人教B版高考数学一轮总复习第2章第6节对数与对数函数学案

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第6节　对数与对数函数一、教材概念·结论·性质重现1．对数的概念一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．(2)对数的性质①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．换底公式的三个重要结论(1)logab＝.(2)logambn＝logab.(3)logab·logbc·logcd＝logad.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.3．对数函数(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. (2)对数函数的图像与性质 0<a<1a>1图像定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0减函数增函数对数函数图像的特征(1)由图可知，0<d<c<1<b<a.(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、第四象限．4．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × )(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．( × )(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)A．0   B．2  C．4   D．6D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3．函数y＝lg|x|(　　)A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图像知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)A．log2x   B.   C．log0.5x   D．2x－2A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点________．(2,2)　解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2).考点1　对数运算问题——基础性(1)＝________.(2)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．(3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.(1)1　(2)2　(3)解析：(1)原式＝＝＝＝＝＝1.(2)因为2x＝12，所以x＝log212，所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10.所以m＝.解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点2　对数函数的图像及应用——综合性(1) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图像为(　　)C　解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图像，显然图像经过点(0,0)，再作此图像关于y轴对称的图像，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C中图像所示．(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)A．   B．C．(1，)   D．(，2)B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图像如图．由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1.故选B.1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________．　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图像在上有交点．由图像可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．　解析：由x2－logax<0得x2<logax.设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示．要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.即实数a的取值范围是.利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．1．下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是(　　)A．y＝ln(1－x)   B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)   D．y＝ln(2＋x)B　解析：易知y＝ln x与y＝ln(－x)的图像关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像为y＝ln[－(x－2)]＝ln(2－x)，即与y＝ln x的图像关于直线x＝1对称．2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图像有且只有一个交点，结合图像可知a>1.考点3　对数函数的性质及应用——应用性考向1　比较函数值的大小设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<c  B．c<b<aC．c<a<b  D．b<c<aC　解析：因为0<a＝0.50.4<0.50＝1，b＝log0.40.3>log0.40.4＝1，c＝log80.4<log81＝0，所以c<a<b.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2　对数方程或不等式问题(1)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)C　解析：或解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.(2)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．x＝　解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x>1，所以x＝.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向3　对数函数性质的综合问题(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D.(2)若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.2　解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝. 当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝logau是减函数，f(x)max＝loga＝2，得a＝(舍去)．故a＝2.解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A．a<b<c  B．a<c<bC．c<a<b  D．b<c<aB　解析：因为a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.2．已知不等式logx(2x2＋1)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是________．　解析：原不等式⇔①或②.解不等式组①，得<x<；不等式组②无解．所以实数x的取值范围是.