人教B版高考数学一轮总复习第10章第1节基本计数原理、排列与组合学案

第1节　基本计数原理、排列与组合

一、教材概念·结论·性质重现

1．两个计数原理

两个计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

2．排列与组合的定义

3.排列数、组合数的定义、公式、性质

(1)“排列”与“组合”的辨析

排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．

(2)①排列数与组合数之间的联系：CA＝A；

②两种形式：连乘积形式；阶乘形式．

前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )

(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )

(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )

(5)若C＝C，则x＝m成立．( × )

2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有(　　)

A．8种 B．9种

C．10种 D．11种

B　解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．

3．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有(　　)

A．6种 B．12种

C．18种 D．24种

C　解析：(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三个学生，有A＝6(种)排法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C.

4．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．

10　解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA＝4.由分类加法计数原理，得满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.

5．从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

16　解析：(方法一)可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有CC＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．

(方法二)从6人中任选3人，不同的选法共有C＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种).

考点1　两个原理的应用——基础性

(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)

A．250个　　　　　　　 B．249个

C．48个 D．24个

C　解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C.

(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)

A．4种　　　 B．10种　　　 

C．18种　　　 D．20种

B　解析：分两种情况：①4位朋友中有2个人得到画册，有C＝6(种)赠送方法；②4位朋友中只有1个人得到画册，有C＝4(种)赠送方法．由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B.

(3)(2021·青岛质检)如图，将4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形不同色，则不同的涂法有(　　)

A．72种 B．48种 

C．24种 D．12种

A　解析：(方法一)分四步完成，首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法．由分步乘法计数原理，得不同的涂法有4×3×2×3＝72(种)．

(方法二)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．

两个计数原理的应用

(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．

(2)较复杂的问题可借助图表来完成．

(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素；②注意对每个区域逐一进行，分步处理．

1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)

A．4种 B．6种 

C．10种 D．16种

B　解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．

由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．

2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)

A．240 B．204 

C．729 D．920

A　解析：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(CA＋C)个．综上所述，所有凸数共有2C＋CA＝240(个)．

3．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．24 B．48 

C．72 D．96

C　解析：(方法一：以位置为主考虑)分两种情况：

(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．

(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．

故共有24＋48＝72(种)涂色方法．

(方法二：以颜色为主考虑)分两类：

(1)取4色：着色方法有2A＝48(种)．

(2)取3色：着色方法有A＝24(种)．

所以共有着色方法48＋24＝72(种)．

考点2　排列问题——基础性

(1)(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有(　　)

A．36种 B．44种 

C．48种 D．54种

B　解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：①当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．②当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．③当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．故选B.

(2)(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

36　解析：因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有C＝6(种)．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A＝6(种)．根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．

1．(2020·洛阳市第一次联考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放．如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)

A．16 B．18

C．24 D．32

C　解析：第一步，将3辆不同型号的车进行排列，有A种方法；第二步，把剩余的4个车位看成一个元素，插入3辆车所形成的4个空位中，有C种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的停放方法共有A·C＝24(种)．故选C.

2．(2020·雅礼中学高三模拟)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生．若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有(　　)

A．AA种 B．AA种

C．AAA种 D．AAA种

D　解析：采用捆绑法和插空法．从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是A，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是A；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是A.综上所述，不同的排法共有AAA种．故选D.

3．(2020·和平区高三一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为(　　)

A．378 B．306 

C．268 D．198

D　解析：分两种情况讨论：

①若选两个国内媒体、一个国外媒体，则有CCA＝90(种)不同提问方式；

②若选两个国外媒体、一个国内媒体，则有CCA＝108(种)不同提问方式．

所以共有90＋108＝198(种)提问方式．故选D.

考点3　组合问题——基础性

(1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有(　　)

A．30种 B．36种 

C．42种 D．48种

C　解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．

所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．

(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)

A．232 B．252 

C．472 D．484

C　解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC＝264(种)；

第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(种)．

由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．

组合问题的常见类型与处理方法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

1．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　)

A．30 B．42

C．54 D．56

B　解析：间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C－C－C＝42.

2．(多选题)(2020·盐城市大丰中学期中)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是(　　)

A．C－CC

B．CC＋CC＋CC＋C

C．C－CC－C

D．CC

BC　解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．

利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C.

利用间接法：13名医生，任取5人，减去抽调4名女医生和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C.

所以能成为N的算式的是BC.故选BC.

考点4　排列与组合的综合应用——综合性

(1)(2020·滨海新区大港一中高三模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)

A．48 B．72 

C．90 D．96

D　解析：甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛．

①当甲参加另外3场比赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；②当甲不参加任何比赛时，共有A＝24(种)选择方案．故不同的参赛方案有72＋24＝96(种)．

(2)(2020·临沂市临沭县高三模拟)某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点——洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作人员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为(　　)

A．18 B．36 

C．54 D．72

B　解析：若甲、乙一起(无其他人)有CA＝18(种)方案；

若甲、乙与另一人一起(三人一起)有CA＝18(种)方案．所以不同的人员分配方案有18＋18＝36(种)．故选B.

(3)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学要站在一起，则不同的站法有(　　)

A．240种 B．192种

C．96种 D．48种

B　解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)站法．同理，当丙和乙在甲的右侧时，也有96种站法，所以不同的站法共有192种．

求解排列、组合应用问题的六种主要方法

1．(2020·杭州市高三二模)有来自甲、乙、丙三个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数是(　　)

A．96 B．48 

C．36 D．24

B　解析： 由题意知，可以是甲班的2名同学相邻，也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有CAA种站法．再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有A种站法．由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数是CAAA＝48.故选B.

2．(2020·泸州市高三三模)某中学学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有

(　　)

A．120种 B．48种

C．96种 D．60种

C　解析：从5人中选4人担任4项不同工作，有A种方法．若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同工作，有A种方法，则符合题意的工作安排方式共有A－A＝96(种)．故选C.

3．安排A，B，C，D，E，F 六位义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人的住址距离问题，不安排义工A照顾老人甲，不安排义工B照顾老人乙，求不同的安排方法种数．

解：(方法一)先按A分类，兼顾考虑B，分类如下．

A照顾乙，B照顾甲，有安排方法CC＝12(种)；

A照顾乙，B照顾丙，有安排方法CC＝12(种)；

A照顾丙，B照顾甲，有安排方法CC＝12(种)；

A照顾丙，B照顾丙，有安排方法C＝6(种)．

综上分析可得，不同的安排方法共有12＋12＋12＋6＝42(种)．

(方法二：间接法)六位义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人，共有安排方法CC＝90(种)．

其中A照顾老人甲的情况有CC＝30(种)；

B照顾老人乙的情况有CC＝30(种)；

A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有CC＝12(种)．

所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42(种)．