河北省保定市部分学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案)
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这是一份河北省保定市部分学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案),共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容,已知直线,则下列结论正确的是,已知正方体的棱长为a,,则等内容,欢迎下载使用。
高二年级上学期第一次考试数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册占,选择性必修第一册第一章至第二章第2节占。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.( )A. B. C. D.2.无论实数k取何值,直线都过定点,则该定点的坐标为( )A. B. C. D.3.若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )A. B.C. D.4.如图,在正方体中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )A.平面 B.平面 C.平面 D.平面5.如图,在四面体OABC中,,且,则( )A. B. C. D.6.甲、乙两名同学进行投篮训练,已知甲同学每次投篮命中的概率为,乙同学每次投篮命中的概率为,两名同学每次投篮是否命中相互独立.若甲、乙分别进行2次投篮,则他们命中的次数之和不少于2的概率为( )A. B. C. D.7.如图,在正三棱柱中,,E是的中点,F是的中点,若点G在直线上,且平面AEF,则( )A. B. C. D.8.如图,已知两点,从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方程为( )A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知直线,则下列结论正确的是( )A.若,则 B.若,则或C.若,则 D.若,则10.已知正方体的棱长为a,,则( )A. B. C. D.11.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则( )A. B. C.的面积为 D.的周长为12.很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得,则( )A.该半正多面体的体积为 B.A,C,D,F四点共面C.该半正多面体外接球的表面积为D.若点E为线段BC上的动点,则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.已知向量,若,则__________.14.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数(AQI),分别为65,71,67,89,78,91,102,则这组数据的第70百分位数为__________.15.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1,则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为__________.16.如图,在长方体中,点E,F分别在棱,上,且.若,,,则的最小值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知坐标平面内三点.(1)求中AB边上的高所在的直线方程;(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标.18.(12分)如图,在长方体中,E是的中点,且.(1)过点A,C,E的截面与棱交于点F,求的长度;(2)求点到平面ACE的距离.19.(12分)为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识,使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识,提高预防能力,做到科学防护,科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成这六组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值,并估计这100人问答成绩的平均数;(同一组数据用该组数据的中点值代替)(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这2人的问答成绩均在内的概率.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD,四边形ABCD为正方形,,E,F分别是AD,PB的中点.(1)证明:平面PCD.(2)求直线PA与平面CEF所成角的正弦值.21.(12分)已知直线与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,且的面积为4.(1)求m的值;(2)若,点E,F分别在线段OA和OB上,且,求的取值范围.22.(12分)在三棱柱中,,G是线段EF上的动点.(1)求三棱锥的体积;(2)求平面ACG与平面ABED夹角的余弦值的最大值.高二年级上学期第一次考试数学参考答案1.C .2.A直线过定点.3.B因为,所以向量共面.4.C以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则..设平面的一个法向量为,则取因为与不平行,所以与平面不垂直,A错误;因为与不平行,所以BD与平面不垂直,B错误;因为,所以平面,C正确;因为,所以与平面不平行,D错误.5.D因为,所以,又,所以.6.B由题可知,他们命中的次数为0的概率为;命中的次数为1的概率为.故他们命中的次数之和不少于2的概率为.7.A如图:以C为原点,CB,所在的直线分别为y轴,x轴建立空间直角坐标系,则.由题可设,则.设平面AEF的法向量,则令,得.由,得,则.8.D易得AB所在的直线方程为,点P关于直线AB对称的点为,点P关于y轴对称的点为.直线MN即直线,则直线MN的方程为,即.9.AC令,解得或.当时,与重合;当时,.A正确,B错误.若,则,解得,C正确,D错误.10.BC如图:因为,所以,A错误.,B正确.,C正确.,D错误.11.ABD .因为,所以,即.的面积为.因为,所以,解得,故的周长为12.ABD 将该半正多面体补成正方体.因为该半正多面体的棱长为,所以正方体的棱长为2.该半正多面体的体积,A正确.该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心.设正方体的外接球球心为M,则该半正多面体的外接球半径,故该半正多面体外接球的表面积为,C错误.建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设,可解得,则,,共面,即A,C,D,F四点共面,B正确.又,设,所以,则..令,则.因为,所以.故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为.D正确.13.13 因为,所以,解得,则.14.89 将这组数据从小到大排序依次为65,67,71,78,89,91,102,因为,所以这组数据的第70百分位数为89.15.3因为一条中线所在直线的斜率为1,所以此中线所在直线的倾斜角为,可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为,,,即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为,所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.16.2以点为坐标原点,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则.设,则.因为,所以,即,化简得.当时,显然不符合题意.故,当且仅当时,等号成立.故的最小值为2.17.解:(1)由题易知, 1分则所求直线的斜率为, 3分故所求直线方程为,即. 5分(2)如图,当点D在第一象限时, 7分设,则解得,故点D的坐标为. 10分18.解:在长方体中,以点D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则. 2分(1)连接EF,在长方体中,平面,平面平面,所以. 5分设,则. 6分因为,所以,解得.故. 7分(2). 8分设平面ACE的法向量为,则令,得 10分则点到平面ACE的距离 . 12分19.解:(1)由图可知,,解得. 3分这100人问答成绩的平均数约为. 6分(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本,则问答成绩在内的有人,分别记为A,B;问答成绩在内的有人分别记为a,b,c. 8分从中任意抽取2人,则实验的样本空间,共有10个样本点. 10分设事件A为2人的问答成绩均在内的概率,则, 11分所以这2人的间答成绩均在内的概率. 12分20.(1)证明:如图,设M为PC的中点,连接FM,MD. 1分因为F,M分别为PB,PC的中点,所以.在正方形ABCD中,,所以.所以四边形DEFM为平行四边形,. 4分因为平面PCD,平面PCD,所以平面PCD. 5分(2)解:以D为原点,以DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则, 6分. 7分设平面CEF的法向量为,则即令,则. 9分设直线PA与平面CEF所成角为,则,故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为. 12分21.解:(1)令,得;令,得. 2分所以. 3分,解得. 5分(2)由(1)可得,易得P为AB的中点,则. 6分. 7分因为,所以,则.8分设,则, 10分.故的取值范围为. 12分22.解:(1)因为,所以.因为,所以平面BCGE.因为平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. 2分过点G作,垂足为M.因为平面BCGE,所以平面ABC,点G到平面ABC的距离即GM的长度. 3分过点E作,垂足为H,则. 4分. 5分(2)以H为坐标原点,的方向为x轴的的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,.设平面ACG的法向量为,则即取,可得. 7分设平面ABED的法向量为,则即取,可得. 8分故. 9分令,则. 10分因为,所以,.故平面ACG与平面ABED所成锐二面角的余弦值的最大值为 12分
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