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    人教B版高考数学一轮总复习第8章第1节直线方程学案

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    这是一份人教B版高考数学一轮总复习第8章第1节直线方程学案,共12页。
    课程标准命题解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式,了解斜截式与一次函数的关系.3.掌握直线方程的几种形式,能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直.4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.5.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.6.能判断直线与圆,圆与圆的位置关系.7.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.8.了解抛物线与双曲线的定义、标准方程,以及它们的简单几何性质.9.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.考查形式:一般为两个选择题或填空题和一个解答题.考查内容:直线和圆的位置关系,圆锥曲线标准方程的求解,椭圆、双曲线离心率的计算等几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,最值与范围问题,定点与定值问题,探索性问题或证明问题.备考策略:(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法.(2)深刻理解圆锥曲线的定义,并能应用定义解决相关问题.(3)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,要加强运算的训练,重视设而不求的思想方法的应用.(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想.核心素养:数学抽象、数学运算.1节 直线方程一、教材概念·结论·性质重现1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角.(2)若直线与x轴平行或重合,则规定该直线的倾斜角为0°.(3)倾斜角的取值范围是180°.2直线的斜率(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ90°时,称ktan_θ为直线l的斜率;当θ90°时,称直线l的斜率不存在.(2)A(x1y1)B(x2y2)是直线l上两个不同的点,则当x1x2时,直线l的斜率为k,当x1x2时,直线l的斜率不存在直线的斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.就是说,如果分子是y2y1,那么分母必须是x2x1;反过来,如果分子是y1y2,那么分母必须是x1x2.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)所有的直线都适用(1)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率,应对斜率存在与不存在加以讨论.(2)截距式中截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0.若不确定,则需分类讨论.二、基本技能·思想·活动体验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × )(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)不经过原点的直线都可以用1表示.( × )(5)经过任意两个不同的点P1(x1y1)P2(x2y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( )2.设直线axbyc0的倾斜角为α,且sin αcos α0,则ab满足(  )Aab1 Bab1Cab0 Dab0D 解析:因为sin αcos α0,所以 tan α=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线axbyc0的斜率k=-所以-=-1,即ab0.3.如果AC<0,且BC<0,那么直线AxByC0不经过(  )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C 解析:由已知得直线AxByC0x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.4.已知A(3,5)B(4,7)C(1x)三点共线,则 x________.3 解析:因为ABC三点共线,所以kABkAC,所以,所以x=-3.5.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________3x2y0xy50 解析:当纵、横截距为0时,直线方程为3x2y0当截距不为0时,设直线方程为1,则1,解得a5,直线方程为xy50.考点1 直线的倾斜角与斜率——基础性1.若图中的直线l1l2l3的斜率分别是k1k2k3,则有(  )Ak1<k2<k3 Bk3<k1<k2Ck3<k2<k1 Dk2<k3<k1D 解析:由图可知k1>0k2<0k3<0,且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角,所以k3>k2.综上可知k2<k3<k1.故选D.2.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率k的取值范围是(  )A  BC(,-1)  D(,-1)D 解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y2k(x1),直线在x轴上的截距为1.令-3<1<3,解不等式得k<1k>.3.已知直线的方程为xsin αy10αR,则直线l的倾斜角的取值范围是(  )A.  B.C.  D.B 解析因为直线l的方程为xsin αy10所以y=-x即直线的斜率k=-.1sin α1k.又直线的倾斜角的取值范围为[0π)由正切函数的性质可得直线的倾斜角的取值范围为.4(2021·八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________,-3 解析:正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为2,建立如图的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ2.由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ45°,直线OC的倾斜角为θ45°kOAtan(θ45°)kOCtan(θ45°)=-3.1倾斜角α与斜率k的函数关系ktan αα,求倾斜角或斜率范围时,可结合图像解题.2斜率的两种求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角αα的某种三角函数值,一般根据ktan α求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1y1)B(x2y2),一般根据公式k(x1x2)求斜率.考点2 求直线的方程——基础性根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为(2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.解:(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sin α(0α<π)从而cos α±,则ktan α±.故所求直线方程为y±(x4)x3y40x3y40.(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为1.又直线过点(3,4),从而1,解得a=-4a9.故所求直线方程为4xy160x3y90.(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x50,满足题意.当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y10k(x5),即kxy105k0.由点到直线的距离公式,得5,解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知,所求直线方程为x503x4y250.求直线方程的方法(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程.(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.求适合下列条件的直线方程:(1)求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程;(2)经过点A(1,-3),倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍;(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解:(1)因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为所以直线方程为y3(x1),即直线方程为xy30.(2)设直线y3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α3,所以tan 2α=-.又直线经过点A(1,-3),因此所求直线方程为y3=-(x1),即3x4y150.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.又直线经过点(3,4),由点斜式得y4±(x3)所求直线的方程为xy10xy70.考点3 直线方程的综合应用——综合性考向1 求与最值有关的直线方程过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于AB两点,O为坐标原点.(1)AOB面积最小时,求直线l的方程;(2)|OA||OB|取最小值时,求直线l的方程.解:设直线l1(a>0b>0)因为直线l经过点P(4,1),所以1.(1)因为12所以ab16,当且仅当a8b2时等号成立.所以,当a8b2时,AOB的面积最小.此时直线l的方程为1,即x4y80.(2)因为1(a>0b>0)所以|OA||OB|ab(ab5529,当且仅当a6b3时等号成立,所以当|OA||OB|取最小值时,直线l的方程为1,即x2y60.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程,建立目标函数.(2)利用均值不等式、一元二次函数求解最值,得出待定系数.(3)写出直线方程.考向2 由直线方程求参数的值或取值范围已知直线l1ax2y2a4l22xa2y2a24.0<a<2时,直线l1l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a________. 解析:由题意知直线l1l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2a,直线l2的横截距为a22,所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a42.0<a<2,所以当a时,四边形的面积最小.由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系.若点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或均值不等式求解.(2)注意直线恒过定点问题.1.如图,在两条互相垂直的道路l1l2的一角,有一根电线杆,电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米,到道路l2的垂直距离为3米.现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道,使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小,则人行道的长度为________米.10 解析:如图,建立平面直角坐标系.设人行道所在直线方程为y4k(x3)(k<0),所以AB(0,43k),所以ABO的面积S×(43k)××.因为k<0,所以-9k224,当且仅当-9k=-,即k=-时取等号.此时,A(6,0)B(0,8),所以人行道的长度为10()2.设mR,过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(xy),则|PA||PB|的最大值是________5 解析:由直线xmy0求得定点A(00),直线mxym30,即y3m(x1),得定点B(1,3).当m0时,两条动直线垂直;当m0时,因为×m=-1,所以两条动直线也垂直.因为P为直线xmy0mxym30的交点,所以|PA|2|PB|2|AB|210,所以|PA||PB|5(当且仅当|PA||PB|时,等号成立),所以|PA|·|PB|的最大值是5.已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于AB两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.                [四字程序]ABO的面积的最小值及此时直线l的方程1.三角形面积的表达式;2.以谁为变量?用适当的变量表示面积S,并求其最小值和此时的直线方程转化与化归直线过定点,且与x轴、y轴的正半轴分别交于AB两点1. Sah2Sab·sin C3.点的坐标作变量;4.直线的斜率作变量1.Sab122S[122]×(1212)121.均值不等式;2.三角函数的性质思路参考:设出直线的截距式方程,利用均值不等式求出ab的最小值.解:设直线方程为1(a0b0)将点P(3,2)代入得12,得ab24.从而SABOab12,当且仅当时等号成立,这时k=-=-.从而所求直线方程为2x3y120.所以ABO的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x3y120.思路参考:设出截距式方程,利用三角函数的有界性求出面积的最值,进而求出直线方程.解:设直线方程为1(a0b0)将点P(3,2)的坐标代入得1.sin2αcos2α,则ab所以SABOab.因为0<sin22α1,所以SABO12,当且仅当sin22α1时等号成立.由图可知b0,所以当且仅当时等号成立,即k=-=-从而所求直线方程为2x3y120.所以ABO的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x3y120.思路参考:设出直线的点斜式方程,表示出ABO的面积,结合均值不等式求得最值.解:依题意知,直线l的斜率k存在且k0则直线l的方程为y2k(x3)(k0),且有AB(0,23k)所以SABO(23k)×(1212)12.当且仅当-9k,即k=-时,等号成立,即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.1.本题考查根据具体的条件求直线的方程,基本策略是设出直线的方程,用变量表示三角形的面积,求出面积的最小值及取得最小值时的条件,得到直线的方程.2.本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养.3.基于高考数学评价体系,本题创设了数学情境,通过知识之间的内在联系和转化,构造函数利用均值不等式或函数的性质求最值,体现了基础性和综合性.过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于AB两点.求:(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程;(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程.解:(1)设直线的方程为1(a>0b>0),则1.所以abab2ba2,于是ab8,所以|OA||OB|ab8,即|OA||OB|的最小值为8,当且仅当a2b,即a4b2时取得等号.故所求直线的方程为x2y40.(2)显然直线的斜率存在,设其方程为y1k(x2)(k<0),则AB(012k)所以|PA||PB|4当且仅当k2,即k=-1时取等号,所以|PA||PB|的最小值为4时,直线的方程为xy30.  

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