人教A版高考数学一轮总复习第6章第2节等差数列课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第6章第2节等差数列课时学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第二节　等差数列

一、教材概念·结论·性质重现
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

等差数列的定义用递推公式表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2．等差数列的通项公式
(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d.

当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
5．等差数列的前n项和公式及其性质
(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝＝na1＋d.
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(3)等差数列的前n项和的最值．
在等差数列{an}中，若a1>0，d0，a7＋a10.
(1)证明：因为an＋1＝，
所以＝，化简得＝2＋，
即－＝2.
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，
＝>＝－.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋
>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝.

本例条件变为“若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)”，求数列{an}的通项公式．
解：由已知式＝＋可得－＝－，知数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.


等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．设cn＝b－b，n∈N*, 求证：数列{cn}是等差数列．
证明：由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以数列{cn}是等差数列．

考点3　等差数列性质的应用——应用性

考向1　等差数列项的性质问题
(1)(2020·宁德二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9＝(　　)
A．21　　B．27　　C．30　　D．36
B　解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，
则S9＝＝9a5＝27.
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
C　解析：(方法一)设等差数列{an}的公差为d，
依题意解得d＝4.
(方法二)等差数列{an}中，S6＝＝48，
则a1＋a6＝16＝a2＋a5.
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，
所以d＝4.

等差数列项的性质的关注点
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；
(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质；
(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合命题．
考向2　等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
B　解析：在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
2 020　解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
所以S2 020＝1×2 020＝2 020.

等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(3)S2n－1＝(2n－1)an.

1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)
A．2 B．7
C．14 D．28
C　解析：因为2＋a5＝a6＋a3，
所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2.
所以S7＝＝7a4＝14.
2．(2020·海南模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，
所以可设Sn＝kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，k≠0.
所以a7＝S7－S6＝18k，b6＝T6－T5＝21k，
所以＝.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
200　解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.

考点4　等差数列前n项和的最值——应用性

等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a70.由结论a7＝0，a80，S140，S140，a1＋a14＝a7＋a80，a80，d0，首项a10，d＝－