人教A版高考数学一轮总复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用课时学案，共15页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

第三节　平面向量的数量积及综合应用

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积


(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.　　　　　　　　
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
4．平面向量数量积的性质
已知两个非空向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (√)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． (√)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0． (×)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)
(5)两个向量的夹角的范围是． (×)
2．若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是(　　)
A． B． C． D．π
D　解析：因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，
所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.
所以cos θ＝＝＝－1.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1,k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2,－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为________．
　解析：＝(2,1)，＝(5,5)，
由定义知，在方向上的投影为＝＝.


考点1　平面向量数量积的运算——基础性

1．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影为(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
A　解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.
2．(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)
A．(4,6) B．(－4，－6)
C． D．
B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝.
由a·b＝14可得－5k＋k＝14，得k＝－4，
所以a＝(－4，－6)．
3．(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足＝，设AM与BD交于点G，则·＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
A　解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
因为＝，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.
(方法一)显然△DGM∽△BGA，且相似比为1∶3.
＝＝＝，
＝(1,1)，·＝·(1,1)＝1.
(方法二)直线BD的方程为y＝－x＋1，直线AM的方程为y＝3x.
联立解得所以点G.
所以·＝·(1,1)＝×1＋×1＝1.
4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于________．
12　解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2,4)，所以a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)×(－2)＋20＝0，所以x＝12.

平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算．

考点2　平面向量数量积的性质——应用性

(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：因为a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
所以a·b＝.又|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
且0≤〈a，b〉≤π，
所以a与b的夹角为.

1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角．
解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0，
所以(a＋b)2＝a2＝b2，
a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2.
设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|·cos θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cos θ＋1＝1，
解得cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝.
2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|.
解：因为|2a－b|＝1，
所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，
所以4－4|b|cos 30°＋b2＝1，
整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，
解得|b|＝.
(2020·人大附中三模)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝·，i＝1,2,3，…，8}中的元素个数(　　)

A．1 B．2 C．4 D．8
A　解析：由图可知，＝＋，所以·＝(＋)＝2＋·.
因为正方体的棱长为1，AB⊥BPi，所以·＝0，所以·＝2＋·＝1＋0＝1.
故集合{y|y＝·，i＝1,2，…，8}中的元素个数为1.


1．求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
3．两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，求向量a＋b与a－b的夹角．
解：将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0.
将|a＋b|＝|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，所以b2＝a2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝＝.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

考点3　平面向量数量积的应用——综合性

考向1　平面向量与三角函数
已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．
(1)若||＝||，求角α 的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，
所以＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)．
所以||＝，
||＝.
因为||＝||，所以＝，即(cos α－3)2＋(sin α)2＝(cos α)2＋(sin α－3)2，
所以sin α＝cos α，所以tan α＝1，
所以α＝kπ＋，k∈Z.
(2)由(1)知，＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
所以·＝(cos α－3)cos α＋sin α·(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1.
所以sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－.
所以＝＝2sin αcos α＝－.

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
考向2　平面向量的最值问题
(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
A　解析：设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1.如图所示，a＝，b＝(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，∠AOx＝)．
所以|a－b|min＝|CD|－1＝－1(其中CD⊥OA)．


平面向量的最值一般有两种处理方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．

1. (2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．
B　解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝＋，
所以当x＝－时，|a＋xb|取得最小值.
2．已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f (x)＝a·b－|a＋b|，求f (x)的最大值和最小值．
解：(1)a·b＝cos cos －sin ·sin ＝cos 2x.
因为a＋b＝，
所以|a＋b|＝

＝＝2|cos x|.
因为x∈，
所以cos x>0，所以|a＋b|＝2cos x.
(2)f (x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝2－.
因为x∈，所以≤cos x≤1，
所以当cos x＝时，f (x)取得最小值－；
当cos x＝1时，f (x)取得最大值－1.


(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
[四字程度]
读
想
算
思
求·
1.数量积的计算方法；
2．用哪个公式好？
用恰当的基底或坐标表示两向量
转化与化归
四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，AE＝BE
1.基向量法1；
2．基向量法2；
3．基向量法3；
4．坐标法1；
5．坐标法2
1.几何法计算线段与夹角；
2．用基底或坐标表示与；
3．计算数量积
1.向量的线性运算法则；
2．数量积计算公式


思路参考：探究△AEB中的边角大小．
－1　解析：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°，

所以∠ABE＝30°.
又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.
所以∠E＝120°.
所以在△AEB中，AE＝BE＝2.
所以·＝(＋)·(＋)
＝－2＋·＋·＋·
＝－12＋2×2×cos 30°＋5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°
＝－12＋6＋15－10＝－1.

思路参考：用，作基向量表示·.
－1　解析：如图，

因为AE＝BE，AD∥BC，∠BAD＝30°，
所以在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°.
又AB＝2，所以AE＝BE＝2，
所以＝－.
因为＝＋，所以＝－.
又＝＋＝－＋，
所以·＝(－＋)·
＝－2＋·－2
＝－2＋||·||cos 30°－2
＝－12＋×2×5×－×25＝－1.

思路参考：构造菱形AEBF.
－1　解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.

因为AD∥BC，所以四边形AEBF为平行四边形，
因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．
因为∠BAD＝30°，AB＝2，
所以AF＝2，即＝.
因为＝＝－＝－，
所以·＝(－)·
＝·－2－2
＝×2×5×－12－10＝－1.

思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程．
－1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.

因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.
由得x＝，y＝－1，
所以E(，－1)．
所以·＝·(，－1)＝－1.

思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标．
－1　解析：过点B作BF垂直于ADF.
因为AB＝2，∠A＝30°，
则BF＝，AF＝3.
又因为AD∥BC，AE＝BE，
则∠EBA＝∠BAD＝∠EAB＝30°，则BE＝2.
以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－3,0)，B(0，)，D(2,0)，E(－2，)．
所以＝(2，－)，＝(1，)，
则·＝2－3＝－1.


1．本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2　解析：(方法一)|a＋2b|＝
＝
＝＝＝2.
(方法二：数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2.