人教B版高考数学一轮总复习第2章第5节指数与指数函数学案

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第5节　指数与指数函数一、教材概念·结论·性质重现1．n次方根(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．(2)a的n次方根的性质①()n＝a；②当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a＝()m＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的概念一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图像与性质 0<a<1a>1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1减函数增函数5．比较幂的大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n＝a.( × )(2)(－1)＝(－1)＝.( × )(3)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )(5)函数y＝2x－1是指数函数．( × )(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)A．－9　　　　　　　　 B．7C．－10   D．9B　解析：原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B.3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝________.　解析：由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.4．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－.5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a　解析：因为y＝x是减函数，所以＞＞0，即a＞b＞1.又c＝＜0＝1，所以c＜b＜a.考点1　指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)A．(－2)－2＝4   B．2a－3＝C．(－2)0＝－1   D．(a－)4＝D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．化简：·(a＞0，b＞0)＝________.　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.3．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝________.－　解析：原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．考点2　指数函数的图像及应用——综合性(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　　)B　解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0. 又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B.(2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0,1)．指数函数图像的应用问题的求解方法(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断．1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．(－∞，0]　解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图像，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为________．　解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图像有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围是.考点3　指数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)A．b<a<c　　　　　　B．a<b<cC．b<c<a  D．c<a<bA　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c. 故选A.考向2　解指数方程或不等式(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．　解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．(－3,1)　解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，所以a<－3，所以a>－3.又a<0，所以－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.所以0≤a<1.综上，a的取值范围为(－3,1)．考向3　指数型函数的单调性已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．(－∞，4]　解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．考向4　指数型函数的最值若函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)A．f(b)＜f(a)＜f(c)  B．f(c)＜f(b)＜f(a)C．f(c)＜f(a)＜f(b)  D．f(b)＜f(c)＜f(a)B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)A．ln(y－x＋1)＞0  B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0  D．ln|x－y|＜0A　解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)＜f(y)，所以x＜y，即y－x＞0.由于y－x＋1＞1，故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.故选A.(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD.故选A.3．函数y＝x2＋2x－1的值域是(　　)A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)C．(0,4]   D．[4，＋∞)C　解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4.故所求函数的值域为(0,4]．4．函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．[0，＋∞)　解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞)．(2020·临沂月考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．a>c>b   B．a>b>cC．c>a>b   D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1.利用函数单调性；2．通过中间量比较大小；3．作差或商比较1.构造函数；2．统一幂指数；3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝x. 因为0<<1，所以函数y＝x为减函数．又因为>，所以b＝<＝c. 再比较a与c，因为＝＝>0＝1，所以a>c，所以a>c>b.故选A.思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝2＝，b5＝3＝，c5＝2＝，所以a5> c5> b5，即a>c>b.故选A.思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b.故选A.1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识. 比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．(多选题)已知a，b满足等式a＝b，下列四个关系式中可能成立的是(　　)A．0＜b＜a   B．a＜b＜0C．0＜a＜b   D．b＜a＜0AB　解析：函数y1＝x与y2＝x的图像如图所示．由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故AB可能成立，CD不可能成立．