人教B版高考数学一轮总复习第4章第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及简单应用学案

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第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及简单应用一、教材概念·结论·性质重现1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2．用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2πx－－－y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.3．由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法 先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度．4．明确以下两个关系(1)函数的周期与图像的对称性之间的关系．①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期；②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期．(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系．在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像．( × )(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )2．已知函数f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)A．6， B．6，  C．6π， D．6π，A　解析：由已知得2sin φ＝1，所以sin φ＝.又|φ|＜，故φ＝.因此f(x)＝2sin，且T＝＝6.3．为了得到y＝3cos的图像，只要把y＝3cos的图像上所有点的(　　)A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D　解析：y＝3cos图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y＝3cos的图像．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.3　解析：观察函数图像可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3.考点1　由图像确定y＝Asinωx＋φ的解析式——基础性1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像如图，则函数的解析式为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．y＝2sin＋1  B．y＝2sin＋1C．y＝2sin＋1  D．y＝2sin＋1D　解析：结合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像，可得A＝＝2，b＝1，×＝－，所以ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，解得φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin＋1.故选D.2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图像如图，则f ＝(　　)A．2＋   B．  C． D．2－B　解析：由图像可知，T＝2×＝，所以ω＝2，所以f(x)＝Atan(2x＋φ)．因为函数过点，所以0＝Atan.又|φ|＜，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan ＝1，解得A＝1，所以f(x)＝tan，所以f ＝tan＝tan ＝.3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈ZD　解析：由图像知，周期T＝2×＝2，所以＝2，所以ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.不妨取φ＝，所以f(x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.由图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区间上)或把图像的最高点(最低点)的坐标代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．考点2　函数y＝Asinωx＋φ的图像变换——综合性 将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数解析式为(　　)A．y＝2sin  B．y＝2sinC．y＝2sin  D．y＝2sinD　解析：由函数f(x)＝2sin得周期T＝＝π.将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个周期，即为函数f(x)的图像向右平移个单位长度，得y＝f ＝2sin＝2sin.本例条件不变，将函数f(x)的图像平移后所得图像再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图像．若y＝g(x)的图像关于y轴对称，则θ的最小值为________．　解析：由y＝2sin得g(x)＝2sin.又y＝g(x)的图像关于y轴对称，则－2θ－＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝－－.又θ＞0，所以k＜－，即当k＝－1时，θmin＝.三角函数图像平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y＝sin x经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行．(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．1．(2020·威海一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为π，且其图像向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos ωx的图像，则φ＝(　　)A.   B.  C.   D.D　解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以＝π，ω＝2.将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图像，所以φ－＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选D.2．(2020·天津卷)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f 是f(x)的最大值；③把函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图像．其中所有正确结论的序号是(　　)A．①  B．①③C．②③  D．①②③B　解析：因为f(x)＝sin，所以周期T＝＝2π，故①正确；f ＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；将函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，故③正确．故选B.3．若ω＞0，将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图像重合，则ω的最小值为________．　解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图像．因为所得函数图像与函数y＝sin ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)．因为ω＞0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.考点3　三角函数模型及其应用——应用性某港口某天0时至24时的水深y(单位：米)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin＋3.24(ω>0)．若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(　　)A．16时 B．17时  C．18时 D．19时D　解析：由题意知，x＝0时，y＝0.5sin ＋3.24＝3.49.由五点法作图知，如果当x＝16时，函数取得最小值，则16ωπ＋＝，得ω＝，此时函数y＝0.5sin＋3.24，函数的周期为T＝＝≈14.该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻水深为3米．如果当x＝19时，函数取得最小值，则19ωπ＋＝，得ω＝.此时函数y＝0.5sin＋3.24，函数的周期为T＝＝，x＝24时，y＝0.5sin＋3.24>3，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻的水深为3米，不满足题意．故选D.三角函数模型在实际应用中的两种类型(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000　解析：作出函数简图．由题意知，A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.20.5　解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos.当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.考点4　三角函数图像与性质的综合问题——综合性已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．若f(0)＝，且·＝－8，B，C分别为最高点与最低点．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)由f(0)＝，得2sin φ＝，即sin φ＝.又因为|φ|<，所以φ＝.由题意知，＝，＝，则·＝－8＝－8，所以T＝π.故ω＝2，所以f(x)＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由题意将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，所以g(x)＝f ＝2sin＝2sin.因为x∈，所以2x＋∈，sin∈.所以，当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取得最大值；当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取得最小值－2.三角函数图像和性质综合问题的解题策略(1)图像变换问题先根据和差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图像变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用公式T＝(ω＞0)求周期；②根据自变量的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值．1．(2020·泰安模拟)函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的图像关于直线x＝对称B．f(x)在(0,2π)上只有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上只有2个极小值点C．f(x)在(0,2π)上单调递增D．ω的取值范围是D　解析：函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)＝sin的图像．已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，所以2ωπ＋∈[5π，6π)，所以ω∈.故D正确．因此只有满足ωx＋＝，，的x是f(x)在(0,2π)上的极大值点，共3个；只有满足ωx＋＝，的x是f(x)在(0,2π)上的极小值点，但当ω接近时，ωx＋＝<6π，也是一个极小值点，这时有3个极小值点，故B不正确．当x＝时，f ＝sin，又因为ω∈，所以ω＋∈，f 不一定能取到最小值或最大值，所以x＝不一定为对称轴，故A不正确．如果函数f(x)在(0,2π)上单调递增，这与f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点矛盾，故C不正确．故选D. 2．已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin，于是T＝2π.(2)由已知得g(x)＝f ＝2sin.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，所以sin∈，所以g(x)＝2sin∈[－1,2]．故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)A.   B.  C.   D.[四字程序]读想算思求m的最小值1.解析式如何变形？2．平移变换的规则是什么？3．图像关于y轴对称说明了什么？1.三角恒等变换；2．图像的对称轴方程转化与化归向左平移，图像关于y轴对称 1.辅助角公式；2．左加右减；3．在x＝0处取得最值y＝2sin或y＝2cos1.平移变换前后，解析式之间的关系；2．正弦(或余弦)型函数图像的对称性思路参考：构造正弦型函数的解析式．B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，函数的图像向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin.由x＋m＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数y＝2sin的图像的对称轴为x＝－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图像关于y轴对称，所以－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)，则m的最小值为.思路参考：构造余弦型函数的解析式．B　解析：y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos.因为此函数图像关于y轴对称，所以y＝2cos为偶函数，易知m的最小值为.思路参考：根据图像对称轴与函数最值的关系．B　解析：由解法1，得y＝2sin.因为所得的图像关于y轴对称，可得f(0)＝±2，进而sin＝±1，易知m的最小值为.思路参考：利用函数图像．B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图像的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－.由图像向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为.1．本题考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质，基本解题方法是依据在对称轴处函数值或函数的奇偶性列方程或利用图像．重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法．2．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图像与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)在的最大值为(　　) A．0   B．  C． D．1D　解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图像．根据所得图像关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin.在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1.