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北师大版八年级上册第三章 位置与坐标2 平面直角坐标系优秀课时作业
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这是一份北师大版八年级上册第三章 位置与坐标2 平面直角坐标系优秀课时作业，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.2 平面直角坐标系（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知点A(1，2a+1)，B(-a，a-3)，若线段AB//x轴，则三角形AOB的面积为( )
A．21 B．28 C．14 D．10.5
2．如图，在正方形中，点的坐标是，点的纵坐标是，则，两点的坐标分别是（ ）
A． B． C． D．
3．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
5．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知点位于第二象限，并且，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
8．如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（0，﹣4）
10．如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503） B．（-504，504） C．（-505，-505） D．（506，506）
二、填空题
11．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为______；与轴的交点坐标为_______．
12．已知（a﹣2）2+=0，则P（﹣a，﹣b）的坐标为_____．
13．若点P（x，y）的坐标满足xy﹥0，则点P在第_________象限；若点P（x，y）的坐标满足xy﹤0，且在x轴上方，则点P在第 ________象限．
14．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为______．
15．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，6），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 _______________．
16．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．
17．如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，是边上的高，点是上的一个动点，若点的坐标是，则的最小值是________．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______．
三、解答题
19．已知当，都是实数．且满足时，称为“开心点”
（1）判断点，是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由；
20．如图中任一点经过平移后对应点为.将作同样的平移得到,已知，，,
（1）在图中画出,；
（2）直接写出的坐标分别为
（3）,的面积为____________.
21．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．
(1)求点的坐标；
(2)若轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标；
(3)在坐标轴上是否存在一点M，使的面积的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知点．
（1）若点P在轴上，求的值．
（2）若点P在第一象限，且点到轴的距离是到轴距离的2倍，求P点的坐标．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴正半轴上，点B（b，c）是第四象限内一点，BC⊥y轴于点C（0，c），且．
(1)求点A、B两点的坐标；
(2)求三角形ABO的面积．
(3)如图2，将点C向左平移4个单位得到点H，连接AH，AH与y轴交于点D．
①求点D的坐标；
② y轴上是否存在点M，使三角形AHM和三角形AHB的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
参考答案
1．D
【分析】
根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，利用三角形的面积公式求得三角形的面积即可．
解：∵AB∥x轴，∴2a+1=a-3．解得a=-4．
∴A（1，-7），B（4，-7）．
∴AB=3．
过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，
则OC=7．
∴△ABC的面积为：．
故答案为：D.
【点拨】本题目考查了点与坐标的对应关系，根据 AB∥x轴求得a的值是解题的关键.
2．A
解：过点B作BE垂直y轴交y轴于点F，过点C作CE垂直x轴,交BE于点E，过点A作AD垂直x轴于点C，连接OB，如下图所示：
∵点的坐标是，点的纵坐标是，
∴OD＝3，AD＝1，OF＝4，
∵是正方形，
∴OA＝ ，AB＝OA=BC，∠AOB＝CBO，
∴AB＝ ，
又∵OF＝4，
∴BF＝ ，
又∵点B在第二象限，
∴点B的坐标是（－2，4），
∵EB//x轴
∴∠DOB=∠EBO
又∵∠AOB＝CBO（已证）
∴∠DOB－∠AOB=∠EBO-∠CBO,即∠AOD=∠CBE
在 和中
(AAS)，
∴BE=OD,CE=AD，
又∵OD＝3，AD＝1，BF＝2，
∴EF＝BE－BF＝3－2＝1，CE＝1，
∴点E的坐标是（1，4），点C的横坐标为1，
又∵CE＝1，
∴点C的纵坐标为4－1＝3，
∴点C的坐标为（1，3）；
故选A．
3．D
【分析】
根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
解：点到两坐标轴的距离相等，
，
或，
解得或，
点的坐标为或；
故选：．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示，依据题意列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．
4．C
【分析】
由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点拨】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
5．C
【分析】
根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点拨】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
6．B
【分析】
根据第二象限的点的特点可知，即可得，，计算可得；a，b均为整数，所以或；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．
解：∵点位于第二象限，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵a，b均为整数，
∴或，
当时，，；
当时，，或或或；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，是解决本题的关键．
7．B
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围．
8．C
分析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论．
解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中，
∵，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4，∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．
故选C．
点睛：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．A
解：∵OA=4，∠AOB=30°，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，
∴第1秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）．
∵三角板每秒旋转60°，
∴点A′的位置6秒一循环．
∵2017=336×6+1，
∴第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）．
故选A．
点睛:本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标,根据每秒旋转的角度,找出点A′的位置6秒一循环是解题的关键.
10．C
【分析】
找到三条规律：循环节；点与象限，坐标、正方形的边长与正方形的序号间的关系就可以判定．
解：根据题意，得到如下规律：各点的循环节为4，余数为1的点位于第三象限，余数为2的点位于第二象限，余数为3的点位于第一象限，余数为0的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为2，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点是第505个正方形的第一个顶点，位于第三象限，
∴其坐标为（-505，-505），
故选C．
【点拨】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．
11．
【分析】
根据和二次根式有意义的条件，得到c的值，再根据第四象限的点到轴的距离为得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出来，即可得到答案．
解：∵，
根据二次根式的定义得到：，
∴c=2，
∴并且，
即，
∴，
又∵第四象限的点到轴的距离为，
∴，
故点坐标为，
又∵，
∴B点坐标为，点坐标为，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到，
当x=0时，，
故与轴的交点坐标为．
故答案为：，．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确求解c的值和m的值，解题时应灵活运用所学知识．
12．（-2,3）
解：
13． 一、三 二
解：根据平面直角坐标系的象限，可由xy＞0知x、y是同号，可以是（+，+）或（-，-），所以在第一、三象限；当xy＜0时，x、、y异号，即（-，+）或（+，-），所以在第二、四象限，然后根据P点在x轴的上方，可确定其在第二象限.
故答案为一、三；二.
14．
【分析】
取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE，再进一步证明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G，证明△COG访问团等腰直角三角形，可可求出OC=7；过点C作CH⊥x轴，垂足为H，设C（m，n），则OH=m，CH=n，AH=5-m，根据勾股定理可得方程组 ，求出方程组的解，取正值即可．
解：取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，如图，
∵，OC平分∠ACB，
∴
∵均为直角三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
由勾股定理得，
∴
∴
过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G，
∵∠OCA=45°，
∴∠G=45°，
∴△COG为等腰直角三角形，
∴OC=OG，
∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°，
∴∠BOC=∠AOG，
∵∠OCB=∠OEA=45°，
∴△COB≌△GOA（ASA），
∴BC=AG=，
∵CG=AC+AG=
∵△OCE为等腰直角三角形，
∴OC=7
过点C作CH⊥x轴于点H，设C（m，n），
∴OH=m，CH=n，AH=5-m
在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得，
解得，，（负值舍去）
∴C（）
故答案为：（）
【点拨】本题主要考查了坐标玮图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15．或或
【分析】
根据直角坐标系的性质，得，，；再根据全等三角形性质，分三种情况分析，即可得到答案．
解：根据题意，得，，
使△BOC与△ABO全等，分三种情况分析：
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了直角坐标系、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、全等三角形的性质，从而完成求解．
16．
【分析】
根据平面直角坐标系，可以假设，则，，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值的长．
解：建立如图坐标系，
在中，，，，
，
，
斜边上的高，
，
，斜边上的高为，
可以假设，则，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，
作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【分析】
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是．
解：如图，
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵ ，OB＝，
∴BE＝，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0，），
∴OC＝，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝＝＝，
即PA+PC的最小值是，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18． （6，0） （0，﹣2018）
【分析】
根据图象的变化规律，列举每个点的坐标，找规律.
解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，﹣（4n+2）），A4n+3=（﹣（4n+3），1）．
∵5=4+1，2016=504×4+2，
∴A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2018的坐标为（0，﹣2018）．
故答案为（6，0）；（0，﹣2018）．
【点拨】找规律题需要记忆常见数列
1,2,3,4……n
1,3,5,7……2n-1
2,4,6,8……2n
2,4,8,16,32……
1,4,9,16,25……
2,6,12,20……n(n+1)
一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律.
19．（1）点A（5，3）为“开心点”，点B（4，10）不是“开心点”；（2）第三象限．
【分析】
（1）根据A、B点坐标，代入（m-1，）中，求出m和n的值，然后代入2m=8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，
当A（5，3）时，m-1=5，＝3，得m=6，n=4，
则2m=12，8+n=12，
所以2m=8+n，
所以A（5，3）是“开心点”；
点B（4，10）不是“开心点””，理由如下，
当B（4，10）时，m-1=4，＝10，得m=5，n=18，
则2m=10，8+18=26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a-1）是“开心点”，
∴m-1=a，＝2a−1，
∴m=a+1，n=4a-4，
代入2m=8+n有2a+2=8+4a-4，
∴a=-1，2a-1=-3，
∴M（-1，-3），
故点M在第三象限．
【点拨】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．
20．（1）见分析；（2）A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）；（3）8.
【分析】
（1）先根据点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），得到平移的方向与距离，再进行画图；
（2）根据平移的方向与距离，写出A1，B1，C1的坐标；
（3）根据割补法可以求△A1B1C1的面积.
解：（1）∵点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），
∴△ABC向右平移4个单位，向下平移3个单位可以得到△A1B1C1，如图所示：
△A1B1C1即为所求；
（2）∵A（1，4），B（-3，2），C（-1，-1），
∴A1，B1，C1的坐标分别为A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）；
（3）△A1B1C1的面积为： .
【点拨】本题主要考查了运用平移变换作图，确定平移后图形的基本要素有平移方向和平移距离.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
21．(1)；(2)；(3)y轴上不存在，x轴上，．
【分析】
（1）根据点A到坐标轴的距离可求出a、b的值，代入即可求出B点坐标；
（2）由（1）可知：，利用轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，可得C的横坐标为1，纵坐标为2，即可求出点C坐标；
（3）当点M在y轴上时，设，则，所以点M不能在y轴上，设，到AC的距离为h，根据，可得，，进一步可求出M坐标．
(1)解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴，解得：，
∴，，
∴
(2)解：由（1）可知：，
∵轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，
∴C的横坐标为1，纵坐标为2，
∴
(3)解：假设存在点M，使得，
∵，，
∴，
∴，
当点M在y轴上时，设，则，
∴点M不能在y轴上，
设，到AC的距离为h，如图：
则，，
当M位于AC左侧时，，得；
当M位于AC右侧时，，得；
综上所述：，．
【点拨】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离．
22．（1）m=4；（2）
【分析】
（1）根据y轴上点的横坐标为0列式求出m；
（2）点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点横坐标的绝对值，由此列式计算求出m，即可得到点P的坐标.
解：（1）∵点P在轴上
∴8-2m=0，
解得m=4；
（2）由题意，得：
，
解得m=3，
∴.
【点拨】此题考查点坐标的特点，点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
23．(1)A(2，0)，B（4，－3）(2)3(3)①D(0，－1)；②存在，(0，3)或(0，－5)
【分析】
（1）利用非负性质即可求得a、b、c的值，从而求得点A与B的坐标；
（2）连接OB，由三角形面积公式即可求得面积；
（3）①设D（0，m），利用面积法构建方程即可求解；
②存在，设M（0，n），利用面积法构建方程即可求解．
（1）∵，，，且，∴a－2=0，c＋3=0，b－4=0，∴a=2，c=－3，b=4，∴A(2，0)，B（4，－3）．
（2）如图，连接OB，∵A(2，0)，B（4，－3），∴OA=2，且，∴；
（3） ①设D（0，m），由题意：A(2，0)，C(0，－3)，H(－4，－3)，∵，∴，解得：m=－1，∴D(0，－1)；②存在，设M（0，n），如图，∵，∴，解得：m=3或－5，∴M(0，3)或M(0，－5)．
【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形面积等知识，涉及割补思想，关键是利用等积法建立方程．
24．（1）是等腰直角三角形，理由见分析；（2）见分析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【分析】
（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；
（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在和中，，
∴≌，
∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC= 90°，
∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵≌，，，，
∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，
∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，
∴≌，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，
∴OF=OA－AF=1，
∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，
∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，
∴≌，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，
∴EF=3，
∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，
∴≌，
∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，
∴，
∴，，
∴点C坐标为，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
专题3.2 平面直角坐标系（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知点A(1，2a+1)，B(-a，a-3)，若线段AB//x轴，则三角形AOB的面积为( )
A．21 B．28 C．14 D．10.5
2．如图，在正方形中，点的坐标是，点的纵坐标是，则，两点的坐标分别是（ ）
A． B． C． D．
3．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
5．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知点位于第二象限，并且，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
8．如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（0，﹣4）
10．如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503） B．（-504，504） C．（-505，-505） D．（506，506）
二、填空题
11．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为______；与轴的交点坐标为_______．
12．已知（a﹣2）2+=0，则P（﹣a，﹣b）的坐标为_____．
13．若点P（x，y）的坐标满足xy﹥0，则点P在第_________象限；若点P（x，y）的坐标满足xy﹤0，且在x轴上方，则点P在第 ________象限．
14．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为______．
15．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，6），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 _______________．
16．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．
17．如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，是边上的高，点是上的一个动点，若点的坐标是，则的最小值是________．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______．
三、解答题
19．已知当，都是实数．且满足时，称为“开心点”
（1）判断点，是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由；
20．如图中任一点经过平移后对应点为.将作同样的平移得到,已知，，,
（1）在图中画出,；
（2）直接写出的坐标分别为
（3）,的面积为____________.
21．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．
(1)求点的坐标；
(2)若轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标；
(3)在坐标轴上是否存在一点M，使的面积的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知点．
（1）若点P在轴上，求的值．
（2）若点P在第一象限，且点到轴的距离是到轴距离的2倍，求P点的坐标．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴正半轴上，点B（b，c）是第四象限内一点，BC⊥y轴于点C（0，c），且．
(1)求点A、B两点的坐标；
(2)求三角形ABO的面积．
(3)如图2，将点C向左平移4个单位得到点H，连接AH，AH与y轴交于点D．
①求点D的坐标；
② y轴上是否存在点M，使三角形AHM和三角形AHB的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
参考答案
1．D
【分析】
根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，利用三角形的面积公式求得三角形的面积即可．
解：∵AB∥x轴，∴2a+1=a-3．解得a=-4．
∴A（1，-7），B（4，-7）．
∴AB=3．
过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，
则OC=7．
∴△ABC的面积为：．
故答案为：D.
【点拨】本题目考查了点与坐标的对应关系，根据 AB∥x轴求得a的值是解题的关键.
2．A
解：过点B作BE垂直y轴交y轴于点F，过点C作CE垂直x轴,交BE于点E，过点A作AD垂直x轴于点C，连接OB，如下图所示：
∵点的坐标是，点的纵坐标是，
∴OD＝3，AD＝1，OF＝4，
∵是正方形，
∴OA＝ ，AB＝OA=BC，∠AOB＝CBO，
∴AB＝ ，
又∵OF＝4，
∴BF＝ ，
又∵点B在第二象限，
∴点B的坐标是（－2，4），
∵EB//x轴
∴∠DOB=∠EBO
又∵∠AOB＝CBO（已证）
∴∠DOB－∠AOB=∠EBO-∠CBO,即∠AOD=∠CBE
在 和中
(AAS)，
∴BE=OD,CE=AD，
又∵OD＝3，AD＝1，BF＝2，
∴EF＝BE－BF＝3－2＝1，CE＝1，
∴点E的坐标是（1，4），点C的横坐标为1，
又∵CE＝1，
∴点C的纵坐标为4－1＝3，
∴点C的坐标为（1，3）；
故选A．
3．D
【分析】
根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
解：点到两坐标轴的距离相等，
，
或，
解得或，
点的坐标为或；
故选：．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示，依据题意列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．
4．C
【分析】
由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点拨】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
5．C
【分析】
根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点拨】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
6．B
【分析】
根据第二象限的点的特点可知，即可得，，计算可得；a，b均为整数，所以或；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．
解：∵点位于第二象限，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵a，b均为整数，
∴或，
当时，，；
当时，，或或或；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，是解决本题的关键．
7．B
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围．
8．C
分析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论．
解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中，
∵，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4，∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．
故选C．
点睛：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．A
解：∵OA=4，∠AOB=30°，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，
∴第1秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）．
∵三角板每秒旋转60°，
∴点A′的位置6秒一循环．
∵2017=336×6+1，
∴第2017秒时，点A的对应点A′的坐标为（0，4）．
故选A．
点睛:本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标,根据每秒旋转的角度,找出点A′的位置6秒一循环是解题的关键.
10．C
【分析】
找到三条规律：循环节；点与象限，坐标、正方形的边长与正方形的序号间的关系就可以判定．
解：根据题意，得到如下规律：各点的循环节为4，余数为1的点位于第三象限，余数为2的点位于第二象限，余数为3的点位于第一象限，余数为0的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为2，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点是第505个正方形的第一个顶点，位于第三象限，
∴其坐标为（-505，-505），
故选C．
【点拨】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．
11．
【分析】
根据和二次根式有意义的条件，得到c的值，再根据第四象限的点到轴的距离为得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出来，即可得到答案．
解：∵，
根据二次根式的定义得到：，
∴c=2，
∴并且，
即，
∴，
又∵第四象限的点到轴的距离为，
∴，
故点坐标为，
又∵，
∴B点坐标为，点坐标为，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到，
当x=0时，，
故与轴的交点坐标为．
故答案为：，．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确求解c的值和m的值，解题时应灵活运用所学知识．
12．（-2,3）
解：
13． 一、三 二
解：根据平面直角坐标系的象限，可由xy＞0知x、y是同号，可以是（+，+）或（-，-），所以在第一、三象限；当xy＜0时，x、、y异号，即（-，+）或（+，-），所以在第二、四象限，然后根据P点在x轴的上方，可确定其在第二象限.
故答案为一、三；二.
14．
【分析】
取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE，再进一步证明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G，证明△COG访问团等腰直角三角形，可可求出OC=7；过点C作CH⊥x轴，垂足为H，设C（m，n），则OH=m，CH=n，AH=5-m，根据勾股定理可得方程组 ，求出方程组的解，取正值即可．
解：取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，如图，
∵，OC平分∠ACB，
∴
∵均为直角三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
由勾股定理得，
∴
∴
过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G，
∵∠OCA=45°，
∴∠G=45°，
∴△COG为等腰直角三角形，
∴OC=OG，
∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°，
∴∠BOC=∠AOG，
∵∠OCB=∠OEA=45°，
∴△COB≌△GOA（ASA），
∴BC=AG=，
∵CG=AC+AG=
∵△OCE为等腰直角三角形，
∴OC=7
过点C作CH⊥x轴于点H，设C（m，n），
∴OH=m，CH=n，AH=5-m
在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得，
解得，，（负值舍去）
∴C（）
故答案为：（）
【点拨】本题主要考查了坐标玮图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15．或或
【分析】
根据直角坐标系的性质，得，，；再根据全等三角形性质，分三种情况分析，即可得到答案．
解：根据题意，得，，
使△BOC与△ABO全等，分三种情况分析：
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
当时，如下图
∵△BOC与△ABO全等，且
∴
∴
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了直角坐标系、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、全等三角形的性质，从而完成求解．
16．
【分析】
根据平面直角坐标系，可以假设，则，，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值的长．
解：建立如图坐标系，
在中，，，，
，
，
斜边上的高，
，
，斜边上的高为，
可以假设，则，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，
作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【分析】
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是．
解：如图，
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵ ，OB＝，
∴BE＝，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0，），
∴OC＝，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝＝＝，
即PA+PC的最小值是，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18． （6，0） （0，﹣2018）
【分析】
根据图象的变化规律，列举每个点的坐标，找规律.
解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，﹣（4n+2）），A4n+3=（﹣（4n+3），1）．
∵5=4+1，2016=504×4+2，
∴A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2018的坐标为（0，﹣2018）．
故答案为（6，0）；（0，﹣2018）．
【点拨】找规律题需要记忆常见数列
1,2,3,4……n
1,3,5,7……2n-1
2,4,6,8……2n
2,4,8,16,32……
1,4,9,16,25……
2,6,12,20……n(n+1)
一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律.
19．（1）点A（5，3）为“开心点”，点B（4，10）不是“开心点”；（2）第三象限．
【分析】
（1）根据A、B点坐标，代入（m-1，）中，求出m和n的值，然后代入2m=8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，
当A（5，3）时，m-1=5，＝3，得m=6，n=4，
则2m=12，8+n=12，
所以2m=8+n，
所以A（5，3）是“开心点”；
点B（4，10）不是“开心点””，理由如下，
当B（4，10）时，m-1=4，＝10，得m=5，n=18，
则2m=10，8+18=26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a-1）是“开心点”，
∴m-1=a，＝2a−1，
∴m=a+1，n=4a-4，
代入2m=8+n有2a+2=8+4a-4，
∴a=-1，2a-1=-3，
∴M（-1，-3），
故点M在第三象限．
【点拨】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键．
20．（1）见分析；（2）A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）；（3）8.
【分析】
（1）先根据点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），得到平移的方向与距离，再进行画图；
（2）根据平移的方向与距离，写出A1，B1，C1的坐标；
（3）根据割补法可以求△A1B1C1的面积.
解：（1）∵点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），
∴△ABC向右平移4个单位，向下平移3个单位可以得到△A1B1C1，如图所示：
△A1B1C1即为所求；
（2）∵A（1，4），B（-3，2），C（-1，-1），
∴A1，B1，C1的坐标分别为A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）；
（3）△A1B1C1的面积为： .
【点拨】本题主要考查了运用平移变换作图，确定平移后图形的基本要素有平移方向和平移距离.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
21．(1)；(2)；(3)y轴上不存在，x轴上，．
【分析】
（1）根据点A到坐标轴的距离可求出a、b的值，代入即可求出B点坐标；
（2）由（1）可知：，利用轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，可得C的横坐标为1，纵坐标为2，即可求出点C坐标；
（3）当点M在y轴上时，设，则，所以点M不能在y轴上，设，到AC的距离为h，根据，可得，，进一步可求出M坐标．
(1)解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴，解得：，
∴，，
∴
(2)解：由（1）可知：，
∵轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，
∴C的横坐标为1，纵坐标为2，
∴
(3)解：假设存在点M，使得，
∵，，
∴，
∴，
当点M在y轴上时，设，则，
∴点M不能在y轴上，
设，到AC的距离为h，如图：
则，，
当M位于AC左侧时，，得；
当M位于AC右侧时，，得；
综上所述：，．
【点拨】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离．
22．（1）m=4；（2）
【分析】
（1）根据y轴上点的横坐标为0列式求出m；
（2）点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点横坐标的绝对值，由此列式计算求出m，即可得到点P的坐标.
解：（1）∵点P在轴上
∴8-2m=0，
解得m=4；
（2）由题意，得：
，
解得m=3，
∴.
【点拨】此题考查点坐标的特点，点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
23．(1)A(2，0)，B（4，－3）(2)3(3)①D(0，－1)；②存在，(0，3)或(0，－5)
【分析】
（1）利用非负性质即可求得a、b、c的值，从而求得点A与B的坐标；
（2）连接OB，由三角形面积公式即可求得面积；
（3）①设D（0，m），利用面积法构建方程即可求解；
②存在，设M（0，n），利用面积法构建方程即可求解．
（1）∵，，，且，∴a－2=0，c＋3=0，b－4=0，∴a=2，c=－3，b=4，∴A(2，0)，B（4，－3）．
（2）如图，连接OB，∵A(2，0)，B（4，－3），∴OA=2，且，∴；
（3） ①设D（0，m），由题意：A(2，0)，C(0，－3)，H(－4，－3)，∵，∴，解得：m=－1，∴D(0，－1)；②存在，设M（0，n），如图，∵，∴，解得：m=3或－5，∴M(0，3)或M(0，－5)．
【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形面积等知识，涉及割补思想，关键是利用等积法建立方程．
24．（1）是等腰直角三角形，理由见分析；（2）见分析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【分析】
（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；
（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在和中，，
∴≌，
∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC= 90°，
∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵≌，，，，
∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，
∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，
∴≌，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，
∴OF=OA－AF=1，
∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，
∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，
∴≌，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，
∴EF=3，
∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，
∴≌，
∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，
∴，
∴，，
∴点C坐标为，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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