河南省中原名校2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题（含答案）

中原名校2022-2023学年上期第一次联考

高二数学试题

（考试时间：120分钟     试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线的倾斜角为（    ）

A．     B．     C．     D．

2．如图，在空间四边形中，（    ）

A．     B．     C．     D．

3．若空间向量不共线，且，则（    ）

A．6     B．12     C．18     D．24

4．若直线与直线平行，则（    ）

A．     B．     C．或     D．不存在

5．若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（    ）

A．1     B．     C．1或     D．0或

6．如图，在三棱锥中，设，若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知，则点C到直线的距离为（    ）

A．2     B．     C．     D．

8．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是线段的中点，N是线段的中点，则直线与直线所成的角是（    ）

A．     B．     C．     D．

9．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．已知两点，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

11．某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ）

A．     B．     C．或     D．或

12．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．经过两点的直线的一个方向向量为，则__________．

14．已知，点，若平面，则点P的坐标为__________．

15．从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为__________．

16．正方体棱长为2，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知空间向量．

（1）若，求

（2）若，求实数k的值．

18．（本小题满分12分）

在平行四边形中，，点E是线段的中点．

（1）求直线的方程；

（2）求过点A且与直线垂直的直线．

19．（本小题满分12分）

如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是．

（1）若，求线段的长度；

（2）求直线与所成角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，E为线段的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的平面角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知直线经过定点P．

（1）证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；

（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．

22．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F．

（1）当时，证明：平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积．

中原名校2022-2023学年上期第一次联考

高二数学参考答案

一、选择题

1．D  【解析】将原式化为：，斜率为，即，倾斜角．

2．A  【解析】根据向量的加法、减法法则得．

3．C  【解析】空间向量不共线，要使，则．

4．B  【解析】由直线与直线平行，可得：，解得．

5．B  【解析】由题知，，解得．

6．C  【解析】连接，

．

7．B  【解析】因为，所以．设点C到直线的距离为d，则．

8．D  【解析】以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则．

∴，∴，∴直线与直线所成的角是．

9．A  【解析】设在基底下的坐标为，

则，

所以，解得，故在基底下的坐标为．

10．C  【解析】直线恒过定点，斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为．结合图像可知，当直线l与线段没有交点时，直线l的斜率，即．

11．D  【解析】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，即，综上所述，该直线的斜率是或．

12．B  【解析】由圆锥的性质可知平面，以点O为坐标原点，平面过点O且垂直于的直线为x轴，直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则根据题意可得，因为，所以，所以，，，因此，异面直线与所成角的余弦值为．

二、填空题

13．5  14．  15．  16．

13．【解析】由条件可知，，解得．

14．【解析】因为，

所以，因为平面，

所以，

所以点P的坐标为．

15．【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，∴，依题意知D在反射光线上．又也在反射光线上，∴，故所求方程为，整理得：．

16．【解析】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，设，

则，

设与平面所成的角为，

，

令

当且仅当时，即时，最大，与平面所成的角最大．

三棱锥的体积为．

三、解答题

17．【解析】

（1）∵，∴，解得：，

故，故．

（2）因为

由得

即，解得．

18．【解析】（1）由中点坐标公式，得，

又因为，所以，

所以直线的方程为，

即．

（2）设点，因为平行四边形的对角线互相平分，

所以，解得，

所以，

过点A且与直线垂直的直线为：．

即

（写成也得分）

19．【解析】（1）以为空间一组基底．

，

，

所以．

（2），

，

所以．

，，

所以．

．

设直线与直线所成角为，

则．

20．【解析】

（1）证明：连接交于点O，连接，

在直三棱柱中，为矩形，所以O为中点，

又因为E为中点，所以，

又由平面平面，

所以平面．

（2）以B点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，

可得，

设平面的法向量为，则，

令，则，

所以平面的一个法向量为，

因为平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的平面角的正弦值为．

21．【解析】

（1）由可得：，

由可得，所以l经过定点；

即直线l过定点且定点在第二象限，

所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．

（2）设直线l的倾斜角为，则，

可得，

所以，

令，

因为，可得，

，

将两边平方可得：，

所以，

所以，

因为在上单调递增，所以

，所以，此时，

可得，所以，

所以直线的方程为．

22．【解析】

（1）延长交于N，连接，

因为G为的重心，

所以点N为的中点，且，

因为，故，所以，

故，故，

因为平面，所以，

因为底面为矩形，所以，

又因为，所以平面，故，

因为，所以，

又因为，

所以平面，所以平面．

（2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设点G到平面的距离为，

则，

故，

设平面的法向量为，则，即，

取，则，即，

设平面的法向量为，则，即，

取，则，则，

所以，解得，

又，

故点G到平面的距离为，

因为，所以，

所以．