通用版高考数学(理数)一轮复习第4讲《函数的概念及其表示》学案(含详解)

第4讲　函数的概念及其表示

1.函数与映射的概念

2.函数的三要素

函数由　　　　、　　　　和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的　　　　.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的　　　　. 

3.函数的表示法

函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　. 

4.分段函数

若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的　　　　,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 

常用结论

1.常见函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于0.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)零次幂的底数不能为0.

(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.

(6)y=logax(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.

(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+,k∈Z.

2.抽象函数的定义域

(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.

(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为,+∞;当a<0时,值域为.

(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.

(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).

(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.

题组一　常识题

1.[教材改编] 以下属于函数的有　　　　.(填序号) 

①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).

2.[教材改编] 已知函数f(x)=则f(-2)=　　　　,f[f(-2)]=　　　　. 

3.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是　. 

4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有　　　　种. 

题组二　常错题

◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.

5.函数y=·的定义域是　　　　. 

6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为　　　　　　　. 

7.已知f()=x-1,则f(x)=　　　　　　. 

8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有　　　　个. 

探究点一　函数的定义域

角度1　求给定函数解析式的定义域

例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 (　　)

A.(0,1] B.[0,1]

C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)

(2)函数f(x)=+的定义域为 (　　)

A.(-3,0] 

B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪(-3,0] 

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.

角度2　求抽象函数的定义域

例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],

则函数g(x)=的定义域是 (　　)

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为 (　　)

A.[-1,1] B.[1,2]

C.[10,100] D.[0,lg 2]

[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.

变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为 (　　)

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(1,2) D.(-1,1)

(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为　　　　. 

探究点二　函数的解析式

例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1

C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4

(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)=　　　　　　　. 

(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)=　　　　. 

[总结反思] 求函数解析式的常用方法:

(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.

(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.

(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.

(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t= (　　)

A. B. C. D.

(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= (　　)

A.x+1 B.x-1 

C.2x+1 D.3x+3

(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)=　　　　　　　　　. 

探究点三　以分段函数为背景的问题 

微点1　分段函数的求值问题

例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f(x)=则f[f(-1)]= (　　)

A. B.+1

C.1 D.3

(2)已知函数f(x)=则f(log27)=　　　　. 

[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.

微点2　分段函数与方程

例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a= (　　)

A.2 B.-2

C.-3 D.3

(2)函数f(x)=若f(0)+f(a)=2,则a的值为　　　　. 

[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.

微点3　分段函数与不等式问题

例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是 (　　)

A.(-1,1) 

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-2)∪(0,+∞) 

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-1] B.(0,+∞)

C.(-1,0) D.(-∞,0)

[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.

应用演练

1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=(　　)

A.0 B.2

C.-2 D.1

2.【微点2】设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a的值为 (　　)

A. B.

C.或 D.

3.【微点3】已知函数f(x)=则不等式f(x)≤5的解集为 (　　)

A.[-1,1] 

B.[-2,4]

C.(-∞,-2]∪(0,4) 

D.(-∞,-2]∪[0,4]

4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f(x)=则不等式f(x)≤x的解集为 (　　)

A.[-1,3] 

B.(-∞,-1]∪[3,+∞)

C.[-3,1] 

D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

5.【微点2】设函数f(x)=若f=4,则b=　　　　. 

第4讲　函数的概念及其表示

考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.

2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.非空数集　非空集合　任意　唯一确定　任意　唯一确定　f:A→B　f:A→B

2.定义域　值域　定义域　值域

3.解析法　图像法　列表法

4.对应关系

对点演练

1.④　[解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.

2.4　5　[解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.

3.(-∞,-3)∪(-3,8]　[解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].

4.7　[解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.

5.{x|x≥2}　[解析] 要使函数有意义,需解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.

6.(-∞,-2]∪[0,10]　[解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.

当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.

当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.

综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].

7.x2-1(x≥0)　[解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).

8.9　[解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.

(1)C　(2)A　[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).

(2)由题意,自变量x应满足解得故函数的定义域为(-3,0].

例2　[思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.

(1)D　(2)C　[解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.

(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.

变式题　(1)A　(2)[-1,2]　[解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.

(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],

所以-≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,

所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].

例3　[思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.

(1)A　(2)-x2+2x+15　(3)-x　[解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.

(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,

∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.

(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,

用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,

解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.

变式题　(1)A　(2)A　(3)2x+或-2x-1　[解析] (1)设t=2x-1,则x=,

故f(t)=4×+3=2t+5,

令2t+5=6,则t=,故选A.

(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.

(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.

例4　[思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.

(1)D　(2)　[解析] (1)由题意可得f(-1)==2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.

(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)==÷2=.

例5　[思路点拨] (1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.

(1)D　(2)0或1　[解析] (1)根据题意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,

即a=3,故选D.

(2)∵f(x)=∴f(0)=20=1.

当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;

当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.

例6　[思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.

(1)D　(2)D　[解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=-1>1,即>2,解得x0<-1;

当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.

∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).

(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.

应用演练

1.A　[解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=++1=0.

2.B　[解析] 因为f(a)=4,所以或

所以或所以a=,故选B.

3.B　[解析] 由于f(x)=

所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;

当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.

所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].

4.A　[解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;

当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.

故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].

5.　[解析] 由f=4,可得f=4.

若-b≥1,即b≤,可得=4,解得b=.

若-b<1,即b>,可得3×-b=4,解得b=<(舍去).故答案为.

【备选理由】 例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.

例1　[配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为(　　)

A.(1,2] B.(2,4]

C.[1,2) D.[2,4)

[解析] B　要使函数f(x)有意义,则需⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.

例2　[配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模] 已知函数f(x)=则f(-2018)=(　　)

A.-2 B.2

C.4+ D.-4-

[解析] A　当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),

可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,

则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2,

∴f(-2018)=-f(1)=-2.

例3　[配合例5使用] 已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为　　　　. 

[答案] 1

[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.

例4　[补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是　　　　. 

[答案] a≥-

[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为,

∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,

即满足2+a≥,解得a≥-.

故答案为a≥-.