通用版高考数学(文数)一轮复习第03单元《基本初等函数及应用》学案(含详解)

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第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过

指数与对数的基本运算
[过双基]
一、根式与幂的运算
1．根式的性质
(1)()n＝.
(2)当n为奇数时，＝.
(3)当n为偶数时，＝|a|＝
(4)负数的偶次方根无意义．
(5)零的任何次方根都等于零．
2．有理数指数幂
(1)分数指数幂：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n >1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质．
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、对数及对数运算
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝loga N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．对数的性质
(1)loga1＝，logaa＝.
(2)alogaN＝，logaaN＝.
(3)负数和没有对数．
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M >0，N >0，那么
(1)loga(M N)＝logaM＋loga N.
(2)loga＝logaM－loga N.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(4)换底公式logab＝(a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1)．

1．化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A．a　　　　　　　　　　 B．ab
C．a2b D.
解析：选D　原式＝＝a·b＝.
2．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由x＝log43，得4x＝3，即4－x＝，(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.
3.＋log2＝(　　)
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：选B　＋log2＝－log23＝2－log23－log23＝2－2log23.
4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选C　由题意可得f(a)＝2a＋2－a＝3，则f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7.
[清易错]
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．
2．在对数运算时，易忽视真数大于零．
1．化简的结果是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　依题意知x<0，故＝－＝－.
2．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则 的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0，x－2y>0，
故x＝y不符合题意，舍去．
所以x＝4y，即＝4.
答案：4

二次函数
[过双基]
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称


1．若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析：选C　∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得t＝－2.
2．(唐山模拟)如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围为(　　)
A．[8，＋∞) B．(－∞，8]
C．[4，＋∞) D．[－4，＋∞)
解析：选A　函数f(x)图象的对称轴方程为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.
3．(宜昌二模)函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是(　　)
A．[－20,4] B．(－20,4)
C. D.
解析：选C　由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，当－2≤x<时，函数f(x)单调递增，当≤x≤2时，函数f(x)单调递减，∴f(x)max＝f＝－2×＋6×＝，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为.

[清易错]
易忽视二次函数表达式f(x)＝ax2＋bx＋c中的系数a≠0.
若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．






解析：由已知得⇒

答案：a>0，ac＝4






幂函数
[过双基]

1．幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2．常见的5种幂函数的图象

3．常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减，[0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
　　
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)

解析：选C　令f(x)＝xα，则4α＝2，
∴α＝，∴f(x)＝x.故C正确．
2．(贵阳监测)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选C　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将代入解析式得3－α＝，解得α＝－，∴f(x)＝x－，f＝，故选C.
3．若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．－1或2
解析：选B　∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
[清易错]
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)
A．－1 C．1 D．2
解析：选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1
指数函数
[过双基]
指数函数的图象与性质
y＝ax(a>0，且a≠1)
a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
当x＝0时，y＝1，即过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
　　
1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　)
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
解析：选D　由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．
2．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：选A　要使f(x)有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x≤0.
3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

解析：选C　当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.
4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A　构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b0时，有x>x，故>，即a>c，故a>c>b.
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(　　)
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
解析：选C　由指数运算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令f(x)＝ax，则f(x＋y)＝f(x)f(y)，故该函数为指数函数．
[清易错]
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0 若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
解析：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，
f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a.
∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.
∴a＝0(舍去)或a＝>1.∴a＝.
当0 f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a2.
∴a－a2＝.即a(2a－1)＝0，
∴a＝0(舍去)或a＝.∴a＝.
综上可知，a＝或a＝.
答案：或

对数函数
[过双基]
对数函数的图象与性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
a>1
0 图象


定义域
(0，＋∞)
值域

性质
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当01时，y∈(0，＋∞)
当0 当x>1时，y∈(－∞，0)
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
　　
1．若函数f(x)＝loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是(　　)
A. B.
C．(1,0) D．(0,1)
答案：C
2．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　由题意知，y＝ax的定义域为R，y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故排除A、C；当01时，y＝ax在R上单调递增，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，结合B、D图象知，B正确．
3．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)　(－1，＋∞)
4．函数f(x)＝loga(x2－2x－3)(a>0，a≠1)的定义域为________．
解析：由题意可得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3或x<－1}．
答案：{x|x>3或x<－1}
[清易错]
解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域．
(2)对数底数的取值范围．
1．(南昌调研)函数y＝ 的定义域是(　　)
A．[1,2]　　　　　　　　 B．[1,2)
C. D.
解析：选D　要使函数有意义，则
解得 2．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，
所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.
当0 所以loga2－loga4＝1，即loga ＝1，所以a＝.
故a＝2或a＝.
答案：2或

一、选择题
1．函数f(x)＝满足f(x)＝1的x的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C．1或－2 D．1或－1
解析：选D　由题意，方程f(x)＝1等价于或解得x＝－1或1.


2．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)

解析：选B　令x＝1，x－1＝0，显然f(x)＝ln|x－1|无意义，故排除A；由|x－1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D；由复合函数的单调性可知f(x)在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C，选B.
3．(郑州模拟)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D　结合二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象知：
当a<0，且abc>0时，若－<0，则b<0，c>0，故排除A，
若－>0，则b>0，c<0，故排除B.
当a>0，且abc>0时，若－<0，则b>0，c>0，故排除C，
若－>0，则b<0，c<0，故选项D符合．
4．设a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d C．b 解析：选B　由对数函数的性质可知c＝log25>2，d＝log20.3<0，
由指数函数的性质可知0 所以d 5．(长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B　令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．
∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，
∴y>1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.
6．(大连二模)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D　由题意可得f(x)＝x2(2x－x2)＝当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x>2或x<0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4，故选D.
7．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为(　　)
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
解析：选D　由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg＝lg，令>0，则－1 8．(湖北重点高中协作校联考)设函数f(x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若对任意x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的最大值为(　　)
A. B．2
C. D．4
解析：选A　设g(x)＝ln (ax2－3x＋1)的值域为A，因为函数f(x)＝1－在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，因此h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，于是，实数a需要满足a≤0或解得a≤.故选A.
二、填空题
9．(连云港调研)当x>0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，a－8>1，解得a>9.
答案：(9，＋∞)
10．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
解析：设f(x)＝xα，
又f(4)＝3f(2)，
∴4α＝3×2α，
解得α＝log23，
∴f＝log23＝.
答案：
11．若函数f(x)＝则使得f(x)≥2成立的x的取值范围是________．
解析：由题意，f(x)≥2等价于或
解得x≤1－ln 2或x≥1＋e2，
则使得f(x)≥2成立的x的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞)．
答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞)
12．若对任意x∈，恒有4x0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝4x，则f(x)在上是增函数，g(x)＝logax，当a>1时，g(x)＝logax在上是增函数，且g(x)＝logax<0，不符合题意；当0 答案：
三、解答题
13．函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(2)－f(4)＝1.
(1)若f(3m－2)>f(2m＋5)，求实数m的取值范围；
(2)求使f＝log3成立的x的值．
解：(1)由f(2)－f(4)＝1，得a＝.
∵函数f(x)＝logx为减函数且f(3m－2)>f(2m＋5)，
∴0<3m－2<2m＋5，解得 故m的取值范围为.
(2)f＝log3，即x－＝3，x2－3x－4＝0，
解得x＝4或x＝－1.
14．已知函数f(x)＝a－为奇函数．
(1)求a的值；
(2)试判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意的t∈R，不等式f[t2－(m－2)t]＋f(t2－m＋1)>0恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴a－＝－a＋，
∴2a＝＋＝2，
∴a＝1.
(2)f(x)在R上为单调递增函数．
证明如下：设任意x1，x2∈R，且x1 则f(x1)－f(x2)＝1－－1＋
＝.
∵x10，
∴f(x1) ∴f(x)为R上的单调递增函数．
(3)∵f(x)＝1－为奇函数，且在R上为增函数，
∴由f[t2－(m－2)t]＋f(t2－m＋1)>0恒成立，
∴f[t2－(m－2)t]>－f(t2－m＋1)＝f(m－t2－1)，
∴t2－(m－2)t>m－1－t2对t∈R恒成立，
化简得2t2－(m－2)t－m＋1>0，
∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0，
解得－2－2 故m的取值范围为(－2－2，－2＋2)．
高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
幂函数
5年3考
幂函数的性质
二次函数
5年1考
二次函数的图象


幂函数的图象与性质
　　[典例]　(1)(安徽江南七校联考)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3　　　　　　　　 B．1
C．2 D．1或－3
(2)1.1，0.9，1的大小关系为________．
[解析]　(1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.
(2)把1看作1，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．
∵0<0.9<1<1.1，∴0.9<1<1.1.
即0.9<1<1.1.
[答案]　(1)B　(2)0.9<1<1.1
　[方法技巧]
幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　
[即时演练]



1．已知f(x)＝x，若0 A．f(a) B．f C．f(a) D．f 解析：选C　∵0 ∴0 ∴f(a) 2．若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是________________．
解析：不等式(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 答案：(－∞，－1)∪

二次函数的解析式
二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.
[典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
[解]　法一：用“一般式”解题
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：用“顶点式”解题
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：用“零点式”解题
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧]
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：

[即时演练]
1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为(　　)

A．y＝(x＋3)2 B．y＝－(x－3)2
C．y＝－(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
解析：选D　由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C(－3,0)，因为点F与点C关于y轴对称，所以F(3,0)，因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y＝a(x－3)2(a>0)，将点D(1,1)代入得，a＝，即y＝(x－3)2.
2．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
答案：f(x)＝x2

二次函数的图象与性质
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.
常见的命题角度有：
(1)二次函数的图象与性质；
(2)二次函数的最值问题.
角度一：二次函数的图象与性质
1．(武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1 A．f(x1) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定
解析：选A　f(x)的对称轴为x＝－1，因为1 若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1 此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；
若－1≤x1－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1) 2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析：选D　二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
[方法技巧]
解决二次函数图象与性质问题的2个注意点
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．　　
角度二：二次函数的最值问题
3．已知二次函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
解：(1)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在上递减，在上递增．
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即0 ∴f(x)在[0,1]上递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(2)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
4．已知a是实数，记函数f(x)＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[a，a＋1]，a∈R，对称轴为x＝1.

当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；
当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.
综上可知，g(a)＝
[方法技巧]
二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．　　

1．(全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b C．b 解析：选A　因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数，知b 2．(全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B　∵f(x)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.
答案：(－∞，8]

一、选择题
1．(绵阳模拟)幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，则m＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．2
解析：选D　∵幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，∴解得m＝2.故选D.
2．(杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为(　　)
A．[－3,3] B．[－1,3]
C．{－3,3} D．{－1，－3,3}
解析：选C　∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；
当a<1 故a的取值集合为{－3,3}．故选C.
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B　∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a，
又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a 4．若对任意a∈[－1,1]，函数F(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B　由题意，令f(a)＝F(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，对任意a∈[－1,1]恒成立，所以解得x<1或x>3.
5．若函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(－∞，－1] D．[－1,0]
解析：选D　当m＝0时，f(x)＝－2x＋3在R上递减，符合题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x＝≤－1，且m<0，
解得－1≤m<0，
综上，实数m的取值范围为[－1,0]．
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选A　∵f(1)＝3，∴不等式f(x)>f(1)，即f(x)>3.
∴或解得x>3或－3 7．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D　f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
8．(浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
解析：选B　f(x)＝2－＋b，
① 当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，
f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max与a有关，与b无关；
②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；
③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．
综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
二、填空题
9．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m的值为________．
解析：∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1 又m∈Z，∴m＝0或m＝1或m＝2.
当m＝0或m＝2时，f(x)＝x3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m＝1时，f(x)＝x4在其定义域内是偶函数，满足题意．
综上可知，m的值是1.
答案：1
10．二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m＝________.
解析：二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x＝－＝1，解得m＝－2.
答案：－2
11．(南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.
答案：8
12．设函数f(x)＝若存在实数b，使得函数y＝f(x)－bx恰有2个零点，则实数a的取值范围为_______．
解析：显然x＝0是y＝f(x)－bx的一个零点；
当x≠0时，令y＝f(x)－bx＝0得b＝，
令g(x)＝＝则b＝g(x)存在唯一一个解．
当a<0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，

显然当a 当a>0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，

若要使b＝g(x)存在唯一一个解，则a>a2，即0 同理，当a＝0时，显然b＝g(x)有零解或两解，不符合题意．
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
答案：(－∞，0)∪(0,1)
三、解答题
13．(杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．
解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝ ＝2，
解得a＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
∴g(x)的对称轴方程为x＝，
则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．
14．(成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解：f(x)＝2－－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．
(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤.
又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝－－a＋3≥0，
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，
∴－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．

1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点A(m1，f(m1))和点B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，则(　　)
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0
解析：选A　由f(1)＝0可得a＋b＋c＝0，若a≤0，由a>b>c，得a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，故a>0，若c≥0，则有b>0，a>0，此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾；所以c<0成立，因为a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，所以(a＋f(m1))(a＋f(m2))＝0，所以m1，m2是方程f(x)＝－a的两个根，Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，而a>0，c<0，所以3a－c>0，所以b≥0.
2．设函数f(x)＝2ax2＋2bx，若存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，则t的取值范围是________．
解析：因为存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，
所以2ax2＋2bx＝a＋b等价于(2x－1)b＝(1－2x2)a.
当x＝时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x≠；
当x≠时，(2x－1)b＝(1－2x2)a等价于＝，
设2x－1＝k，因为x≠，所以k≠0，则x＝，
则＝＝.
设g(k)＝，
则函数g(k)在(－1,0)，(0,2t－1)上的值域为R.
又因为g(k)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以g(k)在(－1，0)，(0,2t－1)上单调递减，
故当k∈(－1,0)时，g(k) 当k∈(0,2t－1)时，g(k)>g(2t－1)＝，故要使值域为R，则g(2t－1)1.
答案：(1，＋∞)
高考研究课(二)
指数函数的2类考查点——图象、性质
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
指数函数的图象
5年3考
指数函数图象的应用
指数函数的性质
5年3考
比较大小、求值


指数函数的图象及应用
[典例]　(1)函数f(x)＝的大致图象是(　　)

(2)(广州模拟)若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
[解析]　(1)因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以排除A、D项．当x＝0时，y＝0，故排除B项，选C.
(2)在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．

[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]
指数函数图象问题的求解策略
(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．　　
[即时演练]
1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)

解析：选B　由题意得f(x)＝结合图象知，选B.
2．(衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]

指数函数的性质

角度一：比较大小或解不等式
1．(滕州模拟)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
解析：选B　A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，故B正确；
C中，∵0.8－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，
即0.8－0.1<1.250.2，故C错误；
D中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，故D错误．
2．(绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：选B　∵f(x)为偶函数，
当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
若f(x－2)>0，
则有或
解得x>4或x<0.
[方法技巧]
(1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．
(2)有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．　　
角度二：与指数函数有关的函数值域问题
3．已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．
解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.
答案：
[方法技巧]
形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．　　
角度三：与指数函数有关的单调性问题
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B　由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.
5．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________________．
解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．
答案：f(－4)>f(1)
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．　
角度四：与指数函数有关的最值与参数问题
6．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
解析：选C　由ax＝by＝3，可得a＝3，b＝3，
所以2＝a＋b＝3＋3≥2，
则＋≤1，当且仅当x＝y时，等号成立．
故＋的最大值为1.
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋3m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数g(x)＝f(x)＋3m有3个零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝－3m有三个不同的交点，作出函数y＝f(x)＝的图象如图所示，则0<－3m<1，所以－ 答案：

1．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选D　法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1，选D.
法二：由2x(x－a)<1得a>x－.
令f(x)＝x－，即a>f(x)有解，则a>f(x)min.
又y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)＝－1，
所以a>－1，选D.
2．(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－ 当01，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
答案：
3．(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.
答案：{x|－1＜x＜2}
4．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．
当0 由题意得解得所以a＋b＝－.
答案：－

一、选择题
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝x－1的图象关于(　　)
A．y轴对称　　　　　　 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选A　∵g(x)＝21－x＝f(－x)，∴f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．
2．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图象大致为(　　)

解析：选B　因为当x∈R时，|x|≥0，又函数f(x)＝a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，所以0 3．已知a＝21.2，b＝－0.2，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b C．c 解析：选C　∵b＝－0.2＝20.2<21.2＝a，
∴a>b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，∴c 4．(东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
解析：选A　由题知A(1,1)．把点A(1,1)代入四个选项，选项A，y＝的图象不经过点A.
5．(广西质量检测)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
解析：选A　∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.
6．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又af(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，
f(c)＝|2c－1|＝2c－1.
又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2.
7．(东北三校联考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
解析：选D　方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0 ②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．

∴0 8．定义一种运算：a⊗b＝已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是(　　)

解析：选B　由题意可得f(x)＝2x⊗(3－x)＝
所以f(x＋1)＝则大致图象为B.
二、填空题
9．(济宁模拟)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0 答案：
10．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
11．(徐州二模)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．
解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，
y＝x＋x有最小值.
所以只需m≤即可．
所以m的最大值为.
答案：
12．(湖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(填序号)
①函数f(x)的图象关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；
④当0 ⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最小值为0， ⑤是假命题．综上，真命题是①③④.
答案：①③④
三、解答题
13．已知函数f(x)＝是偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)若关于x的不等式2k·f(x)>3k2＋1在(－∞，0)上恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，所以有f(－x)＝f(x)，
即＝，
即＝，故m＝1.
(2)因为f(x)＝>0,3k2＋1>0，且2k·f(x)>3k2＋1在(－∞，0)上恒成立，
故原不等式等价于>在(－∞，0)上恒成立，
又因为x∈(－∞，0)，
所以f(x)∈(2，＋∞)，从而∈，
故≥，解得≤k≤1，
所以实数k的取值范围为.
14．设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，
∴1－(k－1)＝0，∴k＝2.
(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，∴a－<0.
又a>0，且a≠1，∴0 ∴y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，故f(x)在R上单调递减，
故不等式化为f(x2＋tx) ∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，
∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3 ∴符合题意的t的取值范围为(－3,5)．
(3)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)，
g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2(2x－2－x)＋2，
令t＝2x－2－x，∵t＝2x－2－x在[1，＋∞)上单调递增，
∴t∈.
∴设h(t)＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈，
∴h(t)min＝h＝.即g(x)在[1，＋∞)上的最小值为.

1．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是(　　)
①对于∀x∈(－∞，1)，都有f(x)>0；
②存在x>0，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三边长；
③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈(1,2)，使f(x)＝0.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A　①因为a，b，c是△ABC的三条边长，所以a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1,0<<1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cxx＋x－1>cx＝cx·>0，故①正确；
②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，所以②正确；
③已知c>a>0，c>b>0，若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0，因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，根据零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在x∈(1,2)，使f(x)＝0，故③正确．
2．(广东五校联考)已知e为自然对数的底数，若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－1,1]，使得x1＋xex2－a＝0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，e] B．(1，e]
C. D.
解析：选C　令f(x1)＝a－x1，则f(x1)＝a－x1在x1∈[0,1]上单调递减，且f(0)＝a，f(1)＝a－1.令g(x2)＝xex2，则g′(x2)＝2x2ex2＋xex2＝x2ex2(x2＋2)，且g(0)＝0，g(－1)＝，g(1)＝e.若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－1,1]，使得x1＋xex2－a＝0成立，即f(x1)＝g(x2)，则f(x1)＝a－x1的最大值不能大于g(x2)的最大值，即f(0)＝a≤e，因为g(x2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g(x2)∈时，存在两个x2使得f(x1)＝g(x2)．若只有唯一的x2∈[－1,1]，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x1)的最小值要比大，所以f(1)＝a－1>，即a>1＋，故实数a的取值范围是，故选C.
3．(湖南六校联考)已知实数a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f[－f(x)]＝e－a＋有三个不等的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　当x≤0时，令f(x)＝e－a＋，即ex－1＝e－a，得x＝1－a；
当x>0时，令f(x)＝e－a＋得ex－1＋x2－(a＋1)x＋＝e－a＋，显然方程无解，
所以1－a≤0，即a≥1，
因为f[－f(x)]＝e－a＋，
所以－f(x)＝1－a，即f(x)＝a－1，
所以方程f(x)＝a－1有三解，
当x≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→，
当x>0时，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1，
所以f′(x)是增函数，且f′(1)＝0，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

又f(1)＝0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
作出f(x)的大致图象如图所示，
因为方程f(x)＝a－1有三解，
所以 解得2 高考研究课(三) 对数函数的2类考查点——图象、性质
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
对数函数的图象
5年1考
对数函数的应用
对数函数的性质
5年5考
对数函数的单调性、大小比较


对数函数的图象及应用
[典例]　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0
(2)(成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a A．a＋b>0　　　　　　 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
[解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)作出函数f(x)＝|ln (x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln (b＋1)，即ab＋a＋b＝0.所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，
即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，
∴a＋b＋4>0.∴a＋b>0.故选A.
[答案]　(1)A　(2)A
[方法技巧]
应用对数型函数的图象可求解的2类问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　　
[即时演练]
1．函数y＝ln的图象大致为(　　)

解析：选A　易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D.当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A.
2．若log6a＝log7b，则a，b,1的大小关系可能是(　　)
A．a>b>1 B．b>1>a
C．a>1>b D．1>a>b
解析：选D　作出函数y＝log6x与y＝log7x的大致图象如图所示，

因为log6a＝log7b，所以由图象可得1 3．已知f(x)＝若a，b，c，d互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a＋b＋c＋d的取值范围为________．
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，令a2＝2，当f(a)＝f(b)＝1时，可得a＋b＝，所以22时，f(x)＝x2－x＋5的对称轴为x＝4，又f(2)＝×22－×2＋5＝1，且f(c)＝f(d)，所以c＋d＝8，所以a＋b＋c＋d∈.
答案：

对数函数的性质及应用
对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.
常见的命题角度有：
(1)比较大小与求值；
(2)与对数函数有关的单调性；
(3)由对数的单调性求参数或自变量的取值范围；
(4)对数函数性质的综合问题.
角度一：比较大小与求值
1．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A　由指数函数的性质可得a＝30.3>1，
由对数函数的性质可得b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，
所以a>b>c.
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析：由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
[方法技巧]
对数函数值大小比较的3种方法
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
角度二：与对数函数有关的单调性
3．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
解析：选A　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，因为f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
4．函数f(x)＝log (x2－2x)的单调递减区间是________．
解析：由题意得，x2－2x>0，则x<0或x>2，
即函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令t＝x2－2x，则原函数可化为y＝logt，
因为y＝logt是减函数，t＝x2－2x在(2，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递减区间是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[方法技巧]
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

角度三：由对数的单调性求参数或自变量的取值范围
5．函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
解析：选D　由于a>0，且a≠1，
∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
因此a>1.
又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，
∴a－3>0，解得a>3，∴a的取值范围为(3，＋∞)．
6．已知不等式logx(2x2＋1) 解析：原不等式⇔①或②，解不等式组①得 答案：
[方法技巧]
解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．　　
角度四：对数函数性质的综合问题
7．已知函数f(x)＝log2是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选A　由f(－x)＝－f(x)，得log2＝－log2，所以＋t＝，整理得1－x2＝(2＋t)2－t2x2，可得t2＝1且(t＋2)2＝1，所以t＝－1，
则f(x)＝log2<0，即解得－1 8．(盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga(0 解析：由>0，解得－b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f(x)＝loga(0 答案：
[方法技巧]
解决对数函数综合问题的3个注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　

1．(全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5 z <2x<3y
C．3y<5 z <2x D．3y<2x<5 z
解析：选D　设2x＝3y＝5z＝k>1，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5 z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝＝<0，
∴3y<5 z；
∵2x－5 z＝2log2k－5log5k＝－
＝＝＝<0，
∴5 z >2x.∴5 z >2x>3y.
2．(全国卷Ⅰ)若a>b>1,0 A．ac C．alogbc 解析：选C　对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc 3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A　∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔ 4．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：选D　a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.

一、选择题
1．已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

解析：选B　因为lg a＋lg b＝0，
所以lg ab＝0，所以ab＝1，
即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，
则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.
2．(西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3)　　　　　　　　 B．[0,3)
C．(0,3] D．[0,3]
解析：选B　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解得0 3．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(2)，则a，b，c满足(　　)
A．a C．c 解析：选B　由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又2>2>log23>log45>0，所以b 4.(张家界模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0 C．0 解析：选A　令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a>1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1 5．(济宁质检)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)
A．f(a＋1)>f(2)　　　　 B．f(a＋1) C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A　因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0f(2)．
6．已知a>b>0，a＋b＝1，x＝－b，y＝logab，z＝logb，则x，y，z的大小关系为(　　)
A．x< z C．z 解析：选B　因为a>b>0，a＋b＝1，所以1>a>b>0，
所以>1,04，
所以x＝－b<－1，y＝logab＝－1，z＝logb∈(－1,0)，
所以x 7．(深圳二模)已知函数f(x)＝|lg x|.若0 A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选C　f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有00，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(b)＝2b＋>3，故选C.
8．设a，b，c∈R且c≠0，
x
1.5
3
5
6
7
8
9
14
27
lg x
2a＋b
a＋b
a－c＋1
b＋c
a＋2b＋c
3(c－a)
2(a＋b)
b－a
3(a＋b)

若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a的值为(　　)
A．lg B.lg
C.lg D．lg
解析：选B　由题意可得lg 3＝a＋b，lg 9＝2(a＋b)，lg 27＝3(a＋b)正确，
lg 5＝a－c＋1⇒lg 2＝c－a，
lg 6＝b＋c⇒lg 2＝c－a，
lg 8＝3(c－a)⇒lg 2＝c－a，故这三个都正确；
此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中lg 1.5错误；
lg 7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误；
故表中lg 14＝b－a是正确的．
综上，lg 2＝c－a，lg 3＝a＋b，lg 14＝b－a，
所以a＝(lg 3－lg 14)＝lg.
二、填空题
9．若log2x＝－log2(2y)，则x＋2y的最小值是________．
解析：由log2x＝－log2(2y)，可得2xy＝1，且x，y均为正数，则x＋2y≥2＝2，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立，故x＋2y的最小值是2.
答案：2
10．(湛江一模)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)是奇函数，则函数f(x)的定义域为________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，
即loga ＋loga ＝0，
化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个x都成立，
所以m＝1，此时f(x)＝loga .
由>0，解得－1 答案：(－1,1)
11．(武汉模拟)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1 解析：当x1 答案：(1,2)
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝lg ，若对任意实数t∈，都有f(t＋a)－f(t－1)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：设u＝＝1－，其在(0，＋∞)上是增函数，则f(u)＝lg u在(0，＋∞)上是增函数，所以复合函数f(x)＝lg 在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(t＋a)－f(t－1)≥0等价于f(t＋a)≥f(t－1)，即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数t∈恒成立，两边平方化简可得2(a＋1)t＋a2－1≥0恒成立，令g(t)＝2(a＋1)t＋a2－1，则解得a≤－3或a≥0.
答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)
三、解答题
13．(枣庄模拟)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求实数a的值．
解：f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．
若2－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝∉[2,8]，舍去；
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2,8]，符合题意．∴a＝.
14．已知f(log2x)＝ax2－2x＋1－a，a∈R.
(1)求f(x)；
(2)解关于x的方程f(x)＝(a－1)·4x；
(3)设h(x)＝2－xf(x)，a≥时，对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤成立，求实数a的取值范围．
解：(1)令log2x＝t，即x＝2t，
则f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a，
即f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a.
(2)由f(x)＝(a－1)·4x，化简得22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a，
当a<0时，方程无解，
当a≥0时，解得2x＝1±，
若0≤a<1，则x＝log2(1±)，
若a≥1，则x＝log2(1＋)．
(3)对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤成立，等价于当x∈[－1,1]时，hmax－hmin≤，
由已知得，h(x)＝a·2x＋－2，
令2x＝t，则y＝at＋－2，t∈，
令g(t)＝at＋－2，t∈，
①当a≥1时，g(t)＝at＋－2，t∈单调递增，
此时g(t)max＝g(2)＝，g(t)min＝g＝－，
g(t)max－g(t)min＝≤，解得a≤(舍去)．
②当≤a<1时，g(t)＝at＋－2，t∈单调递增，
此时g(t)max＝g(2)＝，g(t)min＝g＝－，
g(t)max－g(t)min＝≤，解得a≤，∴a＝.
③当≤a<时，g(t)＝at＋－2，t∈，
在上单调递减，在上单调递增，
且g(2)≥g，∴g(t)max＝g(2)＝，
g(t)min＝g＝2－2，
∴g(t)max－g(t)min＝－(2－2)≤即a≤，∴≤a<.
综上，实数a的取值范围为.

1．已知函数f(x)＝若存在三个不同的实数a，b，c，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．
解析：当x∈[0，π)时，f(x)＝cos＝sin x，∴f(x)在(0，π)上关于x＝对称，且f(x)max＝1；又当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2 017是增函数，作出y＝f(x)的函数图象如图所示．

令log2 017＝1得x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，
∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)，
∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)．
答案：(2π，2 018π)
2．(江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．
解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，
在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．
若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，
因此10＝，则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，
故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，
只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．
画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，
且x＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8.

答案：8
高考研究课(四) 函数图象的3个常考方式——作图、识图、用图
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
作图
未考查

识图
5年5考
图的识别与判断
用图
5年4考
函数图象的应用


作 图
[典例]　分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)y＝图象如图(1)所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图(2)所示．
(3)y＝图象如图(3)所示．
　
[方法技巧]
作函数图象的2种常用方法
(1)直接法：
当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：
若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．　　
[即时演练]
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
解：
(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示．
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．

识 图
[典例]　(1)函数y＝sin x－的图象大致为(　　)

(2)(安庆模拟)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为(　　)

[解析]　(1)易得函数y＝sin x－是奇函数，即图象关于原点对称，故排除D；
令x＝，则y＝1－>0，故排除C；
y′＝cos x＋，显然，当x∈时，y′>0，即函数y＝sin x－在上是增函数，因此，排除A，故选B.
(2)法一：如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.
法二：由题意可知，当t＝1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A，D；当t＝时，如图所示，易知∠BOC＝，所以cos＝－<0，排除C，故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
识别函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
利用上述方法排除、筛选选项．　　
[即时演练]
1．函数y＝x5－xex的图象大致为(　　)

解析：选B　令x＝2，可得y＝32－2e2>0，故选B.
2．函数y＝的图象大致为(　　)

解析：选A　由y＝＝－1，可知x≠1，y≠－1，故选A.
3．现有四个函数：①y＝x·sin x，②y＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是________．

解析：由函数的奇偶性可知，①y＝x·sin x是偶函数，对应第一个图；④y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，是第二个图；③y＝x·|cos x|是奇函数，当x>0时，y＝x·|cos x|≥0，故图象是第四个图，因此②y＝x·cos x的图象是第三个图，故正确的排列为①④②③.
答案：①④②③

图象的应用
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.
常见的命题角度有：
(1)确定方程根的个数；
(2)求参数的取值范围；
(3)求不等式的解集；
(4)研究函数的性质；
(5)利用函数对称性求值.
角度一：确定方程根的个数
1．已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解的个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为5.
答案：5
角度二：求参数的取值范围
2．已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意，y＝f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，若函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则0 答案：(0,1)∪(1,2)
角度三：求不等式的解集
3．(成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
角度四：研究函数的性质
4．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则有下列命题：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
解析：由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的部分图象如图所示．

结合图象知②正确，③不正确．
当3 f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此④正确．
答案：①②④
角度五：利用函数对称性求值
5．已知函数f(x)＝cos x＋2x－(x<0)与g(x)＝cos x＋log2(x＋a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－) B.
C. D．(－∞，)
解析：选D　由题意可知，函数f(x)＝cos x＋2x－(x<0)关于y对称的函数y＝cos x＋2－x－(x>0)的图象与g(x)＝cos x＋log2(x＋a)的图象有交点，则方程2－x－＝log2(x＋a)(x>0)有解，令y＝2－x－，y＝log2(x＋a)，则这两个函数的图象有交点，分别作出两个函数的图象如图所示，由图象可知当a≤0时，两函数在(0，＋∞)上必有一个交点，当a>0时，要满足题意，则log2a<，解得0 [方法技巧]
(1)研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决；
(3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．　　

1．(全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)

解析：选D　∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C　设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，
则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，
所以有－x＝2－y＋a，
从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，
所以y＝a－log2(－x)，
即f(x)＝a－log2(－x)，
所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.
3.(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f 4．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)

解析：选B　由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选B.

一、选择题
1．函数f(x)＝x2－sin|x|在[－2,2]上的图象大致为(　　)

解析：选B　函数f(x)＝x2－sin|x|在[－2,2]上显然是偶函数，
令x＝2，可得f(2)＝4－sin 2>3，故排除C、D；
当x>0时，f′(x)＝2x－cos x，显然存在t∈，使f′(t)＝0，则函数f(x)上(0，t)是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除A，故选B.
2.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，若f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0，则实数x的取值范围是(　　)
A．[－2,0]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
解析：选A　由题意，f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0等价于或
即或
解得－2≤x≤0.
3．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　 B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．(齐鲁名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为(　　)

解析：选D　易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又当x>0时，g(x)＝log2x，当x>1时，g(x)>0，当02时，f(x)<0，当00，所以排除C，故选D.
6．已知函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－2,0] D．[2,4]
解析：选D　因为函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，所以函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与y＝－x＋2的图象存在交点，所以a－x2＝－x＋2(1≤x≤2)有解，令h(x)＝a－x2＋x－2(1≤x≤2)，则解得2≤a≤4，故选D.
7．(山东高考)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0， ]∪[2，＋∞) D．(0， ]∪[3，＋∞)
解析：选B　法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：
(1)当0
(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
法二：若m＝，则y＝(x－1)2，x∈[0,1]的值域为[0,1]，y＝＋，x∈[0,1]的值域为[，1＋)，所以两个函数图象无交点，故排除C、D；若m＝3，则点(1,4)是两个函数的公共点，故选B.
8．已知函数f(x)＝的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意，问题转化为函数y＝－3|x＋a|＋a(x<0)与y＝2－x2(x<0)的图象恰有三个公共点，显然a≤0时，不满足条件，当a>0时，画出草图如图，方程2－x2＝3x＋4a，即x2＋3x＋4a－2＝0有两个小于－a的实数根．结合图形，有
∴1 二、填空题
9．(绵阳二诊)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则a＋b＝____________.

解析：由图象知f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m>0)，其中1 答案：10
10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
解析：函数f(x)＝＝a＋(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a＝1.
答案：1
11．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)与函数g(x)的图象，如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
12．若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若方程f(x)＝kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意，作出函数f(x)的图象，如图所示，因为方程f(x)＝kx恰有3个不同的根，所以y＝f(x)与y＝kx的图象有3个不同的交点，因此－
答案：∪
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图象如图所示．

由图象知，函数f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|04}．
14．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)20，且a≠1)恒成立，求实数a的取值范围．
解：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
要使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2 当0
当a>1时，如图所示，使x∈(1,2)时，
不等式(x－1)2 即(2－1)2≤loga2，解得1 综上可知，实数a的取值范围为(1,2]．

1．设函数f(x)＝若f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈(0,1)和命题q：a＋b＋c＋d∈[e＋e－1－2，e2＋e－2－2)真假的判断，正确的是(　　)
A．p假q真 B．p假q假
C．p真q真 D．p真q假
解析：选A　不妨设a 由f(c)＝f(d)，即－ln c＝ln d，则cd＝1，所以abcd＝－1，且e＋e－1－2 2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋1，设点(a，b)是区域内的随机点，则函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为点(a，b)是区域内的随机点，
所以
作出可行域如图中三角形ABC所示，面积为8.
因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
所以≤1，且a>0，即a≥b，且a>0，表示的平面区域为图中阴影部分所示，面积S＝×3×3－×2×1＝，
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率
P＝＝.
高考研究课(五) 函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
函数零点的个数
未考查

函数零点定区间
未考查

已知函数零点
求参数值或范围
5年2考
已知零点求参数值或范围


判断函数零点的个数
[典例]　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．2
C．7 D．0
(2)(郑州质量预测)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)用“直接法”解题
由f(x)＝0得
或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
(2)用图象法解题
作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.

[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
函数零点个数的3种判断方法
直接求零点
令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
零点存在性定理
利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
利用图象交点的个数
画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
[即时演练]
1．函数f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　令f(x)＝0，得πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k(k∈Z)，所以k＝0,1，－1.若k＝0，则x＝或x＝；若k＝1，则x＝0或x＝2π；若k＝－1，则x＝π，故零点个数为5.
2．若偶函数f(x)的图象关于x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数为(　　)
A．14 B．16
C．18 D．20
解析：选C　函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数，即为函数y＝f(x)的图象与y＝lg|x|的图象的交点个数，由偶函数f(x)的图象关于x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，作出函数y＝f(x)的图象与y＝lg|x|的图象如图所示，由图象可知，交点个数为18.

3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．
解析：∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．
答案：1

确定零点所在区间
[典例]　(温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]　法一：用“零点存在性定理”解题
∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，
f(2)＝ln 2>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．

法二：用“数形结合法”解题
函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
[答案]　B
[方法技巧]
确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法
零点存在性定理
首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
[即时演练]
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－1,3)和(4，＋∞)
解析：选A　由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a＞0.又∵f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是(－3，－1)和(2,4)．
2．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(－1,1)内有零点的函数是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝log2(x＋2)
解析：选B　由函数在定义域内是增函数，排除A、C；y＝log2(x＋2)，当x＝－1时，y＝0，所以函数在区间(－1,1)内没有零点，排除D，故选B.

已知函数零点求参数值或范围　
已知函数零点求参数值或范围是常考内容，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用.
常见的命题角度有：
(1)已知零点求参数值；
(2)已知零点个数求参数范围；
(3)二次函数的零点应用问题.
角度一：已知零点求参数值
1．(吉林模拟)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)( n∈N)内，则n＝________.
解析：求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案：2
角度二：已知零点个数求参数范围
2．已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选B　由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a<0,0 3．已知函数f(x)＝函数g(x)＝2－f(x)，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，因为g(x)＝2－f(x)，所以f(x)－g(x)＝2(f(x)－1)＝0，所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝1有4个不同的交点，所以观察图象可得解得2 答案：(2,3]
4．(山东高考)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.
答案：(3，＋∞)
[方法技巧]
由函数零点情况求参数的常用方法
(1)直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　　
角度三：二次函数的零点应用问题
5．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1 ∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，∴－2 故实数a的取值范围为(－2,1)．

法二：函数f(x)的大致图象如图所示，
则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，
得a2＋a－2<0，∴－2 故实数a的取值范围是(－2,1)．
[方法技巧]
解决与二次函数有关的零点问题的3种方法
(1)利用一元二次方程的求根公式；
(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组．　　

1．(全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－ B.
C. D．1
解析：选C　法一：由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2
－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.
法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
综上所述，a＝.
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B　当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由题意得a<0且f>0，解得a<－2，选B.
3．(2014·山东高考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选B　在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故
一、选择题
1．函数f(x)＝x－的零点所在的区间是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由f(x)＝x－＝0，则x＝，得x＝x，令g(x)＝x－x，则g(x)在R上单调递增，可得g＝－<0，g＝－>0，因此f(x)零点所在的区间是.
2．(吉林白山模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为(　　)
A．0 B．－1，－2
C．－1,0 D．－2，－1,0
解析：选B　当x>1时，g(x)＝f(x)－x＝0，则2x－x＝0.∵x>1，∴此时方程无解；当x≤1时，g(x)＝f(x)－x＝x2＋3x＋2＝0，则x1＝－1或x2＝－2.综上，函数g(x)的零点为－1，－2.
3．已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0 A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
解析：选A　因为函数f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.
4．(玉溪统考)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1) B．[0,2]
C．[－2,2) D．[－1,2)
解析：选D　由题意知g(x)＝因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2；由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)，所以选D.
5．若y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当0 A．0 B．10
C．12 D．24
解析：选D　由f(x＋2)是偶函数，得f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)的图象关于x＝2对称．
又因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于x＝0对称，
所以x＝2n(n是整数)是函数f(x)的对称轴．
当0 所以在区间(1,10)内，方程f(x)＝－2 017有4个根，关于x＝4对称的两个根之和为8，关于x＝8对称的两个根之和为16，所以方程f(x)＝－2 017在区间(1,10)内的所有实数根之和为24.
6．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)
A．g(a)<0 C．0 解析：选A　依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即00，且函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0，g(a) 7．(安徽六安模拟)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．
当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足
①f(－2)·f(2)<0或②或③
解①得－ 解②得m∈∅，解③得m＝.
综上可知－ 8．定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝(　　)
A．1 B．3lg 2
C．2lg 2 D．0
解析：选B　由函数f(x)的解析式可知，函数f(x)的图象关于x＝2对称，因为关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，所以方程一定有一个根为f(x)＝1，而另一个根f(x)≠1.根据f(x)的解析式可知，f(x)＝1有3个解，一个是2，另外两个关于x＝2对称，其和为4；而另一个根f(x)≠1，它有两个解关于x＝2对称，则这两个根的和为4，所以这5个根的和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，所以f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝f(10)＝lg|10－2|＝3lg 2.
二、填空题
9．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.因为函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得 答案：
11．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的取值范围为________．


解析：由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得
解得
即－ 故m的取值范围是.
答案：
12．已知函数f(x)＝|x－a|－＋a－2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为________．
解析：f(x)＝当x≥a时，由x－－2＝0，得x1＝－1，x2＝3，
结合图形知，
①当a<－1时，x3，－1,3成等差数列，则x3＝－5，代入－x－＋2a－2＝0得，a＝－；
②当－1≤a≤3时，方程－x－＋2a－2＝0，
即x2＋2(1－a)x＋3＝0，
设方程的两根为x3，x4，且x3 则x3x4＝3，且x3＋3＝2x4，解得x4＝，
又x3＋x4＝2(a－1)，所以a＝.
③当a>3时，显然不符合．
所以a的取值集合为.
答案：
三、解答题
13．(信阳模拟)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
解：(1)证明：∵函数f(x)＝log2(2x＋1)，
任取x1 ∵x1 ∴f(x1) ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)∵g(x)＝m＋f(x)，
∴m＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，
∴log2≤log2≤log2，
故m的取值范围为.
14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2,4)内，求m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝2，得c＝2，
又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，
得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对称轴为x＝1∈[－1，2]，
故f(x)min＝f(1)＝1，又f(－1)＝5，f(2)＝2，
所以f(x)max＝f(－1)＝5.
(3)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，
若g(x)的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，
则满足⇒解得1 所以m的取值范围为.

1．已知函数f(x)满足f(x)＝f，当x∈[1,3]，f(x)＝ln x，若在区间内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　令x∈，则∈[1,3]，所以f(x)＝f＝ln ＝－ln x，因为在区间内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，所以在区间内，曲线y＝f(x)与y＝ax有三个不同的交点，

作出两个函数的图象如图所示，当直线y＝ax过点(3，ln 3)时，a＝，两条曲线有三个交点；当直线y＝ax与曲线y＝f(x)相切于点P时，设P(s，t)，则f′(s)＝，则切线方程为y－ln s＝(x－s)，又因为切线过原点，所以0－ln s＝(0－s)，则s＝e，则a＝，所以实数a的取值范围为.
2．已知函数g(x)＝若方程g(x)－mx－m＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　)
A.∪[0,2] B.∪[0,2]
C.∪[0,2) D.∪[0,2)


解析：选C　由g(x)－mx－m＝0可得g(x)＝mx＋m，原方程有两个相异的实根等价于两个函数y＝g(x)与y＝mx＋m的图象有两个不同的交点，易知y＝mx＋m过定点(－1,0)，作出两函数大致图象如图所示．
当m>0时，因为临界位置为y＝m(x＋1)过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率k1＝2和k2＝0，此时m∈[0,2)；
当m<0时，过点(－1,0)向函数g(x)＝－3，－1