人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试课时作业

第14课  全等三角形全章复习与巩固

知识精讲

知识点01  全等三角形的判定与性质

知识点02  全等三角形的证明思路

知识点03  角平分线的性质

1.角的平分线的性质定理
　  角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
　  角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线

    三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.

4.与角平分线有关的辅助线

    在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；

在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

知识点04  全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

1． 证明线段相等的方法：

 (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3) 等式性质.

2． 证明角相等的方法：

(1) 利用平行线的性质进行证明.

(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.

(3) 利用角平分线的判定进行证明.

(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.

(5) 对顶角相等.

3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4． 辅助线的添加:

(1)作公共边可构造全等三角形；

(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

5.  证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

能力拓展

考法01   巧引辅助线构造全等三角形

 (1)．倍长中线法 

【典例1】已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.

【答案与解析】BE＋CF＞EF；

证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG

∵D是BC中点

∴BD＝CD

又∵DE⊥DF

在△EDG和△EDF中

∴△EDG≌△EDF（SAS）

∴EG＝EF

在△FDC与△GDB中

∴△FDC≌△GDB(SAS)

∴CF＝BG

∵BG＋BE＞EG

∴BE＋CF＞EF

【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.

【即学即练1】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．

求证：CD＝2CE．

【答案】

证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF．

        ∵  EC为中线，

∴  AE＝BE．

在△AEC与△BEF中，

∴  △AEC≌△BEF（SAS）．

∴  AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵  ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．

∴  AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．

∴  AB＝BF．

又∵  BC为△ADC的中线，

∴  AB＝BD．即BF＝BD．

在△FCB与△DCB中，

∴  △FCB≌△DCB（SAS）．

∴  CF＝CD．即CD＝2CE．

(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

【典例2】如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．

【答案与解析】

解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．

【即学即练2】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.

(1)求证：∠B与∠AHD互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.

【答案】

证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.

∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,

∴ △AHD≌△AMD.   

∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.

∵ HD＝DB,

∴ DB＝ MD.    

    ∴ ∠DMB＝∠B. 

∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180,

∴ ∠AHD＋∠B＝180.

即 ∠B与∠AHD互补.

（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180.

∵ ∠B＋2∠DGA ＝180,

∴ ∠AHD＝2∠DGA.

∴ ∠AMD＝2∠DGM.

∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.

∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.

∴ ∠DGM＝∠GDM.    

∴ MD＝MG.          

∴ HD＝ MG.

    ∵ AG＝ AM＋MG,

∴ AG＝ AH＋HD.         

（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形

【典例3】如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；

（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．

（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．

（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．

【答案与解析】

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，

∴∠APB=60°，

又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，

∴∠ABP=30°，

∴∠PAB=90°，

∴BP=2AP，

∵AP=2，

∴BP=4；

（2）结论：PA+PC=PB．

证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，

∵∠APB=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴∠DAP=60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，

在△ABD与△ACP中，

，

∴△ABD≌△ACP，

∴PC=BD，

∴PA+PC=PB；

（3）结论：PA+PC=PB．

证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，

∴AP=AD，

∵∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

∴∠APB=30°，

∴∠DAP=120°，

∴∠1=∠2，

在△ABD与△ACP中，

，

∴△ABD≌△ACP，

∴BD=PC，

∵AF⊥PD，

∴PF=AP，

∴PD=AP，

∴PA+PC=PB．

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【即学即练3】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

【答案】

证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD

在△AED与△ACD中

∴△AED≌△ADC（SAS）

∴DE＝DC

在△BED中，BE＞BD－DC

即AB－AE＞BD－DC

∴AB－AC＞BD－DC

（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段

【典例4】如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．

【答案与解析】

解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．

【典例5】如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是∠ABC的平分线．

【答案与解析】

证明：延长AE和BC，交于点F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），　　　∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．
 

所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
 

则AF=BD（全等三角形对应边相等）．
 

∵AE=BD，∴AE=AF，
 

即AE=EF．
 

在Rt△BEA和Rt△BEF中，
　　　　　
　　　　　则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
　　　　　所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），
　　　　　即BD是∠ABC的平分线．

【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.

考法02  全等三角形动态型问题

【典例6】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.

（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.

（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.

【答案与解析】

证明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°

∴∠1＝∠3。

∵在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF（AAS）

∴AE＝CF，CE＝BF

∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。

（2）①EF＝AE－BF，理由如下：

∵AE⊥，BF⊥，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。

∵在△ACE和△CBF中

∴△ACE≌△CBF（AAS）

∴AE＝CF，CE＝BF

∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。

②EF＝AE―BF

③EF＝BF―AE

证明同①.

【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：

(1)    变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；

(2)    图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段

之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；

(3)    几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，

其结论有时变化，有时不发生变化.

【即学即练4】

如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．

【探究展示】

（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

【答案】

（1）证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：

∵M是AB的中点，E是BC的中点，

∴在正方形ABCD中，AM=EC，

∵CF是∠DCG的平分线，

∴∠BCF=135°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠MAE=∠CEF=45°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（2）证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

∵AM=EC，

∴在正方形ABCD中，BM=BE，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（3）证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：

∵AM=CE，AB⊥BC，

∴∠AME=45°，

∴∠ECF=AME=45°，

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∵MA⊥AD，AE⊥EF，

∴∠MAE=∠CEF，

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴AE=EF．