福建省永泰县第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份福建省永泰县第二中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A.M={(3, 2)}，N={(2, 3)}B.M={4, 5}，N={5, 4}
C.M={(x, y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}D.M={1, 2}，N={(1, 2)}
2. 在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.y=1，y=xxB.y=x-1×x+1
C.y=|x|，y+(x)2D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
3. 函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0, 1)B.(1, 1)C.(2, 0)D.(2, 2)
4. f(x)=x1-1-x的定义域是（ ）
A.(-∞, 1]B.(-∞, 0)∪(0, 1) C.(-∞, 0)∪(0, 1] D.[1, +∞)
5. 函数y=f(x)在R上为减函数，且f(2m)>f(-m+9)，则实数m的取值范围是（ ）
A.(-∞, 3)B.(0, +∞)
C.(3, +∞)D.(-∞, -3)∪(3, +∞)
6. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )
A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|
7. 定义运算a⊕b=a,(a≤b)，b,(a>b)，则函数f(x)=1⊕2x的图象是( )
A.B.
C.D.

8. 下列对应关系中，是A到B的映射的有（ ）
①A={1, 2, 3}，B={0, 1, 4, 5, 9, 10}，f:x→x2；
②A=R，B=R，f:x→x的倒数；
③A=N，B=N*，f:x→x2；
④A=Z，B=Z，f:x→2x-1．
A.①②B.①④C.①③④D.②③④
9. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(-1)= ( )
A.-3B.-1C.1D.3
10. 已知F(x)=mf(x)+ng(x)+x+2对任意x∈(0, +∞)都有F(x)≤F(2)=8，且f(x)与g(x)都是奇函数，则在(-∞, 0)上F(x)有（ ）
A.最大值8B.最小值-8C.最大值-10D.最小值-4
11. f(x)=(3a-1)x+4a,(x<1)，-ax,(x≥1)，是定义在(-∞, +∞)上是减函数，则a的取值范围是( )
A.[18, 13)B.[0, 13]C.(0, 13)D.(-∞, 13]
12. 设全集U=R，P={x|f(x)=0, x∈R}，Q={x|g(x)=0, x∈R}，S={x|φ(x)=0, x∈R}，则方程f2(x)+g2(x)φ(x)=0的解集为（ ）
A.P∩Q∩SB.P∩QC.P∩Q∩(CUS)D.(P∩Q)∪S
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．请把答案填在答题卡相应位置
13. 2723+1612-(12)-2-(827)-23=________．
14. 函数f(x)满足f(x+2)=x2+3，则f(x)=________．
15. 设奇函数f(x)在(0, +∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集是________．
16.已知函数f(x)的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x1，x2∈D都有：f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0．给出结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)是奇函数；
③f(x)在(0, +∞)上是增函数；
④f(x)在(0, +∞)上是减函数．
则正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程写在答题卡的相应位置．
17.已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x<-1或x>5}，
(1)当a=0时，求A∩B，A∪(∁RB)；
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围．

18.永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；
（2）当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

19. 已知函数f(x)的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，若f(-1)=2．
（1）求证：f(x)为奇函数；
（2）求证：f(x)是R上的减函数；
（3）求函数f(x)在区间[-2, 4]上的值域．

20.定义在[-1, 1]上的奇函数f(x)，当-1≤x<0时，f(x)=-2x4x+1．
（1）求f(x)在[-1, 1]上解析式；
（2）判断f(x)在(0, 1)上的单调性，并给予证明；
（3）当x∈(0, 1]时，关于x的方程2xf(x)-2x+λ=0有解，试求实数λ的取值范围．
参考答案与试题解析
2021学年福建省福州市永泰二中高一（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.
【答案】
B
【考点】
集合的相等
【解析】
主要根据集合相等的本质即：两个集合中的元素应一样进行判断．
【解答】
解：根据集合相等知，两个集合中的元素应一样：
A、(3, 2)和(2, 3)是不同元素，故A不对；
B、根据集合元素具有互异性，故M=N，故B正确；
C、因为M中的元素是有序实数对，而N中的元素是实数，故C不对；
D、因M中有两个元素即：1，2；而N有一个元素是(1, 2)，故不对．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
题目中给出了四对函数，判断它们是否为同一函数，需要分析每两个函数的定义域是否相同，对应关系是否一样，抓住这两点对四个选项逐一判断即可得到正确答案．
【解答】
解：选项A中y=1的定义域为R，而y=xx的定义域是{x|x≠0}，两函数定义域不同，所以不是同一函数；
选项B中函数y=x-1×x+1的定义域为{x|x≥1}，
选项C中函数y=|x|的定义域为R，而函数y=(x)2的定义域为{x|x≥0}，两函数定义域不同，所以不是同一函数；
选项D中两函数定义与相同，对应关系相同，所以两函数为同一函数．
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
指数函数的图象
【解析】
根据a0=1(a≠0)时恒成立，我们令函数y=ax-2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过点的坐标．
【解答】
解：∵ 当x=2时，
y=a2-2+1=2恒成立.
故函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2, 2).
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据题意可得1-x≥01-1-x≠0，解不等式可求
【解答】
解：根据题意可得1-x≥01-1-x≠0
解得x≤1且x≠0
所以函数的定义域是(-∞, 0)∪(0, 1]
故选C
5.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
由条件利用函数的单调性的性质可得 2m<-m+9，由此解得m的范围．
【解答】
解：∵ 函数y=f(x)在R上是减函数，且f(2m)>f(-m+9)，
则有 2m<-m+9，解得m<3，
实数m的取值范围是：(-∞, 3)．
故选：A．
6.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间(0, +∞)上y=|x|+1=x+1、y=-x2+1、y=2-|x|=(12)x的单调性易于选出正确答案．
【解答】
解：因为y=x3是奇函数，
y=|x|+1，y=-x2+1，y=2-|x|均为偶函数，
所以选项A错误；
又因为y=-x2+1，y=2-|x|=(12)|x|
在(0, +∞)上均为减函数，
只有y=|x|+1在(0, +∞)上为增函数，
所以选项C，D错误，只有选项B正确．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
本题考查指数函数的图象．
【解答】
解：当x≥0时，1≤2x，f(x)=1；
当x<0时，1>2x，f(x)=2x．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
映射
【解析】
由映射的概念知，集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．对对应关系一一验证．
【解答】
解：①A={1, 2, 3}，B={0, 1, 4, 5, 9, 10}，f:x→x2；正确；
②A=R，B=R，f:x→x的倒数；0没有元素之间对应，故不正确；
③A=N，B=N*，f:x→x2；0没有元素之间对应，故不正确；
④A=Z，B=Z，f:x→2x-1．正确；
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
奇函数
函数的求值
【解析】
首先由奇函数性质f(0)=0求出f(x)的解析式，然后利用定义f(-x)=-f(x)求f(-1)的值．
【解答】
解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)=20+2×0+b=0，
解得b=-1，
所以当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，
又因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
令G(x)=mf(x)+ng(x)+x，易知G(x)为奇函数，其图象关于原点对称，由题意可得F(x)在(0, +∞)的最大值，从而可求得G(x)的最大值，根据对称性进而可得其在(-∞, 0)
上的最小值，通过F(x)与G(x)图象关系即可求得F(x)的最小值．
【解答】
解：令G(x)=mf(x)+ng(x)+x，
因为f(x)，x与g(x)都是奇函数，所以G(x)是奇函数，则G(x)的图象关于原点对称．
当x∈(0, +∞)时都有F(x)≤F(2)=8，即F(x)有最大值8，则G(x)有最大值6，
所以在x∈(-∞, 0)时G(x)有最小值-6，
而F(x)=mf(x)+ng(x)+x+2的图象是由G(x)的图象向上平移2个单位得到，
所以F(x)在(-∞, 0)有最小值-6+2=-4，
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
由题意可得3a-1<0、-a<0、且-a≤3a-1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．
【解答】
解：由题意可得3a-1<0，-a<0，-a≤3a-1+4a，
求得18≤a<13.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
由方程f2(x)+g2(x)φ(x)=0，根据实数的性质，我们可得方程f2(x)+g2(x)φ(x)=0的解集为{x|f(x)=0且g(x)=0, 且φ(x)≠0}，进而根据P={x|f(x)=0}，Q={x|g(x)=0}，S={x|φ(x)=0}，结合集合交集、补集的意义，得到答案．
【解答】
解：若方程f2(x)+g2(x)φ(x)=0
则f(x)=0且g(x)=0，且φ(x)≠0
由P={x|f(x)=0}，Q={x|g(x)=0}，S={x|φ(x)=0}，
根据集合交集、补集的意义，
故方程f2(x)+g2(x)φ(x)=0的解集：P∩Q∩(CUS)，
故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．请把答案填在答题卡相应位置
【答案】
274
【考点】
有理数指数幂的化简求值
【解析】
直接利用指数的运算法则求解即可．
【解答】
解：2723+1612-(12)-2-(827)-23
=32+4-4-(23)-2
=9-94
=274
故答案为：274．
【答案】
x2-4x+7
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．
【解答】
解：由f(x+2)=x2+3，
得到f(x+2)
=(x+2-2)2+3
=(x+2)2-4(x+2)+7
故f(x)=x2-4x+7．
故答案为：x2-4x+7．
【答案】
(-1, 0)∪(0, 1)
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
由函数f(x)是奇函数，将原等式转化为f(x)x<0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．
【解答】
解：∵ 函数f(x)是奇函数，
∴ f(-x)=-f(x)，
∴ 不等式f(x)-f(-x)x<0可转化为：
f(x)x<0，
根据条件可作一函数图象：
∴ 不等式f(x)-f(-x)x<0的解集是(-1, 0)∪(0, 1).
故答案为：(-1, 0)∪(0, 1).
【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
先探究函数f(x)的奇偶性：通过赋值，先令x1=x2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，由此可解得f(1)的值，再令x1=x2=-1，可求得f(-1)=0，最后再令x1=-1，x2=x，可判断函数的奇偶性，从而可判断①与②；再探究函数f(x)在(0, +∞)上上的单调性：利用定义，设x1>x2>0，则x1x2>1，依题意，易知f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，从而可判断③与④．
【解答】
解：先探究函数f(x)的奇偶性：
令x1=x2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1)，
∴ f(1)=0；
再令x1=x2=-1，有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，即f(1)=2f(-1)=0，解得f(-1)=0；
再令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，
∴ f(-x)=f(x)，∴ f(x)为偶函数．
故①正确，②错误；
再探究函数f(x)在(0, +∞)上上的单调性：
令x1>x2>0，则x1x2>1；
∵ f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，
∴ f(x1)-f(x2)=f(x1x2⋅x2)-f(x2)=f(x1x2⋅x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1x2)>0，
∴ f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，
故③正确，④错误；
故答案为：①③．
三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程写在答题卡的相应位置．
【答案】
解：(1)当a=0时，A={x|0≤x≤8}，
∵ B={x|x<-1或x>5}，全集为R，
∴ A∩B={x|5则A∪(∁RB)={x|-1≤x≤8}；
(2)∵ A∪B=B，∴ A⊆B，
∴ a+8<-1或a>5，
解得：a<-9或a>5．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交、并、补集的混合运算
交集及其运算
并集及其运算
【解析】
（1）将a=0代入集合A中确定出解集，求出A与B的交集即可；由全集R求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】
解：(1)当a=0时，A={x|0≤x≤8}，
∵ B={x|x<-1或x>5}，全集为R，
∴ A∩B={x|5则A∪(∁RB)={x|-1≤x≤8}；
(2)∵ A∪B=B，∴ A⊆B，
∴ a+8<-1或a>5，
解得：a<-9或a>5．
【答案】
解：（1）当0当20∴ y=-4x2+132x-8000（2）①当0∴ 当x=16.5时，y取得最大值为289，
②当20∴ 当x=24时，y取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
（1）由题意可知：以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．于是可得：当0（2）分类讨论：当0【解答】
解：（1）当0当20∴ y=-4x2+132x-8000（2）①当0∴ 当x=16.5时，y取得最大值为289，
②当20∴ 当x=24时，y取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．
【答案】
解：（1）证明：∵ f(x)的定义域为R，令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，
∴ f(0)=0．
令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，
即f(0)=f(x)+f(-x)=0．
∴ f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)．
又∵ x2-x1>0，∴ f(x2-x1)<0，∴ f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)．
故f(x)是R上的减函数．
（3）∵ f(-1)=2，∴ f(-2)=f(-1)+f(-1)=4．
又f(x)为奇函数，∴ f(2)=-f(-2)=-4，
∴ f(4)=f(2)+f(2)=-8．
由（2）知f(x)是R上的减函数，
所以当x=-2时，f(x)取得最大值，最大值为f(-2)=4；
当x=4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)=-8．
所以函数f(x)在区间[-2, 4]上的值域为[-8, 4]．
【考点】
抽象函数及其应用
函数奇偶性的性质
【解析】
（1）先利用特殊值法，求证f(0)=0，令y=-x即可求证；
（2）由（1）得f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，利用定义法进行证明；
（3）由函数为减函数，求出f(-2)和f(4)继而求出函数的值域，
【解答】
解：（1）证明：∵ f(x)的定义域为R，令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，
∴ f(0)=0．
令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，
即f(0)=f(x)+f(-x)=0．
∴ f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)．
又∵ x2-x1>0，∴ f(x2-x1)<0，∴ f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)．
故f(x)是R上的减函数．
（3）∵ f(-1)=2，∴ f(-2)=f(-1)+f(-1)=4．
又f(x)为奇函数，∴ f(2)=-f(-2)=-4，
∴ f(4)=f(2)+f(2)=-8．
由（2）知f(x)是R上的减函数，
所以当x=-2时，f(x)取得最大值，最大值为f(-2)=4；
当x=4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)=-8．
所以函数f(x)在区间[-2, 4]上的值域为[-8, 4]．
【答案】
解：（1）∵ f(x)是定义在[-1, 1]上的奇函数，
∴ 当x=0时，f(x)=0，…
当 x∈(0, 1]时，-x∈[-1, 0)，
所以f(x)=-f(-x)=2x1+4x，…
综上：f(x)=2x1+4x，x∈(0,1]0,x=0-2x1+4x,x∈[-1,0).．…
（2）证明：任意x1、x2(0, 1]，且x1则f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(1+4x1)(1+4x2)
由x1所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0, 1)上单调递减．…
（3）λ=2x-1-4x，
设t=2x，则t∈(1, 2]，
故λ=-t2+t-1=-(t-12)2-34∈[-3,-1)．…
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数单调性的判断与证明
函数的零点
【解析】
（1）由题意可得，f(0)=0，设 x∈(0, 1]，可得，-x∈[-1, 0)，结合已知函数解析式及f(x)=-f(-x)即可求解；
（2）先设任意x1、x2(0, 1]，且x1（3）利用换元法，设t=2x，则t∈(1, 2]，然后结合二次函数在闭区间上的最值求解即可
【解答】
解：（1）∵ f(x)是定义在[-1, 1]上的奇函数，
∴ 当x=0时，f(x)=0，…
当 x∈(0, 1]时，-x∈[-1, 0)，
所以f(x)=-f(-x)=2x1+4x，…
综上：f(x)=2x1+4x，x∈(0,1]0,x=0-2x1+4x,x∈[-1,0).．…
（2）证明：任意x1、x2(0, 1]，且x1则f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(1+4x1)(1+4x2)
由x1所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0, 1)上单调递减．…
（3）λ=2x-1-4x，
设t=2x，则t∈(1, 2]，
故λ=-t2+t-1=-(t-12)2-34∈[-3,-1)．…