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    人教B版高考数学一轮总复习第2章第4节二次函数与幂函数学案

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    人教B版高考数学一轮总复习第2章第4节二次函数与幂函数学案

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    这是一份人教B版高考数学一轮总复习第2章第4节二次函数与幂函数学案,共10页。
    4节 二次函数与幂函数一、教材概念·结论·性质重现1幂函数的概念一般地,函数yxα称为幂函数,其中α为常数.幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数.(2)xα的系数为1.(3)解析式只有一项.2常见的五种幂函数的图像3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,+)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1)(2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在(0,+)上是增函数(3)如果α<0,则幂函数在(0,+)上是减函数,且在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限逼近y轴;当x无限增大时,图像在x轴上方且无限逼近x轴.4二次函数的图像与性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图像定义域R值域单调性上单调递增;上单调递减上单调递增;上单调递减奇偶性b0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数顶点对称性图像关于直线x=-成轴对称图形(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.(2)f(x)ax2bxc(a0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.二、基本技能·思想·活动体验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)函数y2x是幂函数.( × )(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )(3)n<0时,幂函数yxn是定义域上的减函数.( × )(4)二次函数yax2bxcxR不可能是偶函数.( × )2.已知幂函数yf(x)的图像经过点,则f(2)(  )A          B4C   DC 解析f(x)xα因为图像过点所以f(4)4α解得α=-所以f(2)2.3已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方,则a的取值范围是(  )A.   B.C.   D.C 解析:由题意知解得a>.4.已知函数y2x26x3x[1,1],则y的最小值是________1 解析:因为函数y2x26x3的图像的对称轴为x>1,所以函数y2x26x3[11]上单调递减.x1时,y取得最小值,所以ymin263=-1.5.函数f(x)(m2m1)xm是幂函数,且在x(0,+)上单调递增,则实数m的值为__2__.考点1 幂函数的图像与性质——基础性1.与函数yx1的图像关于x轴对称的图像大致是(  )B 解析:yx的图像位于第一象限且为增函数,所以函数图像是上升的,函数yx1的图像可看作由yx的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示).将yx1的图像关于x轴对称后即为选项B.2.已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图像关于y轴对称,且在(0,+)上单调递减,则n的值为(  )A.-3   B1C2   D12B 解析:因为幂函数f(x)(n22n2)xn23n(0,+)上单调递减,所以所以n1.n1时,f(x)x2的图像关于y轴对称,故n1.故选B.3(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图像上.设af bf(ln π)cf(2),则abc的大小关系是(  )Aa<c<b   Ba<b<cCb<c<a   Db<a<cA 解析:因为f(x)(m1)xn为幂函数,所以m11,则m2f(x)xn.又点(2,8)在函数f(x)xn的图像上,所以82n,知n3,故f(x)x3,且在R上是增函数.ln π>1>2>所以f(ln π)>f(2)>f,则b>c>a.幂函数的图像的应用注意点(1)对于幂函数图像,要抓住直线x1y1yx将第一象限分成的六个区域.根据α0,0α1α1α1的取值确定位置后,其余象限部分由幂函数的奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.考点2 二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)=-1f(1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.解:(方法一:利用二次函数的一般式)f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得f(x)=-4x24x7.(方法二:利用二次函数的顶点式)f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1),所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据题意函数有最大值8,所以n8所以yf(x)a28.因为f(2)=-1所以a28=-1解得a=-4所以f(x)=-4×28=-4x24x7.(方法三:利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12x2=-1故可设f(x)1a(x2)(x1)f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8即当a0时,8解得a=-4a0时,f(x)=-1,不符合题意,舍去.f(x)=-4x24x7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3,对xR,都有f(1x)f(1x)成立,则f(x)________.x22x3 解析:f(0)3,得c3.f(1x)f(1x)所以函数f(x)的图像关于直线x1对称,所以1,所以b2,所以f(x)x22x3.考点3 二次函数的图像与性质——综合性考向1 二次函数的图像(1)已知函数f(x)ax2xc,且f(x)>0的解集为(2,1),则函数yf(x)的图像为(  )D 解析:因为函数f(x)ax2xc,且f(x)>0的解集为(2,1),所以-2,1是方程ax2xc0的两根.所以a=-1c=-2.所以f(x)=-x2x2.所以函数yf(x)=-x2x2,可知其图像开口向下,与x轴的交点坐标分别为(1,0)(2,0).故选D.(2)(多选题)如图是二次函数yax2bxc图像的一部分,图像过点A(3,0),对称轴为直线x=-1.下面四个结论中正确的是(  )A. b2>4ac  B2ab1Cabc0  D5a<bAD 解析:因为二次函数yax2bxc的图像与x轴交于两点,所以b24ac>0,即b2>4acA正确;二次函数的图像的对称轴为直线x=-1,即-=-1,得2ab0B错误;结合图像知,当x=-1时,y>0,即abc>0C错误;因为函数的图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<bD正确.故选AD.1解决二次函数图像问题的基本方法(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点.(2)讨论函数图像,依据图像特征,得到参数间的关系.2分析二次函数图像问题的要点一是看二次项系数的符号;二是看对称轴和顶点;三是看函数图像上的一些特殊点.从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像.反之,也能从图像中得到如上信息. 考向2 二次函数的单调性若函数f(x)ax2(a3)x1在区间[1,+)上单调递减,则实数a的取值范围是(  )A[3,0)   B(,-3]C[2,0]   D[3,0]D 解析:a0时,f(x)=-3x1,在[1,+)上单调递减,满足题意.当a0时,f(x)的图像对称轴为x.f(x)[1,+)上单调递减知解得-3a0.综上,a的取值范围为[3,0]若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是[1,+),则a________.3 解析:由题意知f(x)必为二次函数且a<0.=-1,所以a=-3.利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性,关键是看图像的开口方向与对称轴的位置.若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论.(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图像的对称性转化到同一单调区间上比较.考向3 二次函数的最值已知函数f(x)ax22ax1在区间[1,2]上有最大值4,求实数a的值.解:f(x)a(x1)21a.a0时,函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;a0时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,最大值为f(2)8a14,解得aa0时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,最大值为f(1)1a4,解得a=-3.综上可知,a的值为或-3.将本例改为:求函数f(x)x22ax1在区间[1,2]上的最大值.解: f(x)(xa)21a2f(x)的图像是开口向上的抛物线,对称轴为直线x=-a.当-a,即a>-时,f(x)maxf(2)4a5当-a,即a时,f(x)maxf(1)22a.综上,f(x)max二次函数的最值问题的类型轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.考向4 二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)x2x1,在区间[1,1]上不等式f(x)>2xm恒成立,则实数m的取值范围是________(,-1) 解析:f(x)>2xm等价于x2x1>2xm,即x23x1m>0.g(x)x23x1m,要使g(x)x23x1m>0[1,1]上恒成立,只需使函数g(x)x23x1m[1,1]上的最小值大于0即可.因为g(x)x23x1m[1,1]上单调递减,所以g(x)ming(1)=-m1.由-m1>0,得m<1.因此实数m的取值范围是(,-1)由不等式恒成立求参数取值范围将问题归结为求函数的最值,依据是af(x)恒成立af(x)maxaf(x)恒成立af(x)min.1(2020·九江一中模拟)对数函数ylogax(a>0a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能是(  )A 解析:0<a<1,则ylogax(0,+)上单调递减;y(a1)x2x的图像开口向下,对称轴在y轴左侧,排除CD.a>1,则ylogax(0,+)上单调递增,y(a1)x2x的图像开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B不正确,只有A满足.2.若函数yx23x4的定义域为[0m],值域为,则m的取值范围为(  )A.(0,4]   B.C.  D.C 解析:yx23x42的定义域为[0m]显然x0y4.又值域为根据二次函数图像的对称性知m3.故选C.3(2020·唐山模拟)设函数f(x)x2xa(a>0)已知f(m)<0(  )Af(m1)0   Bf(m1)0Cf(m1)>0   Df(m1)<0C 解析:因为f(x)图像的对称轴为直线x=-f(0)a>0,所以f(x)的大致图像如图所示.f(m)<01<m<0.所以m1>0.所以f(m1)>f(0)>0.4设函数f(x)ax22x2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为________ 解析:由题意得a>1<x<4恒成立.=-22<<1所以max.所以a>.

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