北师大版七年级下册第四章 三角形2 图形的全等精品随堂练习题

《图形的全等》单元检测题A卷

答案 解析

一、单选题

1．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案 ：D．

2．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（       ）

A．点D B．点C C．点B D．点A

A

【分析】根据全等三角形的判定即可解决问题．

【详解】解：观察图象可知△MNP≌△MFD．

故选：A．

3．下列命题的逆命题一定成立的是（       ）

①对顶角相等；

②同位角相等，两直线平行；

③全等三角形的周长相等；

④能够完全重合的两个三角形全等．

A．①②③ B．①④ C．②④ D．②

C

【分析】求出各命题的逆命题，然后判断真假即可．

【详解】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题不符合题意；

②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意；

③全等三角形的周长相等. 逆命题为：周长相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；

④能够完全重合的两个三角形全等. 逆命题为：两个全等三角形能够完全重合，是真命题，符合题意；

故逆命题成立的是②④，

故选C．

4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：

①CD＝CF；

②∠EDF＝45°；

③∠BCF＝45°；

④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案 C．

5．如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（       ）的交点．

A．三条角平分线 B．三条中线

C．三条高的交点 D．三条垂直平分线

A

【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．

【详解】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，

∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，

故选：A．

6．下列说法正确的是（       ）

A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同

C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形

B

【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．

【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；

B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；

C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；

D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；

故选：B．

7．观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（       ）

A． B．

C． D．

C

【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．

【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；

B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；

C：CD为的角平分线，满足题意。

D：所作线段为AB边上的高，选项错误

故选：Ｃ.

8．如图，，若，则的度数是（       ）

A．80° B．70° C．65° D．60°

B

【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．

【详解】，

，

，

，

，

，

故选：B．

9．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（       ）

A． B． C． D．

B

【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．

【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，

∴，故B正确．

故选：B．

10．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（       ）

A．∠AOB=60° B．AP=BQ

C．PQ∥AE D．DE=DP

D

【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．

【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠DAC，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，

又∵AC=BC，

在△CQB与△CPA中，

，

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴CP=CQ，

又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE，

故C正确，

∵△CQB≌△CPA，

∴AP=BQ，

故B正确，

∵AD=BE，AP=BQ，

∴AD-AP=BE-BQ，

即DP=QE，

∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，

∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；

∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∵等边△DCE，

∠EDC=60°=∠BCD，

∴BC∥DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，

故A正确．

故选：D．

二．填空题（24分）

11.如图10，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为____________.

答案 13．30°

12.在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图11），她用刻度尺量得AB=AC，BO=CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B与∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，一定相等.”你认为小麦的说法________.（填“正确”或“错误”）

正确

提示：根据题意，得△AOB≌△AOC（SSS），所以∠B=∠C.

13．如图12，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的_________.(填“中线”或“角平分线”)

中线

提示：根据题意，得△BDE≌△CDF（AAS），所以BD=CD.

14. 如图 13，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为             .

图13                 图14

答案 82°

15. 如图14，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），点D在第二象限，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是            .

 答案 （-4，3）或（-4，2） 

16. 程老师制作了如图15-①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以点 A 为圆心，8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动.图15-②是操作学具时，所对应某个位置的图形示意图，有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ；③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ.其中正确的是           . （填序号）

答案 ②③④  提示：如题图①，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ 的形状不能唯一确定，①不正确；当∠PAQ=30°，PQ=9时，以点 P为圆心，PQ 长为半径画弧，与射线AM有一个交点，则可得形状唯一确定的△PAQ，②正确；当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P点为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有一个交点，则可得形状唯一确定的△PAQ，③正确；当∠PAQ=150°，PQ=12时，以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有一个交点，则可得形状唯一确定的△PAQ，④正确.

三．解答题（66分）

17.（8分）如图22，在△ABC中，∠B=∠C，D是BA延长线上的一点，E是AC的中点.

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

①作∠DAC的平分线AM；

②连接BE并延长交AM于点F.

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的关系，并证明.

解：（1）如图所示：

（2）AF∥BC且AF=BC.

证明：因为∠DAC=∠ABC＋∠C，∠ABC=∠C，所以∠DAC =2∠C.

又∠DAC=2∠FAC，所以∠C=∠FAC.

所以AF∥BC.

因为E是AC的中点，所以AE=CE.

在△AEF和△CEB中，∠FAC=∠C，AE=CE，∠AEF=∠CEB，所以△AEF≌△CEB（ASA）.

所以AF=BC.

18.（10分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．

（1）求证：BF＝CE；

（2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积．

解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，

∴∠CED＝∠BFD＝90°，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△CED和△BFD中，

，

∴△CED≌△BFD（AAS），

∴BF＝CE；

（2）∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABD＝S△ACD，

∵S△ACE＝4，SCED＝3，

∴S△ACD＝S△ABD＝7，

∵△BFD≌△CED，

∴S△BDF＝S△CED＝3，

∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．

19.（10分）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.

(1)求∠APB的度数．

(2)求证：点P在∠C的平分线上．

(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.

【答案】

解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分线，

∴∠BAP＝∠BAC，∠ABP＝∠ABC.

∴∠BAP＋∠ABP＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.

(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.

∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC，

∴PF＝PG，PF＝PH.

∴PH＝PG.

又∵PG⊥AC，PH⊥BC，

∴点P在∠C的平分线上．

(3)证明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，

∴∠GPH＝120°.

∴∠GPE＋∠EPH＝120°.

又∵∠APB＝∠DPE＝∠DPG＋∠GPE＝120°，

∴∠EPH＝∠DPG.

在△PGD和△PHE中，

∴△PGD≌△PHE.∴PD＝PE.

②如图，在AB上截取AM＝AD.

在△ADP和△AMP中，

∴△ADP≌△AMP.

∴∠APD＝∠APM＝60°.

∴∠EPB＝∠MPB＝60°.

在△EBP和△MBP中，

∴△EBP≌△MBP.

∴BE＝BM.

∴AB＝AM＋BM＝AD＋BE.

20（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．

（1）求证：AC＝AE；

（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；

（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠DAE，

∵DE⊥BA，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠C＝∠DEA＝90°，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC＝AE；

（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，

∵∠C＝∠DEA＝90°，

∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，

则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，

在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：

在△FAD和△MAD中，

，

∴△FAD≌△MAD（SAS），

∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，

∵BD＝DF，

∴BD＝MD，

在Rt△MDE和Rt△BDE中，

∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），

∴∠DME＝∠B，

∵∠DAC＝∠DAE＝α，

∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，

在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，

在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，

∴∠DFC＝∠DME，

∴∠DFC＝∠B，

∵∠C＝90°，

在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，

∴∠DFC＝90°﹣2α，

∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，

∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，

∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；

（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，

∴AM＝1.5，

∵AB＝9.5，

∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，

由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，

∴ME＝BE，

∴，

即BM的长为4．

21.（14分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　      ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=×4÷cos30°=2÷=，

∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，

故BF的长为或．

22.（14分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．

（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 　               　s；

（2）当△ABM与△MCN全等时，

①若点M、N的移动速度相同，求t的值；

②若点M、N的移动速度不同，求a的值．

答案 解：（1）点M的运动时间t＝（秒），

故答案为；

（2）①∵点M、N的移动速度相同，

∴CN＝BM，

∵CD∥AB，

∴∠NCM＝∠B，

∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等，

则有12＝20﹣3t，解得t＝；

②∵点M、N的移动速度不同，

∴BM≠CN，

∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，

∴运动时间t＝，

∴a＝＝．