通用版高考数学(理数)一轮复习第1讲《集合》学案(含详解)

第1讲　集合

1.元素与集合

(1)集合元素的性质:　　　　、　　　　、无序性. 

(2)集合与元素的关系:①属于，记为　　　　;②不属于，记为　　　　. 

(3)集合的表示方法:列举法、　　　　和　　　　. 

(4)常见数集及记法

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

4.集合的运算性质

(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=　　　　;A∪B=　　　　⇔B⊆A. 

(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A　　　　B. 

(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=　　　　; 

∁U(∁UA)=　　　　;∁U(A∪B)=(∁UA)　　　　(∁UB);∁U(A∩B)=　　　　∪　　　　. 

常用结论

(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1)，n∈Z}为偶数集，{x|x=4n±1，n∈Z}为奇数集等.

(2)①一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集;

②任何一个集合是它本身的子集;

③对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足);

④若A⊆B，则有A=⌀和A≠⌀两种可能.

(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).

题组一　常识题

1.已知集合A={0，1，x2-5x}，若-4∈A，则实数x的值为　　　　. 

2.已知集合A={a，b}，若A∪B={a，b，c}，则满足条件的集合B有　　　　个. 

3.设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B=　　　　　　　. 

4.已知集合A={-1，1}，B={a，a2+2}.若A∩B={1}，则实数a的值为　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.

5.已知集合A={1，3，}，B={1，m}，若B⊆A，则m=　　　　. 

6.已知x∈N，y∈N，M={(x，y)|x+y≤2}，N={(x，y)|x-y≥0}，则M∩N中元素的个数是　　　　. 

7.已知集合M={x|x-a=0}，N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值是　　　　. 

8.设集合A={x||x-a|<1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，若A⫋B，则a的取值范围为　　　　. 

探究点一　集合的含义与表示

例1 (1)[全国卷Ⅱ] 已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A.9                     B.8             C.5           D.4

(2)设集合A={-4，2a-1，a2}，B={9，a-5，1-a}，且集合A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为　　　　. 

[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.

变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1，k∈Z}，则下列表示正确的是 (　　)

A.-1∉A           B.-11∈A        C.3k2-1∈A           D.-34∉A

(2)[上海黄浦区二模] 已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3-m∈A，则非零实数m的值是　　　　. 

探究点二　集合间的基本关系

例2 (1)[武汉4月调研] 已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为           (　　)

A.{1}           B.{-1，1}        C.{1，0}           D.{1，-1，0}

(2)设集合M={x|x=5-4a+a2，a∈R}，N={y|y=4b2+4b+2，b∈R}，则下列关系中正确的是           (　　)

A.M=N           B.M⫋N        C.N⫋M           D.M∈N

[总结反思]

(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论.

(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法.

变式题 (1)设x，y∈R，集合A={(x，y)|y=x}，B=(x，y)=1，则集合A，B间的关系为           (　　)

A.A⫋B           B.B⫋A         C.A=B           D.A∩B=⌀

(2)已知集合M={x|x≤1}，N={x|a≤x≤3a+1}，若M∩N=⌀，则a的取值范围是　　　　. 

探究点三　集合的基本运算

角度1　集合的运算

例3 (1)[长沙周南中学月考] 已知集合A={x|x<1}，B={x|ex<1}，则 (　　)

A.A∩B={x|x<1}          

B.A∪B={x|x<e}

C.A∪(∁RB)=R          

D.(∁RA)∩B={x|0<x<1}

(2)已知集合A={x|2x≤1}，B={x|ln x<1}，则A∪B= (　　)

A.{x|x<e}           B.{x|0≤x≤e}

C.{x|x≤e}           D.{x|x>e}

[总结反思] 对于已知集合的运算，可根据集合的交集和并集的定义直接求解，必要时可结合数轴以及Venn图求解.

角度2　利用集合运算求参数

例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}，B={x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)

A.[3，6)           B.[1，2)

C.[2，4)           D.(2，4]

(2)设全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，若(∁UA)∩B=⌀，则p应该满足的条件是 (　　)

A.p>1           B.p≥1        C.p<1           D.p≤1

[总结反思] 根据集合运算求参数，要把集合语言转换为方程或不等式，然后解方程或不等式，再利用数形结合法求解.

角度3　集合语言的运用

例5 (1)已知集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为           (　　)

A.16           B.17           C.18           D.20

(2)对于a，b∈N，规定a*b=集合M={(a，b)|a*b=36，a，b∈N*}，则M中的元素个数为　　　　. 

[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:

(1)准确转化:解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

(2)方法选取:对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.

第1讲　集合

考试说明 1.集合的含义与表示:

(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系:

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算:

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.(1)确定性　互异性　(2)∈　∉　(3)描述法　图示法　(4)N　N*或N+　Z　Q　R

2.任意一个元素　B⊇A　至少　⫋　相同　A=B　不含

3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不　∉　∁UA

4.(1)B∪A　A　(2)⊆　(3)⌀　A　∩　(∁UA)　(∁UB)

对点演练

1.4或1　[解析] 因为-4∈A，所以x2-5x=-4，解得x=1或x=4.

2.4　[解析] 因为(A∪B)⊇B，A={a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个.

3.(-∞，0)∪[1，+∞)　[解析] 因为∁UA={x|x>2或x<0}，B={y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B=(-∞，0)∪[1，+∞).

4.1　[解析] 由题意可得1∈B，又a2+2≥2，故a=1，此时B={1，3}，符合题意.

5.0或3　[解析] 因为B⊆A，所以m=3或m=，即m=3或m=0或m=1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m=0或3.

6.4　[解析] 依题意得M={(0，2)，(0，1)，(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)}，所以M∩N={(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)}，所以M∩N中有4个元素.

7.0或1或-1　[解析] 易得M={a}.∵M∩N=N，∴N⊆M，∴N=⌀或N=M，∴a=0或a=±1.

8.2≤a≤4　[解析] 由|x-a|<1得-1<x-a<1，∴a-1<x<a+1，由A⫋B得或∴2≤a≤4.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)根据列举法，确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A，所以依据2a-1=9或a2=9分类求解，但要注意集合元素的互异性.

(1)A　(2)-3　[解析] (1)当x=-1时，y=-1，0，1;当x=0时，y=-1，0，1;当x=1时，y=-1，0，1.所以集合A={(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)}，共有9个元素.

(2)∵集合A，B中有唯一的公共元素9，∴9∈A.

若2a-1=9，即a=5，此时A={-4，9，25}，B={9，0，-4}，则集合A，B中有两个公共元素-4，9，与已知矛盾，舍去.

若a2=9，则a=±3，当a=3时，A={-4，9，5}，B={-2，-2，9}，B中有两个元素均为-2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;

当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}，符合题意.

综上所述，a=-3.

变式题　(1)C　(2)2　[解析] (1)当k=0时，x=-1，所以-1∈A，所以A错误;令-11=3k-1，得k=-∉Z，所以-11∉A，所以B错误;令-34=3k-1，得k=-11，所以-34∈A，所以D错误;因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2-1∈A，所以C正确.

(2)由题知，若3-m=2，则m=1，此时集合B不符合元素的互异性，故m≠1;

若3-m=1，则m=2，符合题意;

若3-m=3，则m=0，不符合题意.故答案为2.

例2　[思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1，1}，当a=0和a≠0时，分析集合N，再根据集合M，N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简，求出集合M，N，即可得M，N的关系.

(1)D　(2)A　[解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，

∴当a=0时，N=⌀，成立;

当a≠0时，N=，则=-1或=1，

解得a=-1或a=1.

综上，实数a的取值集合为{1，-1，0}.故选D.

(2)集合M={x|x=5-4a+a2，a∈R}={x|x=(a-2)2+1，a∈R}={x|x≥1}，

N={y|y=4b2+4b+2，b∈R}={y|y=(2b+1)2+1，b∈R}={y|y≥1}，∴M=N.

变式题　(1)B　(2)a<-或a>1　[解析] (1)由题意得，集合A={(x，y)|y=x}表示直线y=x上的所有点，集合B=(x，y)=1表示直线y=x上除点(0，0)外的所有点，所以B⫋A.故选B.

(2)当N=⌀时，由a>3a+1得a<-，满足M∩N=⌀;当N≠⌀时，由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.

例3　[思路点拨] (1)先求出∁RA，∁RB，再判断各选项是否正确;(2)先求出A，B中不等式的解集，确定出集合A，B，再求出两集合的并集即可.

(1)C　(2)A　[解析] (1)∵集合A={x|x<1}，B={x|ex<1}={x|x<0}，

∴∁RB={x|x≥0}，∁RA={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0}，故A错误;

A∪B={x|x<1}，故B错误;A∪(∁RB)=R，故C正确;(∁RA)∩B=⌀，故D错误.故选C.

(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0}，B={x|ln x<1}={x|0<x<e}，∴A∪B={x|x<e}，故选A.

例4　[思路点拨] (1)分别求出集合A和B，根据A∩B中有三个元素，求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.

(1)C　(2)B　[解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0，1，2，3，4}，B={x|4x>2m}=，∵A∩B中有三个元素，∴1≤<2，解得2≤m<4，∴实数m的取值范围是[2，4).

(2)∵全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，

∴∁UA={x|x≤1}，又(∁UA)∩B=⌀，∴p≥1.

例5　[思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论，可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a，b)的个数，从而得出M中的元素个数.

(1)D　(2)41　[解析] (1)根据“孤立元素”的定义知，单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0，1，2，3，4，5}，共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).

(2)由a*b=36，a，b∈N*知，

若a和b一奇一偶，则a×b=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点(a，b)有6个;

若a和b同奇同偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18，共18组，

故点(a，b)有35个.

所以M中的元素个数为41.

【备选理由】 例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题，重点关注区间端点的取值情况.

例1　[配合例2使用] [陕西黄陵中学三模] 已知集合M={x|y=(-x2+2x+3，x∈N}，Q={z|z=x+y，x∈M，y∈M}，则下列运算正确的是           (　　)

A.M∩Q=⌀           B.M∪Q=Z

C.M∪Q=Q           D.M∩Q=Q

[解析] C　由-x2+2x+3>0，得-1<x<3，∵x∈N，∴x=0，1，2，∴M={0，1，2}.

∵Q={z|z=x+y，x∈M，y∈M}，∴Q={0，1，2，3，4}，

∴M∩Q=M，M∪Q=Q，故选C.

例2　[配合例3使用] [佛山南海中学模拟] 已知集合A={x∈N|x2-2x≤0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∩B的子集的个数为           (　　)

A.3           B.4

C.7           D.8

[解析] D　∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0，1，2}，

B={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}，∴A∩B的子集的个数为23=8，故选D.

例3　[配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2}，B={x|y=lg(-x-3)}，则A∩B=           (　　)

A.(-4，+∞)           B.[-4，+∞)

C.(-∞，-3)           D.(-∞，-3)∪[3，+∞)

[解析] C　由|x-1|≥2，得x-1≥2或x-1≤-2，即x≥3或x≤-1.

由-x-3>0，得x<-3，

所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3}，故选C.

例4　[配合例4使用] 已知集合A={x|y=}，B={x|a≤x≤a+1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围为           (　　)

A.(-∞，-3]∪[2，+∞)

B.[-1，2]

C.[-2，1]

D.[2，+∞)

[解析] C　要使函数y=有意义，则4-x2≥0，据此可得A={x|-2≤x≤2}.

若A∪B=A，则集合B是集合A的子集，据此有求解不等式组可得，实数a的取值范围为[-2，1].