2022秋新教材高中数学课时跟踪检测二十一椭圆及其标准方程新人教A版选择性必修第一册

这是一份2022秋新教材高中数学课时跟踪检测二十一椭圆及其标准方程新人教A版选择性必修第一册，共5页。
课时跟踪检测（二十一）  椭圆及其标准方程1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　　　　　 B．直线C．线段  D．点解析：选C　由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB.2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为(　　)A．＋＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1解析：选D　法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C，故选D.法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得故选D.3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)A．4  B．5C．7  D．8解析：选D　 焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，所以m＝8.4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)A．2  B．6C．4  D．12解析：选C　由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.5．“m>0且n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示椭圆”的(　　)A．充分不必要条件   B. 必要不充分条件C．充要条件   D. 既不充分又不必要条件解析：选B　当m＝n>0时方程 mx2＋ny2＝1表示圆，故m>0且n>0⇒/ 方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，而方程mx2＋ny2＝1表示椭圆⇒m>0且n>0.6．若焦点在x轴上的椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝17．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________________. 解析：根据椭圆标准方程的形式，可知方程＋＝1表示椭圆的条件是解得1<m<7且m≠4，所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7)．答案：(1,4)∪(4,7)8．已知中心是坐标原点的椭圆C过点，且它的一个焦点为(2,0)，则C的标准方程为________．解析：根据题意，椭圆的一个焦点为(2,0)，则c＝2，设椭圆的方程为＋＝1，又由椭圆经过点，则有＋＝1，解得a2＝5，则椭圆的方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝19．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．解：∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于12；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)．解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝5,2a＝12，所以a＝6，b2＝a2－c2＝36－25＝11，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1.1．化简方程 ＋＝10为不含根式的形式是(　　)A．＋＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1解析：选C　 由题意可知方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，且6<10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16，相应椭圆方程为＋＝1. 2．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为(　　)A．0  B．2C．3  D．4解析：选B　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.又因为b＝2，所以点P为该椭圆与y轴的两个端点．3.如图所示，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．解析：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，解得b2＝2，则a＝2b＝2.∴所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝14．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________；当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围是________．解析：由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．若∠F1PF2为直角，则·＝0，即x＋y＝4，          ①又＋y＝1，          ②①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.若∠F1PF2为钝角，则·<0，即x＋y<4，③　又＋y＝1，④由③④，得－<x0<.答案：±　5．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，由已知条件得解得所以b2＝a2－c2＝12.于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意有＝3，得b2＝12.于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，        ①在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.          ②①2－②，整理得|PF1|·|PF2|＝.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin＝.(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.所以|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.