通用版高考数学(文数)一轮复习第04单元《导数及其应用》学案(含详解)

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第四单元 导数及其应用
教材复习课“导数”相关基础知识一课过

导数的基本运算
[过双基]
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．

1．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋　 　 B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B　′＝1－；(log2x)′＝；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故选B.
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C　∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为f′(x)＝3ax2＋6x，
所以f′(－1)＝3a－6＝4，
所以a＝.
4．(天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
答案：3
[清易错]
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.
2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
1．已知函数f(x)＝sin x－cos x，若f′(x)＝f(x)，则tan x的值为(　　)
A．1 B．－3
C．－1 D．2
解析：选B　∵f′(x)＝(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
又f′(x)＝f(x)，
∴cos x＋sin x＝sin x－cos x，
∴tan x＝－3.
2．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选A　f′(x)＝2xln 2＋，由f′(a)＝2aln 2＋＝0，得2aln 2＝－，则a·2a·ln 2＝－1，即2aln 2a＝－1.

导数的几何意义
[过双基]
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
　　
1.(郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：选B　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
2．设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．
解析：因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
3．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．
解析：因为y′＝4x，设切点为(m，n)，则4m＝2，所以m＝，则n＝2×2＝，则切点的坐标为.
答案：
4．函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，所以f′(1)＝3，且f(1)＝3×1－2＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1＋3＝4.
答案：4
[清易错]
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A　因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.
2.(兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．
解析：因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a，
所以解得
答案：3

利用导数研究函数的单调性
[过双基]
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．
(2)若f′(x)0或f′(x)0，则b0.
2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

解析：选B　由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
角度二：比较大小
3．已知函数F(x)＝xf(x)，f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，F′(x)b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选C　因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，则函数F(x)＝xf(x)是奇函数．
因为当x∈(－∞，0]时，F′(x)1,00，则不等式f(x)