山东省威海荣成市2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

高一数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合,，则（ ）

A.       B.         C.      D.

2.三个数之间的大小关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

3.下列函数中，满足的是

A．  B．   C．    D．

4.函数的零点必定位于区间  (   )                          

A．        B．       C．        D．

5.已知函数则实数的值是（   ）

A．          B．           C．          D．

6.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是  （    ）

A．若，，则            B．若，，则

C．若，，则     D．若，，则

7.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是(　　)

A．        B．     C．      D．

8.函数的图像与的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间

A.        B.       C.        D.

9.在梯形中，,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

A．           B.          C.          D.  

10.已知为正实数且，则下列各式中恒成立的是

A.    B.  

C.    D.

11.如图平面平面平面，两条直线，分别与平面相交于点,,和点,,.已知，，，则的长为

A．             B．            C．          D．

12.已知函数，若，则实数的取值范围为

A．    B．    C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．     请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2．     不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数的定义域是，则函数的定义域为          ．

14.化简＝          ．

15.已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为　　　　　．

16.有下列几个说法：

①集合与集合是同一个集合；

②在是减函数；

③函数为幂函数，且图像关于轴对称，则的值为；

④已知，满足，则实数；

⑤已知奇函数在上是减函数，若，则有.

其中正确说法的序号是　　　　　．

三、解答题:本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）（Ⅰ）若；

（Ⅱ）已知集合若,求实数的取值范围.

18.（本小题满分12分) 如图，三棱柱中，为边中点．

（Ⅰ）求证：平面；                             

（Ⅱ）设过上底面内一点和棱的平面为，平面与平面的交线为，判断直线与棱的位置关系并证明．

19.（本小题满分12分）某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式(为常数)，图象如图.

（Ⅰ）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式；

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生才能回到教室.

20.（本小题满分12分）如图，已知：在菱形中，平面,，,，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（III）求三棱锥的体积.

21.（本小题满分12分）已知函数,,函数的最小值为.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若对任意，都有成立，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）已知函数为偶函数，当时，.

（Ⅰ）求当时，函数的解析式；

（Ⅱ）判断函数在上的单调性并证明；

（III）设函数，使函数有唯一零点的所有构成的集合记为,求集合.

高一数学答案

一、选择(60分) BCCBB,ADCCD,AD

二、 填空(20分)

13.  14.10   15.     16. ③⑤

三、解答题(70分)

17.(10分)

(I)解:∵ ∴     ………2分

∴ ………3分

………4分

………5分

（II）∵，由对数函数的性质可得，，………6分

解得，即 ，                       ………7分

∵由指数函数的性质可得，，               ………8分

可得即，                          ………9分

∵,∴,∴,                   ………10分

18. (12分)

(I)证明:连接交于点,连接，∵四边形为平行四边形,∴为的中点,                                          ………2分

∵为边中点,∴在三角形中,                ………4分

且,∴平面                ………6分

（II）直线与棱的位置关系为,                      ………8分

证明:∵,且,∴,……10分∵,∴                 ………12分

19(12分)【答案】(I)药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(时)成正比，则设函数关系式为y＝kt(k≠0)，将点(，1)的坐标代入可得k＝10，

则y＝10t；                                               ………2分

将点(，1)的坐标代入,得，                            ………4分

故所求函数关系式为                ………6分

（Ⅱ）令，                            ………8分

解得.                                     ………10分

即从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室. ………12分

20(12分)(I)证明：取的中点,连接,,又∵是的中点

∴，                            ………1分

∵菱形，是的中点∴,      ………2分

∴,∴四边形为平行四边形，          ………3分

∴,且，∴ ………4分

（Ⅱ）连接,∵菱形,∴,                  ………5分

∵平面,∴,且,

∴,………7分

由，∴.………8分

（III）在中可得，到的距离为，………9分

∴,………10分

∵平面,∴………12分.

21. (12分)

解：(I)设,∵，

∴ ………1分

∴， ………2分

二次函数的对称轴

当，∴时，取得最小值，  ………3分

当，∴时，取得最小值                                            ………4分

当，∴时，取得最小值      ………5分

综上可知.                          ………6分

（Ⅱ）∵对任意时，都有成立,∴大于在取得的最大值，………7分

由(I)可知在递减，，取得最大值为，………8分

在上递减，取得的最大值为，……10分

∵

∴大于在取得的最大值为，

∴             ………12分

22. (12分)

解：(I)当时，，

∵函数为偶函数，∴，∴.         ………2分

（Ⅱ）函数在上的单调递减，………3分

设任意，

                   ………5分

在递增,∴，                      ………6分

所以，∴函数在上的单调递减.          ………7分

（III）∵函数为偶函数,∴函数在上的单调递增，………8分

函数的零点就是方程的解，

∵有唯一零点，∴方程有唯一的解， 

∵函数为偶函数，∴方程变形为，

∵函数在上的单调递增

∴，                             ………9分

平方得，

当时，，经检验方程有唯一解，        ………10分

当时，

，

综上可知                           ………12分