人教B版高考数学一轮总复习第8章第7节抛物线学案

第7节　抛物线

一、教材概念·结论·性质重现

1．抛物线的概念

(1)定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过定点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．

(2)相关概念：定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．

(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程．

(3)由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．

(4)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

3．焦点弦

设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( × )

(3)抛物线方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．( × )

(4)已知AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )

2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．2 B．3 

C．4 D．8

D　解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，故＝，解得p＝8(p＝0舍去)．故选D.

3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A．4 B．6 

C．8 D．12

B　解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点．

过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.

4．顶点在原点，且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是____________．

y2＝－x或 x2＝y　解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.

5．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．

2　解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.

考点1　抛物线的标准方程——基础性

1．过点F(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)

A．y2＝12x B．y2＝－12x

C．x2＝－12y D．x2＝12y

D　解析：由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.

2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝x B．y2＝9x

C．y2＝x D．y2＝3x

D　解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D.

设|BF|＝a，则|BC|＝2a，|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以 2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1.因为BD∥FG，所以＝，解得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x.故选D.

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上．若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4，则抛物线的方程为____________．

y2＝8x　解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝－，双曲线的渐近线方程为y＝±x.由围成的三角形面积为4，可得××p＝4，解得p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x.

抛物线标准方程的求法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方程．

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．若焦点在x轴上，设为y2＝px(p≠0)；若焦点在y轴上，设为x2＝py(p≠0)．

考点2　抛物线的定义及应用——综合性

(1)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为(　　)

A．2 B．4 

C．8 D．16

B　解析：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，即x＋1＝0.过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，

则有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝4，即点M到准线x＝－1的距离为4.

(2)(2020·滨州期末)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，p为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为　(　　)

A．2 B．4

C．8 D．8

B　解析：由题意得，抛物线y2＝4x的焦点 F(1,0)，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为 －，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得 |PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×4×4×sin 60°＝4.故选B.

将本例(2)中点A的坐标改为(3,4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．

　解析：因为点A(3,4)在抛物线的外部，所以当P，A，F共线时，|PA|＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝.

抛物线定义的应用技巧

(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．

1．(2020·全国卷Ⅰ)已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)

A．2 B．3 

C．6 D．9

C　解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，

由抛物线定义得|AF|＝x0＋.

因为点A到y轴的距离为9，所以x0＝9，

所以9＋＝12，所以p＝6.故选C.

2．(2020·山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y＝上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是________．

2　解析：抛物线y＝，即x2＝4y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|＝＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．

结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.

考点3　抛物线的几何性质——综合性

考向1　范围问题

设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2) 

B．[0,2]

C．(2，＋∞) 

D．[2，＋∞)

C　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0,2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.

考向2　弦长问题

已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)．设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0.显然方程有两个不等实根，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

由x2＝2py，得y′＝，则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，解得p＝2.

(2)设切线AN的方程为y＝x＋b，又切点A在抛物线y＝上，

所以y1＝，所以b＝－＝－，

则切线AN的方程为yAN＝x－.

同理切线BN的方程为yBN＝x－.

又因为N在yAN和yBN上，

所以

解得N，所以N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，

所以2＝4，所以p＝2，

故抛物线C的方程为x2＝4y.

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

(2020·合肥模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16 B．14 

C．12 D．10

A　解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，

故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)．

由消去y得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝＝2＋.

由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.

同理得|DE|＝4＋4k2，

所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．

故|AB|＋|DE|的最小值为16.

过抛物线x2＝2y的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．若|AB|＝，且|AF|<|BF|，则|AF|＝________.

[四字程序]

思路参考：利用抛物线定义及三角形相似关系求解．

　解析：如图，过A，B分别作准线的垂线．

设|AF|＝m，|BF|＝n，则m＋n＝(m<n)．

由抛物线的定义得|AF|＝|AD|＝m，

|BF|＝|BC|＝n，|FH|＝1.

在△BEC中，因为＝，

所以＝，解得|EA|＝，

|EB|＝|EA|＋m＋n＝，

|EF|＝|EA|＋m＝.

因为＝，

所以＝＝，解得mn＝，

联立解得

故|AF|＝.

思路参考：设直线方程，利用y1y2关系求解．

　解析：设lAB：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得x2－2kx－1＝0，

则x1x2＝－1，y1y2＝＝.

设|AF|＝m，|BF|＝n，则m＋n＝.

由抛物线的定义知y1y2＝·＝，

得mn＝.

联立解得

故|AF|＝.

思路参考：利用弦长公式及焦半径公式求解．

　解析：设lAB：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

得x2－2kx－1＝0，

所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2(1＋k2)＝，得k2＝，

解得k＝±.

当k＝时，

因为x1＝＝k－，

x2＝＝k＋，

所以|AF|＝y1＋＝kx1＋1＝k2－＋1，

将k2＝代入得|AF|＝.

1．本题考查抛物线的定义及焦半径公式的应用，三种解法都是较为基础的解法，需要学生全部掌握．

2．基于课程标准，抛物线的定义是最基本的内容，需要熟练掌握，平面几何知识的应用是解析几何中简化运算的重要手段，体现了直观想象的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，解答本题的思路较为开阔，实现了图形和代数式的相互转化，体现了基础性和综合性的特点．

已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为120°的直线与抛物线在第一、第四象限的交点分别为A，B，则的值等于________．

　解析：(方法一：特殊值法)

令p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．

因为直线的倾斜角为120°，

所以直线方程为y＝－(x－1)．

联立

消去y可得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，

所以＝＝＝.

(方法二：常规法)

抛物线的焦点为F，

因为直线的倾斜角为120°，

所以直线方程为y＝－.

联立

消去y得3x2－5px＋＝0，

解得x1＝，x2＝.

所以＝＝＝.