初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀习题

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等腰三角形 同步课时训练A卷
答案解析
一．选择题（共30分）
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）

A．55° B．62° C．80° D．130°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠B＝∠ACB＝62.5°，再根据三角形外角性质，即可得到62.5°≤∠APC≤125°，即可得到∠APC的度数可能是80°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）

A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置．
【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．

故选：A．
4．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（　　）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定．
【分析】分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，即可得符合条件的B点个数．
【解答】解：分三种情况说明：
①以点O为圆心，OA长为半径画圆，
与x轴、y轴有4个交点，
这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；
②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长AD，BC交于点G，根据BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，可得AB＝BG，D是AG的中点，依据DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，求得BG＝2DE＝6，即可得到AB＝6．
【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中点，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中点，F是AC的中点，
∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故选：B．

6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AB上的一点，且满足ED＝EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，ED＝EA，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ADE＝36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝36°＝∠A，
∴∠CDB＝72°，DB＝DA，即△ABD是等腰三角形，
∴∠C＝∠CDB，
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ADF＝∠C＝72°，∠BDF＝∠DBC＝∠DBF＝36°，
∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形，
BF＝DF，即△BDF是等腰三角形，
∵∠FED＝∠A+∠ADE＝72°＝∠AFD，
∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形，
∵∠FED＝∠EFD＝72°，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形，
故图中等腰三角形有8个，
故选：C．

7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．
【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，

∴OH＝1，BH＝．
∴点B的坐标为（1，）．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为（12，0），D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G．当G与D重合时，点D的坐标为（　　）

A．（1，） B．（2，2） C．（4，4） D．（8，8）
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】设BG＝x，依据∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，可得BF＝2x，CF＝12﹣2x，CE＝2CF＝24﹣4x，OE＝12﹣CE＝4x﹣12，OD＝2OE＝8x﹣24，再根据当G与D重合时，OD+BG＝OB列方程，即可得到x的值，进而得出点D的坐标．
【解答】解：如图，设BG＝x，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥OC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥OB，
∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，
∴BF＝2x，
∴CF＝12﹣2x，
∴CE＝2CF＝24﹣4x，
∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12，
∴OD＝2OE＝8x﹣24，
当G与D重合时，OD+BG＝OB，
∴8x﹣24+x＝12，
解得x＝4，
∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8，
∴OE＝4，DE＝4，
∴D（4，4）．
故选：C．

9．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）

A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．
【分析】依据作图可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
10．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定．
【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
二 .填空题：（24分）
11.如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　　．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
12．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 个．

【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
13.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．

【答案】144°．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．

14．如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．

【答案】12
【详解】
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，

∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6