初中数学北师大版八年级上册7 二次根式优秀同步达标检测题

专题2.7.1二次根式相关概念（专项练习）

一、单选题

【概念一】二次根式

1．如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．在式子，，，，，中二次根式有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．与结果相同的是（       ）．

A． B．

C． D．

【概念二】最简二次根式

4．下列二次根式中，最简二次根式是(　　)

A． B． C． D．

5．若最简二次根式与可以合并，则（       ）

A．1 B．-1 C．0 D．2

6．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（　　）

A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数

【概念三】同类二次根式

7．下列运算正确的是（     ）

A． B．

C． D．

8．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．与是同类二次根式的是（       ）

A． B． C． D．

【概念四】分母有理化

10．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：

甲：；

乙：．

这两位同学的解法，你认为（       ）

A．两人解法都对 B．甲错乙对 C．甲对乙错 D．两人都错

11．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数

C．互为倒数 D．互为有理化因式

12．若，，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【概念五】复合二次根式

13．化简：的结果是（ ）

A．6 B． C． D．

14．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（       ）

A．  B．  C．  D．

15．化简为（　　）

A． B． C． D．1

二、填空题

【概念一】二次根式

16．使是整数的正整数的最小值为___________．

17．当m＝____时，二次根式取到最小值．

18．若、都为实数，且，则的值________．

【概念二】最简二次根式

19．下列是最简二次根式的有______．

①；②；③；④．

20．把化成最简二次根式，结果为______．

21．若是最简二次根式，则自然数_________．

【概念三】同类二次根式

22．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝______．

23．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________．

24．如果与的和等于3，那么a的值是___________．

【概念四】分母有理化

25．化简：_____．

26．计算：______．

27．比较大小：______；化简：＝______．

【概念五】复合二次根式

28．______.

29．化简_______．

30．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：

（1）将分母有理化可得___；

（2）关于x的方程的解是_____．

三、解答题

31．如果最简二次根式与是同类二次根式．

(1)求出a的值；

(2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．

32．观察、发现：====﹣1

（1）试化简： ；

（2）直接写出：=　   　；

（3）求值：+++…+ ．

参考答案

1．A

【分析】

根据二次根式有意义的条件即可求得．

解：代数式在实数范围内有意义，

，解得，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键．

2．C

【分析】

根据二次根式的定义解答即可

解：，，故是二次根式；是二次根式；，则，故不是二次根式；，则故是二次根式；不是二次根式；，，故是二次根式；是多项式，故不是二次根式；

综上所述，是二次根式的式子一共有4个

故选：C．

【点拨】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义即形如“”这样的式子是二次根式是解题关键．

3．A

【分析】

根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．

解：

∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．

4．C

【分析】

根据最简二次根式的概念判断即可．

解：A．12＝3×22，即被开方数中含有能开得尽方的因数，它不是最简二次根式，故本选项不符合题意．

B．4.8＝，即被开方数中含有能开得尽方的因数，它不是最简二次根式，故本选项不符合题意．

C．符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意．

D．被开方数中含有分母，它不是最简二次根式，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义及判断，理解掌握其定义是解答的关键．

5．A

【分析】

根据最简二次根式，同类二次根式的定义，可知，解方程即可求解．

解：∵最简二次根式与可以合并，

∴．

解得．

故选：A．

【点拨】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

6．B

【分析】

先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．

解：，

所以是型无理数，

故选：B．

【点拨】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．

7．B

【分析】

根据二次根式的加减法则和二次根式的除法法则进行计算，再得出选项即可．

解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；

B．，故本选项符合题意；

C．和不能合并，故本选项不符合题意；

D．，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

8．D

【分析】

根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．

解：∵最简二次根式与是同类二次根式，

∴，

∴，

故选：D．

【点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

9．D

【分析】

将各选项化简，被开方数是2的二次根式是的同类二次根式，从而得出答案．

解：A选项，，故该选项不符合题意；

B选项，是最简二次根式，被开方数不是2，故该选项不符合题意；

C选项，=2，故该选项不符合题意；

D选项，，故该选项符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．

10．B

【分析】

分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断．

解：甲进行分母有理化时不能确定，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；

乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确，

故答案选：B．

【点拨】本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于分母有理化时要确定．

11．A

【分析】

求出a与b的值即可求出答案．

解：∵a＝＝+2，b＝2+，

∴a＝b，

故选：A．

【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．

12．B

【分析】

将乘以 可化简为关于b的式子, 从而得到和的关系, 继而能得出 的值

解：

故选：.

【点拨】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．

13．D

【分析】

利用完全平方公式化简即可.

解：

故选D

【点拨】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

14．D

【分析】

由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．

解：由题意得：

，解得：x>2，

∴；

故选D．

【点拨】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

15．C

【分析】

将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值

解：＝.

故选C.

【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．

16．

【分析】

把12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．

解：∵12＝4×3，

∴是整数的正整数m的最小值是3．

故答案为：3．

【点拨】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．

17．2

【分析】

根据二次根式的非负性即可解答．

解：∵≥0，

∴当m﹣2＝0，即m＝2时，有最小值0．

故答案为：2．

【点拨】此题主要考查二次根式的非负性，解题的关键是熟知≥0．

18．36

【分析】

根据二次根式的非负性求出x=4，进而求出y即可．

解：∵，

∴x-4=0，解得x=4，

∴y=9，

∴xy=，

故答案为：36．

【点拨】此题考查了二次根式的非负性，正确掌握二次根式的双重非负性是解题的关键．

19．②④##④②

【分析】

根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

解：＝2，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，

是最简二次根式，

＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，

是最简二次根式，

所以最简二次根式有②④，

故答案为：②④．

【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式，被开方数中不含分母，也不含开得尽的因数或因式，能够熟记最简二次根式的定义是解题的关键．

20．

【分析】

利用二次根式的性质将原式化为最简二次根式即可．

解：，

故答案为：．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义，化最简二次根式，最简二次根式定义满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．

21．0

【分析】

根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．

解：∵是最简二次根式，

∴1+n=1或1+n=0，

解得：n=0或n=-1(舍去)，

∴自然数n=0，

故答案为：0．

【点拨】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．

22．1

【分析】

根据同类二次根式的定义计算求值即可；

解：∵＝2，

根据题意得：a+1＝2，

解得a＝1，

故答案为：1．

【点拨】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．

23．4

【分析】

根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．

解：∵最简二次根式与是同类二次根式

∴2a-3=5，

解得：a=4．

故答案为：4．

【点拨】此题考查了同类二次根式的知识，解答关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同．

24．2

【分析】

根据题意二次根式的加减运算即可求解．

解：∵与的和等于3，

∴

故答案为：

【点拨】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．

25．

【分析】

先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．

解：

故答案为：

【点拨】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．

26．

【分析】

先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．

解：

故答案为：．

【点拨】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．

27．          ##

【分析】

根据可推出，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可．

解：∵，

∴，

∴即，

∴；

，

故答案为：； ．

【点拨】本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出和利用平方差公式分母有理化是解题关键．

28．1．

【分析】

根据完全平方公式的结构，把每个被开方数化成完全平方的形式，即可化简求值.

解：原式

=，

.

故答案为1

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是关键.

29．

【分析】

设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．

解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，

则

．

故答案为：．

【点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．

30．     ﹣1    

【分析】

（1）根据材料进行分母有理化即可；

（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．

解：（1），

故答案为：﹣1；

（2），

，

 ，

，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键．

31．（1）a=3；（2）4

【分析】

（1）根据同类二次根式的定义列出方程求解即可；

（2）根据二次根式的性质化简即可

解：（1）4a-5=13-2a，

解得a=3．

（2）∵a≤x≤2a，

∴，

=

=

=

【点拨】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，解题关键是熟记，准确进行计算求解．

32．（1）；（2）（3）9

【分析】

（1）仔细阅读，发现规律：分母有理化，然后仿照规律计算即可求解；

（2）根据规律直接写出结果；

（3）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可．

解：（1）原式=

=

=；

（2）原式=

=；

故答案为

（3）由（2）可知：

原式=﹣1++﹣+…+﹣

=﹣1+

=9．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，观察式子找到规律是解题的关键．