人教B版高考数学一轮总复习第5章第2节等差数列学案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习第5章第2节等差数列学案，共14页。
第2节　等差数列一、教材概念·结论·性质重现1．等差数列的定义如果数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．等差数列的定义用递推公式表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差数列的通项公式(1)如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d.当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．3．等差中项如果x，A，y是等差数列．那么称A为x与y的等差中项，即A＝.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．5．等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝＝na1＋d.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(3)等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．(4)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.(5)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.数列{an}是等差数列⇔数列的前n项和公式Sn＝n2＋n⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，所以当d≠0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　×　)(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　√　)(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　×　)2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)A．   B．  C．2 D．－A　解析：因为a4＋a8＝2a6＝10，所以a6＝5.又a10＝6，所以公差d＝＝＝.故选A.3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于(　　)A．58 B．88  C．143 D．176B　解析：S11＝＝＝88.4．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn.若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)A．31 B．32  C．33 D．34B　解析：由已知可得解得所以S8＝8a1＋d＝32.5．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．20　解析：设物体经过t秒降落到地面，物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，即4.90t2＝1 960，解得t＝20.考点1　等差数列的定义、通项公式、基本运算——基础性1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为(　　)A．－2 B．2  C．4 D．7B　解析：因为a1＝3，S5＝35，所以5×3＋d＝35，解得d＝2.2．(2020·宜春模拟)已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和．若am＋a7＝0，则m＝(　　)A．10 B．9  C．8 D．2B　解析：设等差数列{an}的公差为d，a1＝1.因为前10项的和等于前5项的和，且am＋a7＝0，则10＋45d＝5＋10d,2＋(m＋5)d＝0，解得m＝9.3．(2021·哈尔滨实验中学模拟)数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 022＝(　　)A． B．－C． D．－B　解析：设等差数列的公差为d，且a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3，所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1.那么a2 022＝－1＝－.4．(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．16　解析：设数列{an}的公差为d，则解得a1＝－5，d＝2，所以S8＝8×(－5)＋×2＝16.等差数列运算问题的解题策略(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．考点2　等差数列的判定与证明——综合性数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.(1)证明：因为an＋1＝，所以＝，化简得＝2＋，即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)知＝2n－1，所以Sn＝＝n2，＝>＝－.证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.1．若本例条件变为“若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)”，求数列{an}的通项公式．解：由已知式＝＋可得－＝－，知数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.2．若本例条件变为“a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)”，求数列{an}的通项公式．解：由已知可得＝＋1，即－＝1.又a1＝，所以数列是以＝为首项，1为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)·1＝n－，所以an＝n2－n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．设cn＝b－b，n∈N*, 求证：数列{cn}是等差数列．证明：由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以数列{cn}是等差数列．考点3　等差数列性质的应用——应用性考向1　等差数列项的性质问题(1)(2020·宁德二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9＝(　　)A．21 B．27  C．30 D．36B　解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，则S9＝＝9a5＝27.(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1 B．2  C．4 D．8C　解析：(方法一)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得d＝4.(方法二)等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5.又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，所以d＝4.等差数列的项的性质的关注点(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合命题．考向2　等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)A．35 B．42  C．49 D．63B　解析：在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.2 020　解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，所以S2 020＝1×2 020＝2 020.等差数列前n项和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列．(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．(3)S2n－1＝(2n－1)an.1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)A．2 B．7  C．14 D．28C　解析：因为2＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2.所以S7＝＝7a4＝14.2．(2020·海南模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)A.   B.C.   D.A　解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，所以可设Sn＝kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，k≠0.所以a7＝S7－S6＝18k，b6＝T6－T5＝21k，所以＝.3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.200　解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.考点4　等差数列前n项和的最值——应用性等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)A．S4 B．S5C．S6 D．S7B　解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.1．本例若把条件改为“等差数列{an}中，S5<S6，S6＝S7>S8”，则下列结论错误的是(　　)A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6，S7均为Sn中的最大值C　解析：由S5<S6得a1＋a2＋a3＋…＋a5<a1＋a2＋…＋a5＋a6，即a6>0.又因为S6＝S7，所以a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，所以a7＝0，故B正确．同理由S7>S8，得a8<0.因为d＝a7－a6<0，故A正确．而C选项中S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，显然C选项是错误的．因为S5<S6，S6＝S7>S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．2．本例条件变为“等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0”，则Sn取最大值时n的值为(　　)A．6  　　　　　　　 B．7　　C．8　 D．13B　解析：根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7.故选B.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)二次函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)A．14  B．15  C．16  D．17C　解析：因为数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，所以公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．因为<－1，所以a8·a9<0，a8＋a9>0，由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.因为Sn＝，所以当Sn>0时，n的最小值为16. 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．[四字程序]读想算思n取何值时，Sn取得最大值1.Sn的表达式；2．求最值的方法？1.求通项公式an；2．求前n项和Sn转化与化归等差数列，a1＝20，S10＝S151.利用等差数列的项的符号；2．利用二次函数的性质1.an＝－n＋；2．Sn＝－n2＋n1.数列的单调性；2．二次函数的性质思路参考：先求基本量d，再由an确定Sn取得最大值时n的值．解：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.因为a1＝20>0，d＝－<0，所以数列{an}是递减数列．由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0.当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.思路参考：先求出d，再由Sn的表达式确定其最大值．解：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.思路参考：利用等差数列的性质求解．解：由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，即a13＝0.又d＝＝－，所以当n＝12或13时，Sn有最大值．所以S12＝12×20＋×＝130.思路参考：结合二次函数知识解答．解：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.又＝12.5，所以n＝12或13时，Sn取得最大值．所以S12＝12×20＋×＝130.1．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n＝________时，Sn最大．7　解析：(方法一)由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．(方法二)由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图像关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．(方法三)由方法一可知，d＝－a1.要使Sn最大，则有即解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．(方法四)由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0.又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．