平面CEF.(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.试题解析：（1）证明：依题意： 平面    ∴      ∴平面．            4分（2）证明：中，， ∴中，， ∴． ∴ ． ∴在平面外，在平面内，∴平面．            8分（3）解：由（2）知，，且平面∴．       12分考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.22．（1），；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值；（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围【详解】解：（1）∵在R上单减，所以区间[a，b]满足，解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴ 得，即所求．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.