人教A版高考数学一轮总复习第4章第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第4章第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用课时学案，共16页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f ＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0


用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.
3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法


先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度．
4．明确以下两个关系
(1)函数的周期与图象的对称性之间的关系．
①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期．
(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系．
在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f (x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f (x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f (x0)＝0，g(x0)＝0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象． (×)
(2)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A． (×)
(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (√)
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(√)
2．已知函数f (x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．6，　　B．6，　　C．6π，　　D．6π，
A　解析：由已知得2sin φ＝1，所以sin φ＝.又|φ|＜，故φ＝.因此f (x)＝2sin，且T＝＝6.
3．为了得到y＝3cos的图象，只要把y＝3cos的图象上所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D　解析：y＝3cos图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y＝3cos的图象．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

3　解析：观察函数图象可得周期T＝，
故T＝＝，
所以ω＝3.


考点1　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式——基础性

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象如图，则函数的解析式为(　　)

A．y＝2sin＋1 B．y＝2sin＋1
C．y＝2sin＋1 D．y＝2sin＋1
D　解析：结合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象，可得A＝＝2，b＝1，×＝－，所以ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，解得φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin＋1.故选D．
2．已知函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f (x)的部分图象如图，则f ＝(　　)

A．2＋　　B． 　　C．　　D．2－
B　解析：由图象可知，T＝2×＝，所以ω＝2，所以f (x)＝Atan(2x＋φ)．因为函数过点，所以0＝Atan.又|φ|＜，所以φ＝.又f (0)＝1，所以Atan ＝1，解得A＝1，所以f (x)＝tan，
所以f ＝tan＝tan ＝.
3．函数f (x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递减区间为(　　)

A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
D　解析：由图象知，周期T＝2×＝2，所以＝2，所以ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z.不妨取φ＝，所以f (x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，所以f (x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D．

由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区间上)或把图象的最高点(最低点)的坐标代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

考点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换——综合性

将函数f (x)＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
D　解析：由函数f (x)＝2sin得周期T＝＝π.将函数f (x)＝2sin的图象向右平移个周期，即为函数f (x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f ＝2sin＝2sin.

本例条件不变，将函数f (x)的图象平移后所得图象再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象关于y轴对称，则θ的最小值为________．
　解析：由y＝2sin得g(x)＝2sin.又y＝g(x)的图象关于y轴对称，则－2θ－＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝－－.又θ＞0，所以k＜－，即当k＝－1时，θmin＝.


三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y＝sin x经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．

1．(2020·威海一模)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|0)向左平移个单位长度得到函数f (x)＝sin的图象．
已知f (x)在[0,2π]上有且只有5个零点，
当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，
所以2ωπ＋∈[5π，6π)，所以ω∈，故D正确．
因此只有满足ωx＋＝，，的x是f (x)在(0,2π)上的极大值点，共3个；只有满足ωx＋＝，的x是f (x)在(0,2π)上的极小值点，但当ω接近时，ωx＋＝0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A． B． C． D．
[四字程序]
读
想
算
思
求m的最小值
1.解析式如何变形？
2.平移变换的规则是什么？
3.图象关于y轴对称说明了什么？
1.三角恒等变换；
2.图象的对称轴方程
转化与化归
向左平移，图象关于y轴对称

1.辅助角公式；
2.左加右减；
3.在x＝0处取得最值
y＝2sin
或y＝2cos
1.平移变换前后，解析式之间的关系；
2.正弦(或余弦)型函数图象的对称性


思路参考：构造正弦型函数的解析式．
B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin.由x＋m＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数y＝2sin的图象的对称轴为x＝－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图象关于y轴对称，所以－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)，则m的最小值为.

思路参考：构造余弦型函数的解析式．
B　解析：y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos.因为此函数图象关于y轴对称，所以y＝2cos为偶函数，易知m的最小值为.

思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．
B　解析：由解法1，得y＝2sin.因为所得的图象关于y轴对称，可得f (0)＝±2，进而sin＝±1，易知m的最小值为.

思路参考：利用函数图象．
B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝.由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为.

1．本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，基本解题方法是依据在对称轴处函数值或函数的奇偶性列方程或利用图象．重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法．
2．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．

将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f (x)在的最大值为(　　)
A．0 B． C． D．1
D　解析：将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ.因为|φ|