初中北师大版第二章 实数1 认识无理数课时练习

专题2.8 认识无理数（专项练习）

一、单选题

1．下列各数是无理数的是（            ）

A．0 B． C． D．

2．下列实数，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，中，无理数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．在六张卡片上分别写有，，0，，，六个数，从中任意抽取一张卡片的数为无理数的概率是（       ）

A． B． C． D．

4．下列实数，，0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2），，，中，无理数有（　　）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，，0，，-3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是(     )

A． B． C． D．

6．估计的值在（       ）．

A．和之间 B．和之间

C．和之间 D．和之间

7．以下正方形的边长是无理数的是（       ）

A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形

C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形

8．下列实数中的无理数是（       ）

A． B．0.23 C．0 D．0.525225222……(5之间2的数量依次多一个)

9．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（     ）

A． B． C． D．

10．下列四种叙述中，正确的是（     ）

A．带根号的数是无理数 B．无理数都是带根号的数

C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数

二、填空题

11．在、、、3.1416、这5个数中，无理数是______．

12．写出一个无理数，使得，则可以是_________（只要写出一个满足条件的即可）

13．在，，，，，中任取一个数，取到无理数的概率是______ ．

14．在，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），中属于整数集合的有______属于负分数集合的有______，属于无理数集合的有_______．

15．写出一个同时符合下列条件的数：____________．

（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．

16．数：的整数部分为_____．

17．若m,n为相邻的两个正整数，且m＜+1＜n，则m+n=________.

18．已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则________．

19．若+1的值在两个整数a与a+1之间，则a的相反数的立方根等于_____．

20．规 定 用 符 号 [m] 表 示 一 个 实 数 m 的 整 数 部 分 ， 例 如[]=0,[3.14]=3, 按 此 规 律[ 1 ]=_____.

21．若则x＝______．

三、解答题

22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；

(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．

23．把下列各数分别填在相应的括号内．

﹣，0，0.16，，，﹣，，，﹣，﹣3.14

有理数：{　 　}；

无理数：{　 　}；

负实数：{　 　}；

正分数：{　 　}．

24．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上．

（1）线段的长度是______，线段的长度是______．

（2）若的长为，那么以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．

25．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？

参考答案

1．D

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；

C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

D、π是无理数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点拨】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．

2．D

【分析】

无限不循环的小数是无理数，据此即可判断．

解：根据无理数的定义可知、、、0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，是分数即是有理数，是整数，

故无理数有4个，

故选：D．

【点拨】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数是无限不循环的小数是解答本题的关键．

3．B

【分析】

先将各数化简，可得无理数有，，再根据概率公式，即可求解．

解：∵，，

∴这六个数中，无理数有，，有2个，

∴从中任意抽取一张卡片的数为无理数的概率是．

故选：B

【点拨】本题主要考查了求概率，无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．

4．C

【分析】

根据无理数、有理数的定义解答即可．

解：是分数，属于有理数；

=2、=5是整数，属于有理数；

无理数有、0.1212212221（相邻两个1之间依次多一个2）、，共有3个．

故选：C．

【点拨】本题考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，0.80800800008……(每两个8之间一次多1个0)等形式．

5．B

【分析】

根据无理数定义：无限不循环的小数，找出其中无理数的个数为2，再利用概率公式计算即可．

解：∵有5张大小、背面都相同的扑克牌，正面上的数字分别是1，，0，，-3．其中无理数为：，，共2张，

∴从中任意抽取1张，那么这张牌正面上的数字为偶数的概率是：．

故选：B．

【点拨】本题考查概率及无理数的定义，解题的关键是找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

6．A

【分析】

先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．

解：

故选：A．

【点拨】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

7．C

【分析】

先求出正方形边长，再根据无理数的定义解答即可．

解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意；

D、面积为64的正方形的边长为8，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数或开方不能开尽的数．

8．D

【分析】

根据无理数的定义进行判断．

解：A、 ，有理数；

B、0.23小数，有理数；

C、0是整数，有理数；

D、0.525225222……(5之间2的数量依次多一个)是无限不循环小数，是无理数；

故选：D．

【点拨】本题考查无理数的定义，无限不循环小数是无理数．

9．C

【分析】

5个数中，有理数有3个，根据概率的公式即可求得．

解：5个数中，有理数有3个，

故从这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．

【点拨】本题考查了有理数与无理数的识别，概率公式，掌握概率的公式是解决本题的关键．

10．C

【分析】

根据无理数的概念逐个判断即可．无理数：无限不循环小数．

解：A．，是有理数，故本选项不合题意；

B．是无理数，故本选项不合题意；

C．无理数是无限不循环小数，原说法正确，故本选项符合题意；

D．无限循环小数是有理数，故本选项不合题意．

故选：C．

【点拨】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．

11．

【分析】

无理数就是无限不循环小数．可分为三类：①有一定规律的无限不循环小数，如2.01001000100001……；②含有的式子，如，；③开方开不尽的数，如，，等等．

解：、、3.1416、无限循环小数是有理数，是无理数．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了无理数的定义，牢固掌握无理数定义是做出本题的关键．

12．

【分析】

从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足 1<x<2 即可．

解：因为无理数的三种形式为：①开方开不尽的数：， ②无限不循环小数， 1.010010001…… ，③含有π的数 2π等．

所以只要写出一个满足条件的x即可，比如：．

故答案为：（答案不唯一）．

【点拨】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

13．

【分析】

根据无理数就是无限不循环小数判断出无理数的个数，然后根据概率公式求解即可．

解：∵在，，，，，中，是无理数有，这个数，

∴任取一个数，取到无理数的概率是，

故答案为：．

【点拨】本题考查了无理数，概率．解题的关键在于确定无理数的个数．

14．     ，，     ，     ，（每相邻两个之间依次多一个）

【分析】

根据实数的分类填空即可．

解：，，属于整数，

，属于负分数，

，（每相邻两个之间依次多一个）属于无理数

故答案为：，，；，；，（每相邻两个之间依次多一个）

【点拨】本题考查了有理数和无理数的分类，掌握无理数的定义是解题的关键．无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”．

15．-(不唯一)

解：符合上述三个条件.

故答案为: (答案不唯一).

16．2

【分析】

先确定在3和4之间，然后的整数部分就能确定.

解：根据＜＜可得出的整数部分为3，进而可得出的整数部分．

解：∵＜＜，

∴的整数部分为2．

故答案为：2．

【点拨】本题主要考查了无理数的比较大小，熟练掌握有理数与无理数的大小比较是解题的关键.

17．19

【分析】

根据，得出，从而得m=9,n=10，即可求出m+n的值.

解：即

∴

∴m=9,n=10

∴m+n=19

故答案为：19.

【点拨】此题考查了估算无理数，得出是解题关键.

18．5

【分析】

根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b=10，b=0，求出即可．

解：∵m，n分别表示的整数部分和小数部分，

∴m=2，n=5--2=3-，

∴

∴

等式两边相对照，因为结果不含

∴

∴a=5，b=0

则a-b=5.

故答案为5.

【点拨】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．

【分析】

利用的取值范围，进而得出+1的取值范围得出a的值，通过计算得出答案．

解：∵+1的值在两个整数a与a+1之间，，

∴5＜，

∴a＝5．

∴a的相反数为﹣5，

∴a的相反数的立方根等于．

故答案为

【点拨】本题考查估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方.一般情况下1到20之间整数平方都应该牢记.

20．4

【分析】

先估计 1的大小，根据符 号 [m]的定义即可求解.

解：∵3＜＜4，

∴4＜+1＜5，

∴+1的整数部分为4，

故[ 1 ]=4

故填：4

【点拨】此题主要考查无理数估算，解题的关键是熟知无理数的估算方法.

21．±

【分析】

根据绝对值的定义即可求解．

解：∵

∴x=±

故答案为：±

【点拨】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知绝对值的定义．

22．(1)见分析(2)见分析

【分析】

（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；

（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形

解：(1)三边长分别为，如图所示，

(2)三边长分别为3，2，如图所示，

【点拨】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．

23．有理数：﹣，0，0.16，，，﹣3.14；无理数：，﹣，，﹣；负实数：﹣，﹣，﹣，-3.14；正分数：0.16，．

【分析】

利用正数，分数，正负数，有理数与无理数的定义判断即可．

解：有理数：﹣，0，0.16，，，﹣3.14；

无理数：，﹣，，﹣；

负实数：﹣，﹣，﹣，-3.14；

正分数：0.16，．

【点拨】本题考查了有理数与无理数，正数和分数，正负数的定义，正确理解定义是解题的关键．

24．（1），；（2）能，理由见分析

【分析】

（1）根据勾股定理，可以求得和的长；

（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以、、三条线段为边能否构成直角三角形．

解：（1）由图可得，

，，

故答案为：，；

（2）以、、三条线段为边能构成直角三角形，

理由：，，，

，

以、、三条线段为边能构成直角三角形．

【点拨】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

25．不可能，不可能，不可能

解：先根据勾股定理求出CD的长，即可判断.

∵CD⊥AB， AC=6，AD=5，

，

不可能是整数，不可能是分数，不可能是有理数.

考点：本题考查的是勾股定理，实数的分类

【点拨】解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．