初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定课后测评

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第09课 全等三角形判定二（ASA，AAS）

知识精讲
知识点01 全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：
如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
几何语言：
在和中：
∵
∴


知识点02 全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.


知识点03 判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS

2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

能力拓展

考法01 全等三角形的判定3——“角边角”
【典例1】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF
【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE与△BCF中

∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

【即学即练1】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.

【答案】
证明：∵MQ和NR是△MPN的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ和△NHQ中，

∴△MPQ≌△NHQ（ASA）
∴PM＝HN
考法02 全等三角形的判定4——“角角边”
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．

【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．
【答案与解析】
证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【即学即练2】如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

【答案】C．
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
【典例3】平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．
【答案与解析】
解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，
证明：过B作BH⊥CE于点H，
∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACE
在△ACE与△CBH中，

∴△ACE≌△CBH．（AAS）
∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，
∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．

【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.

【即学即练3】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

【答案】
解：图2成立；
证明图2：

过点作
则
在△AMD和△DNB中，

∴△AMD≌△DNB（AAS）
∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，
∴∠ MDE＝∠NDF
在△DME与△DNF中，

∴△DME≌△DNF（ASA）
∴
∴
可知，
∴
考法03 全等三角形判定的实际应用
【典例4】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．
【答案与解析】
解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．

分层提高

题组A 基础过关练
1．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B．∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
C．∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E D．∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
【答案】C
【分析】
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，4种，看看给出的条件是否符合即可．
【详解】
A. 根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D不能推出两三角形全等，故本选项错误；

B.∠A和∠D对应，∠B和∠E对应，即根据∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D不能推出两三角形全等，故本选项错误；
C. 在△ABC和△DEF中
∵
∴△ABC≌△DEF(ASA)，故本选项正确；
D. 根据∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F不能推出两三角形全等,故本选项错误;
故选:C.
【点睛】
考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
2．如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【解析】
试题分析：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选B．
考点：全等三角形的判定．
3．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】
解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )

A． ∠B=∠C B． AD=AE C． BE=CD D． BD=CE
【答案】C
【解析】
试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加D选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.
考点：三角形全等的判定
5．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）去玻璃店．

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C．
【解析】
试题分析：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．故答案选C．
考点：全等三角形的判定．
6．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下面结论中错误的是( )

A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△AOB≌△COD D．△AOD≌△BOC
【答案】C
【解析】
【分析】由题中条件可得△ACD≌△BDC，再利用边角关系得△AOD≌△BOC，△ABD≌△BAC，进而可得出结论．
【详解】∵∠1=∠2，∠3=∠4，又CD为公共边，所以△ACD≌△BDC（AAS），故A正确，不符合题意；
∵△ACD≌△BDC，∴AC=BD，AD=BC，又∵AB=BA，∴△ABD≌△BAC（SSS），故B正确，不符合题意；
∵△ACD≌△BDC，∴AC=BD，∵∠3=∠4，∴OC=OD，∴OA=OB，
又∵∠AOD=∠GOC，∴△AOD≌△BOC（SAS），故D正确，不符合题意；
由已知无法说明C选项正确，故C符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定定理．做题时从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻是解决此类问题的关键.

题组B 能力提升练
1．如图，AB＝AD，AC＝AE，请你添加一个适当的条件：_____，使得△ABC≌△ADE．

【答案】BC＝DE（答案不唯一）．
【解析】
【分析】
本题要判定△ABC≌△ADE，已知AB=AD，AC=AE，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
【详解】
添加条件是：BC=DE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS）．
故答案为BC=DE（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道开放性试题，答案不唯一．
2．如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB≌△A EC , 根据是_________再证△BDE≌△______ , 根据是__________．

【答案】AAS CDE SAS
【分析】
已知∠1=∠2，∠3=∠4，可得∠ABE=∠ACE，又有公共边AE，可根据AAS证明△AEB≌△AEC，得出BE=EC，然后根据SAS可证得△BDE≌△CDE．
【详解】
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABE=∠ACE，
在△AEB和△AEC中，
，
∴△AEB≌△AEC（AAS），
∴BE=EC，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SAS），
故答案为AAS；CDE，SAS．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，已知：∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 _________________ ；
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件___________________；
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件___________________；

【答案】∠A=∠D ∠ACB=∠F BC=EF
【分析】
（1）根据题目所给条件和判定三角形全等的条件可得添加条件：∠A=∠D；
（2）根据题目所给条件和判定三角形全等的条件可得添加条件：∠ACB=∠F；
（3）根据题目所给条件和判定三角形全等的条件可得添加条件：CB=EF．
【详解】
解：（1）添加条件：∠A=∠D，
∵在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠D，
AB=DE，
∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为∠A=∠D．
（2）添加条件：∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，
∵∠ACB=∠F，
∠B=∠DEF，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为∠ACB=∠F．
（3）添加条件：CB=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DE，
∠B=∠DEF，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为CB=FE．
【点睛】
此题主要考查了判定三角形全等的判定定理，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．已知：如图，AE=DF，∠A=∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

【答案】∠2=∠1 AAS AC=DB SAS ∠E=∠F ASA
【分析】
由条件已知一边和一角相等，可再加一边或再加一角，利用全等三角形的判定方法填写答案即可．
【详解】
∵AE=DF，∠A=∠D，
可添加∠2=∠1，
∴，
∴△ACE≌△DBF(AAS)；
也可添加AC=BD，
∴，
∴△ACE≌△DBF(SAS)；
也可添加∠E=∠F，
∴，
∴△ACE≌△DBF(ASA)；
故答案为：∠2=∠1；AAS；AC=BD；SAS；∠E=∠F；ASA．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
5．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）

【答案】④
【分析】
判定两个三角形全等的方法包括：AAS、ASA、SAS、SSS，HL（直角三角形特有），根据判定方法逐个分析即可．
【详解】
∠B＝∠C
①AB＝AC，可根据ASA判定△ABE≌△ACD，
②AD＝AE，可根据AAS判定△ABE≌△ACD，
③BE＝CD，可根据AAS判定△ABE≌△ACD，
④∠AEB＝∠ADC，三个角对应相等不能判定△ABE≌△ACD，
故答案为：④．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
6．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△ABD≌△CEB．

【答案】BD=BE或AD=CE或BA=BC
【详解】
∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
【点睛】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
7．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是2和3，则EF的长为__________．

【答案】5
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵AE⊥BE，CF⊥BF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF=2，AE=BF=3，
∴EF=BE+BF=5．

题组C 培优拔尖练
1． 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与EF互相平分。
A
B
E
O


F
D
C

【答案】证明：∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF
即BE=DF，
在△ABE和△DFC中，
AB=CD BE=DF AE=CF ∴△ABE≌△DFC（SSS），
∴∠B=∠D．
在△ABO和△COD中，
∠A0B=∠COD ∠B=∠D AB=CD
∴△ABO≌△COD（AAS），
∴AO=CO，BO=DO，
又∵BE=DF
∴EO=FO
∴AC与EF互相平分
【解析】先证△ABE≌△DFC得∠B=∠D，再证△ABO≌△COD，根据全等三角形的性质即可证明AC与EF互相平分
2．如图，已知：在中，，于D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G.

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；
【分析】
（1）根据，于D，即可得到DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，再根据同角的余角相等即可证：∠DBF=∠DCA，从而证出△BDF≌△CDA即可；

（2）先证△BCE≌△BAE，即可得：，再根据（1）中△BDF≌△CDA即可证出；
（3）由直角三角形的性质可得：∠DFB＋∠DBF=90°，∠BGH＋∠HBG=90°，再根据等角的余角相等即可得出∠DFB=∠BGH，从而证出∠DFB=∠DGF，根据等角对等边即可得出.
【详解】
解：（1）∵，于D
∴△DBC为等腰直角三角形，DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°
∴∠DCA＋∠A=90°
∵
∴∠DBF＋∠A=90°
∴∠DBF=∠DCA
在△BDF和△CDA中

∴△BDF≌△CDA
∴；
（2）∵平分
∴∠ABE=∠CBE
在△BCE和△BAE中

∴△BCE≌△BAE
∴
由（1）中△BDF≌△CDA
∴BF=AC
∴
（3）∵H是边的中点，
∴∠DHB=90°
∴∠BGH＋∠HBG=90°
∵∠DFB＋∠DBF=90°，∠HBG=∠DBF
∴∠BGH=∠DFB
∵∠BGH=∠DGF
∴∠DFB=∠DGF
∴
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键.
3．如图，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠C，O是AC的中点．求证：△AOB≌△COD．

【答案】证明见解析.
【分析】
根据全等三角形的判定定理ASA即可证得结论．
【详解】
证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵∠AOD＝∠BOC，
∴180°－∠AOD＝180°－∠BOC，即∠AOB＝∠COD.
在△AOB和△COD中，
∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∠A＝∠C，
∴△AOB≌△COD(ASA)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．