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通用版高考数学(文数)一轮复习第09单元《不等式》学案(含详解)
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这是一份通用版高考数学(文数)一轮复习第09单元《不等式》学案(含详解)，共48页。
第九单元 不等式
教材复习课“不等式”相关基础知识一课过
不等式、一元二次不等式
[过双基]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；
a>b，c>d⇒a＋cb＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒acbc；
a>b>0，c>d>0⇒acbd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．
3．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x>x2或x
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
1．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
解析：选C 由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋，故选C.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A 由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N.
3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则f(10x)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2}
C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}
解析：选C 一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则不等式f(10x)＞0可化为10x＜－1或10x＞，解得x＞lg ，即x＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x|x＞－lg 2}．
4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________．
解析：不等式－6x2＋2＜x可化为6x2＋x－2＞0，
即(3x＋2)(2x－1)＞0，
解不等式得x<－或x>，
所以该不等式的解集是∪.
答案：∪
[清易错]
1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
3．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别a的符号．
1．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C. D.∪(1，＋∞)
解析：选C ①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不符合题意．
②当m≠－1时，则解得m<－，符合题意．
故实数m的取值范围为.
2．对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则＞；
⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.
其中真命题的序号是________．
解析：当c＝0时，若a＞b，则ac＝bc，故①为假命题；
若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；
若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；
若c＞a＞b＞0，则＜，则＜，则＞，故④为真命题；
若a＞b，＞，即>0，故ab＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题．
故②③④⑤为真命题．
答案：②③④⑤
3．若不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集是________．
解析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，
∴a＞0，且对应方程ax2－bx＋c＝0的实数根是－2和3，
由根与系数的关系，得
即＝－6，＝1，
∴b＞0，且＝1，＝－6，
∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，
解得－3＜x＜2，
∴该不等式的解集为(－3,2)．
答案：(－3,2)
简单的线性规划问题
[过双基]
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.
2．(全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.
3．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1.
4．已知z＝2x＋y，实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．
平移直线l：2x＋y＝0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝.
[清易错]
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，∴－a＝1，a＝－1，∴当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0.
基本不等式
[过双基]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C 由＋＝，知a＞0，b＞0，
所以＝＋≥2 ，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，
所以ab的最小值为2.
2．已知直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则＋的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．1
解析：选C 由直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.
则＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴＋的最小值为4.
3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围为________．
解析：根据题意知，2x＞0,2y＞0，
所以1＝2x＋2y≥2＝2，
即2x＋y≤＝2－2，x＋y≤－2，
所以x＋y的取值范围为(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
[清易错]
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cos x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选D 当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错误；因为02，故B错误；因为≥，所以y＝＋>2，故C错误；因为ex>0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即ex＝2时等号成立，故选D.
2．(天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
一、选择题
1．(洛阳统考)已知a<0，－1
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：选D ∵－1
2．下列不等式中正确的是( )
A．若a∈R，则a2＋9>6a
B．若a，b∈R，则≥2
C．若a>0，b>0，则2lg≥lg a＋lg b
D．若x∈R，则x2＋>1
解析：选C ∵a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴A错误；显然B不正确；∵a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lg a＋lg b，∴C正确；∵当x＝0时，x2＋＝1，∴D错误，故选C.
3．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵－<α<π，－<β<π，
∴－π<－β<，∴－<α－β<.
又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.
4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0，(a>0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
5．不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(2－1)×＝.
6．(成都一诊)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D ＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋≥＝1.故＋的最小值为1.
7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
解析：选A 法一：将z＝y－2x化为y＝2x＋z，作出可行域和直线y＝2x(如图所示)，当直线y＝2x＋z向右下方平移时，直线y＝2x＋z在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y＝2x＋z经过点A(5，3)时，z取得最小值3－10＝－7.
法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分别代入z＝y－2x，得z的值为1，－4，－7，故z的最小值为－7.
8．(山东高考改编)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为( )
A．4 B．3＋2
C．8 D．4
解析：选C ∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
∴＋＝1，∵a＞0，b＞0，
∴2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，
∴2a＋b的最小值为8.
二、填空题
9．(沈阳模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析：因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，当且仅当x＝y时等号成立，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
所以x＋y的最大值为2.
答案：2
10．(郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.
解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，招聘的教师最多，此时x＝a＋b＝13.
答案：13
11．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________ m，宽为________ m时菜园面积最大．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
答案：15
12．(邯郸质检)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
解析：直线y＝kx＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0,1)．
答案：(0,1)
三、解答题
13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6
＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2
故解得
14．(济南一模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立．
∴＋的最小值为.
高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等式
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
不等式性质
5年2考
比较大小
一元二次不等式解法
5年8考
与集合交汇命题考查解法
不等式恒成立问题
5年1考
利用不等式恒成立求参数
不等式的性质及应用
[典例] 若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析] 法一：用“特值法”解题
因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，选C.
法二：用“直接法”解题
由<<0，可知b
②中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
③中，因为b－>0，所以a－>b－，故③正确；
④中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
[答案] C
[方法技巧]
不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小
熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题
用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题
解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
[即时演练]
1．(泰安调研)设a，b∈R，若p：a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，则1－a＞1－b＞1，所以①a2＋1＞b2正确；②|1－a|＞|b－1|正确；因为a＜b＜0，所以a＋b＜a＜b＜0，所以③＞＞正确，故选D.
3．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
故原不等式的解集为.
(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0.
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[方法技巧]
解一元二次不等式的4个步骤
[即时演练]
1．若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A．(0,3) B．[－4，－3)
C．[－4,0) D．(－3,4]
解析：选C 解不等式(x－1)(x－2)＜2，可得0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由二次函数的性质可得(x＋1)(x－3)的取值范围是[－4,0)．
2．(昆明、玉溪统考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为( )
A．{x|－21}
C．{x|03}
解析：选C 由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0 ①，又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
将②代入得x2－3x<0，解得0
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.,常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围.
角度一：形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)确定参数的范围
1．(南昌一模)已知函数f(x)＝mx2－2x－m＋1，是否存在实数m对所有的实数x，f(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：f(x)＝mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.
[方法技巧]
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
角度二：形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
2．(西安八校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，则m＜0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，
所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.
[方法技巧]
解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
角度三：形如f(x)≥0(≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m≥0恒成立，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[方法技巧]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．
2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
3．(2012·全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1
C．A＝B D．A∩B＝∅
解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1
一、选择题
1．(唐山一模)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选C 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．
2．(山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋<
易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2>1，
因此a＋>log2(a＋b)>.
3．已知集合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m
C．14 D．16
解析：选C ∵M＝{x|x2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,1)
解析：选A ∵<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.
5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2
解析：选B 由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，对称轴为x＝，结合图象知选B.
6．(合肥一模)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
解析：选D 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3
7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
二、填空题
9．(武汉一模)已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是__________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
10．(河南六市一联)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
11．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
解析：当x>0时，－x<0，即f(－x)＝bx2＋3x，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－bx2－3x＝x2＋ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
12．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当x＝0时，不等式恒成立，当x≠0时，将问题转化为－a≤＋|x|，由＋|x|≥2，故－a≤2，即a≥－2.所以实数a的取值范围为[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
三、解答题
13．已知a∈R，解关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.
解：原不等式等价于(ax－2)(x－1)＜0.
(1)当a＝0时，原不等式为－(x－1)＜0，解得x＞1.
即原不等式的解集为(1，＋∞)．
(2)若a＞0，则原不等式可化为(x－1)＜0，
对应方程的根为x＝1或x＝.
当＞1，即0＜a＜2时，不等式的解为1＜x＜；
当a＝2时，不等式的解集为∅；
当＜1，即a＞2时，不等式的解为＜x＜1.
(3)若a＜0，则原不等式可化为(x－1)＞0，
所以＜1，所以不等式的解为x＞1或x＜.
综上，当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．
当0＜a＜2时，不等式的解集为.
当a＝2时，不等式的解集为∅.
当a＞2时，不等式的解集为.
当a＜0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)．
14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0
必须有
即解得0
15．已知函数f(x)＝(k＞0)．
(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；
(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．
解：(1)由不等式f(x)＞m⇔＞m⇔mx2－2kx＋6km＜0，
∵不等式mx2－2kx＋6km＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，
∴－3，－2是方程mx2－2kx＋6km＝0的根，
∴解得，故有5mx2＋kx＋3＞0⇔2x2－x－3＜0⇔－1＜x＜，
∴不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集为.
(2)f(x)＞1⇔＞1⇔x2－2kx＋6k＜0⇔(2x－6)k＞x2.
存在x＞3，使得f(x)＞1成立，即存在x＞3，使得k＞成立．
令g(x)＝，x∈(3，＋∞)，则k＞g(x)min.
令2x－6＝t，则x＝，则t∈(0，＋∞)，y＝＝＋＋3≥2 ＋3＝6，
当且仅当＝，即t＝6时等号成立．
当t＝6时，x＝6，∴g(x)min＝g(6)＝6，
故k的取值范围为(6，＋∞)．
1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________．
解析：∵函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，
∴Δ＝a2＋4b＝0，
∴b＝－.
∵关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，
∴方程f(x)＝c－1的两根分别为m－4，m＋1，
即－x2＋ax－＝c－1的两根分别为m－4，m＋1，
∵－x2＋ax－＝c－1的根为x＝±，
∴两根之差为：2＝(m＋1)－(m－4)，
解得c＝－.
答案：－
2．已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为________．
解析：由xy＋2z＝1，可得z＝，
则5＝x2＋y2＋2≥2|xy|＋.
当xy≥0时，不等式可化为x2y2＋6xy－19≤0；
当xy<0时，不等式可化为x2y2－10xy－19≤0.
由x2y2＋6xy－19≤0，解得0≤xy≤－3＋2.
由x2y2－10xy－19≤0，解得5－2≤xy<0，
所以5－2≤xy≤－3＋2.
则xyz＝xy·＝－2＋，
根据二次函数的单调性可得当xy＝5－2时，xyz取得最小值为9－32.
答案：9－32
高考研究课(二)
简单的线性规划问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
线性规划求最值
5年10考
求最大值、最小值
线性规划实际应用
5年1考
实际应用(整点)
二元一次不等式(组)表示平面区域
[典例] (1)不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
(2)已知不等式组表示的平面区域被直线2x＋y－k＝0平分成面积相等的两部分，则实数k的值为________．
[解析] (1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.
(2)画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为×1×(1＋1)＝1，可知直线2x＋y－k＝0与
区域边界的交点A，B的坐标分别为及，要使直线2x＋y－k＝0把区域分成面积相等的两部分，必有××＝，解得k＝－2.
[答案] (1)D (2)－2
[方法技巧]
确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
直线定界
即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线
特殊点定域
即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(0,0)，(1,0)或(0,1)点
[即时演练]
1．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，A(1,1)，B(0,2)，则平面区域的面积为＝×2×1＝1.
2．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)
解析：选A 直线y＝k(x－1)－1过定点A(1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率k∈(－∞，－1)；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，y≤k(x－1)－1所表示的区域是直线y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k的取值范围是(－∞，－1)．
目标函数最值的求法及应用
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.,常见的命题角度有：
(1)求线性目标函数的最值；
(2)求非线性目标函数的最值；
(3)求线性规划中的参数值或范围；
(4)线性规划的实际应用.
角度一：求线性目标函数的最值
1．(全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
角度二：非线性目标函数的最值
2．(太原一模)已知实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的取值范围为( )
A．[1,13] B．[1,4]
C. D.
解析：选C 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝2＝，最大值为点O与点A(－2,3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝(－2)2＋32＝13.
3．如果实数x，y满足则z＝的最大值为________．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝＝2－.
设k＝，则z＝2－k，
k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
要求z＝2－k的最大值，即求k的最小值，
由图象知OC的斜率最小，
由得即C，
则k＝＝，所以zmax＝2－＝.
答案：
角度三：求线性规划中参数值或范围
4．已知实数x，y满足若目标函数z1＝3x＋y的最小值的7倍与z2＝x＋7y的最大值相等，则实数k的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A
作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当z1＝3x＋y过点A时取得最小值，由解得即A(1,2)，所以z1＝3x＋y的最小值为5，故z2＝x＋7y的最大值为35，由图知z2＝x＋7y过点B时取得最大值．由解得代入kx－y－5k＝0，得k＝2.
5．(汉中质检)若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
解析：
选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可以看出，当－1＜－＜2，即－4＜a＜2时，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值．
角度四：线性规划的实际应用
6．(天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：
(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在
y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
[方法技巧]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
3．解答线性规划实际问题的3步骤
(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；
(2)准确作出可行域，求出最优解；
(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
1．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
2．(全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：
画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得
∴zmin＝－5.
答案：－5
3．(全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：－1
4．(全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值，
由得A，zmax＝1＋＝.
答案：
5．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．
∴的最大值为3.
答案：3
6．(全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为
即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
一、选择题
1．若O为坐标原点，实数x，y满足条件在可行域内任取一点P(x，y)，则|OP|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知|OP|的最小值为点O到直线x＋y＝1的距离，所以|OP|的最小值为.
2．(山东高考)已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y＝－＋进行平移，显然当该直线过点A时z取得最大值，由解得即A(－3,4)，所以zmax＝－3＋8＝5.
3．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.
4．(浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：
选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
∴是直线y＝－x＋在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－x＋过A点时，取得最小值．由得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋y的取值范围是[4，＋∞)．
5．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：
选A 画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线y＝kx－3k过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－，所以k的取值范围是.
6．设变量x，y满足约束条件则S＝的取值范围是( )
A. B.
C. D．[1,2]
解析：选C
作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，
顶点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝表示可行域内的点与定点P(－1，－1)连线的斜率，则Smin＝kPA＝，Smax＝kPB＝2.
7．(大连期末)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4.
8．已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，给出以下结论：
①3a－4b＋5>0；②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是∪.
正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3a－4b＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a>0时，由图知，a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0表示的区域是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d＞＝1，故③正确；表示阴影部分的点M(a，b)和B(1，－1)连线的斜率，由图象得＞k1＝或＜kAB＝＝－，故④正确，故选B.
二、填空题
9．(北京高考)若x，y满足则x＋2y的最大值为________．
解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.
答案：9
10．(沈阳质监)已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.
答案：
11．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y＝kx－1(k>0)的最大距离为2，则实数k＝________.
解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y＝kx－1(k>0)的距离最大，所以＝2，又k>0，得k＝1.
答案：1
12．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线z＝ax＋by过点A(4,6)时，取得最大值10，即2a＋3b＝5，而a2＋b2表示原点(0,0)与直线2a＋3b＝5上的点的距离的平方，显然a2＋b2的最小值为原点到直线2a＋3b＝5的距离的平方，又原点到直线2a＋3b＝5的距离d＝，所以a2＋b2的最小值为.
答案：
三、解答题
13．(天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．
(1)写出x，y满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
解：(1)x，y满足约束条件为
(2)设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y取得最大值．解方程组得x＝4，y＝6.此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
1．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取得最小值1时，(a－1)2＋(b－1)2的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
把z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为y＝－x＋，
由图可知，当直线y＝－x＋过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，
联立
解得A(3,1)，
所以3a＋b＝1，
因为a＞0，b＞0，所以0＜a＜.
则(a－1)2＋(b－1)2＝(a－1)2＋9a2＝10a2－2a＋1＝102＋.
则当a＝时，(a－1)2＋(b－1)2取得最小值，最小值为.
2．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两端点，则PM―→·PN―→的最小值为( )
A．4 B．2－1
C．4 D．7
解析：选D 因为M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两端点，所以可设M(a，b)，N(－a，－b)，则a2＋b2＝1.设P(x，y)，则·＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x2－a2＋y2－b2＝x2＋y2－1，设z＝x2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．则原点到直线x＋y－4＝0的距离最小，此时d＝＝2，则z＝d2＝8，则·P＝x2＋y2－1＝8－1＝7.
高考研究课(三) 基本不等式
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
基本不等式求最值
未考查
基本不等式的实际应用
未考查
利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考查的频率较低，但也要引起重视.,常见的命题角度有：
(1)通过配凑法求最值；
(2)通过常值代换法求最值；
(3)通过消元法求最值.
角度一：通过配凑法求最值
1．(泉州检测)已知0
C. D.
解析：选B ∵0
2．已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．3
解析：选D 由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2 －1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．
3．若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋的最小值为________．
解析：因为b>a>1，所以logab>1.又3logab＋6logba＝3logab＋＝11，解得logab＝3，即a3＝b，所以a3＋＝b＋＝b－1＋＋1≥2＋1(当且仅当b＝＋1时等号成立)，即a3＋的最小值为2＋1.
答案：2＋1
[方法技巧]
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．
角度二：通过常值代换法求最值
4．(日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
解析：选B 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.
5．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
解析：正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时， 取得最小值为.
答案：
6．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为________．
解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.
即＋＝1.
则x＋y＝(x＋y)＝16＋1＋＋≥17＋2 ＝25，当且仅当x＝4y＝20时等号成立，
所以x＋y的最小值为25.
答案：25
[方法技巧]
将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．
角度三：通过消元法求最值
7．(山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值为________．
解析：由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，则＝＝a－＋≥2(当且仅当a－＝，即a＝时，等号成立)．
答案：2
[方法技巧]
利用给定条件变形，消去其中一元，变为一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求最值．
基本不等式的实际应用
[典例] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，
S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，
此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[即时演练]
1.如图，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形OAB(其中∠AOB＝45°，扇形半径为1)的草地上修建一个三角形人造湖OMN(其中点M在OA上，点N在或OB上，∠OMN＝90°)，且沿湖边OMN修建休闲走廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方案，则该方案( )
A．只能满足甲部门，不能满足乙部门
B．只能满足乙部门，不能满足甲部门
C．可以同时满足两个部门
D．两个部门都不能满足
解析：选C 当点N在上时，设OM＝x，MN＝y，则x2＋y2＝1，所以人造湖的面积S＝xy≤·＝，走廊长l＝1＋x＋y＝1＋＝1＋≤1＋＝1＋，上述两个不等式等号成立的条件均为x＝y＝，即点N在点B处；当点N在线段OB上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的最大值显然也在点B处取得．
2．运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t，则t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18 km/h，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
一、选择题
1．“a>0，b>0”是“ab<2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 因为当a>0，b>0时，2≥ab，所以当a＝b时，“ab<2”不成立，
当“ab<2”时，a，b可以异号，所以“a>0，b>0”不一定成立，
故“a>0，b>0”是“ab<2”的既不充分也不必要条件．
2．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24 B．8
C. D.
解析：选B ∵a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，
∴3(1－y)＝2x，即2x＋3y＝3.
∴x＋y＝1，
∴＋＝＝2＋2＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，
故＋的最小值是8.
3．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A.＋ B.
C. D.＋2
解析：选A 因为直线ax－by＋2＝0被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，圆的圆心为(－1,2)，半径为2，所以直线ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，则有a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)＝≥＋，当且仅当＝时，等号成立．故＋的最小值为＋.
4．(开封摸底考试)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析：选B 由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.
5．设x>0，y>0且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：选D ∵x>0，y>0且x＋4y＝40，∴40≥2，即xy≤100，当且仅当x＝4y＝20时取等号．
则lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，因此其最大值是2.
6．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C 不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x
A．2 B.
C. D．1＋
解析：选A 因为正数a，b满足：＋＝1，所以2a＋b＝ab，且a>1，b>2，则＋≥2＝2 ＝2，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，故＋的最小值为2.
8．(洛阳统考)若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选D ∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴＝＝≤1(当且仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－，令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(当且仅当t＝1时等号成立)．
二、填空题
9．已知a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，则＋的最小值为________．
解析：由a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，可得2a＋b－1＝0，
所以＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2 ＋7＝4＋7，
当且仅当＝且2a＋b－1＝0，即a＝2－，b＝2－3时取等号．
故＋的最小值为7＋4.
答案：7＋4
10．(湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，则＋的最小值为________．
解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 017＝＝4 034，则a1＋a2 017＝4.由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，所以＋＝＝＝＋10≥＝4，当且仅当a2 009＝3a9时等号成立．故＋的最小值为4.
答案：4
11.如图，动点A在函数y＝(x<0)的图象上，动点B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A，B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________．
解析：设A，B，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以b－a＝4，
故|A2B2|＝－＝·＝≥(3＋2)，当且仅当b2＝2a2，即a＝4－4，b＝8－4时，|A2B2|取得最小值.
答案：
12．(江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
三、解答题
13．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.
(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
(2)当x，y分别为何值时，x＋y取得最小值？
解：(1)∵x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0，
∴xy＝x＋8y≥4，当且仅当x＝8y，即x＝16，y＝2时取等号，
∴xy≥32.
∴xy的最小值为32.
(2)∵x＋8y－xy＝0，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝9＋＋≥9＋4，当且仅当＝，即y＝1＋2，x＝8＋2时取等号．
因此x＋y的最小值为9＋4.
14．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房，房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧墙用2.5 m高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．
(1)设房前面墙的长为x(m)，两侧墙的长为y(m)，建造一套房所需材料费为P(元)，试用x，y表示P；
(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
解：(1)依题得，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，
即P＝900x＋400y＋200xy.
(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2＋200S＝200S＋1 200，
又因为P≤32 000，所以200S＋1 200≤32 000，
解得0<≤10，
∴0
1．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B．－1＋
C．1＋ D．－1－
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，
可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，
即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，
所以2＋2＝9.
因为2＋2≥
＝，当且仅当2x－＝2＋时等号成立．
所以2≤18，
所以2x＋≤3－2，
即x＋≤.
所以x＋的最大值为－1.
2．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵不等式x＋
解析：因为x>y>z，所以x－y>0，y－z>0，x－z>0，不等式＋≥恒成立等价于n≤(x－z)＋恒成立．因为x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2，＋≥2，所以(x－z)＋≥2·2＝4(当且仅当x－y＝y－z时等号成立)，则要使n≤(x－z)·＋恒成立，只需使n≤4(n∈N)，故n的最大值为4.
答案：4
第九单元 不等式
教材复习课“不等式”相关基础知识一课过
不等式、一元二次不等式
[过双基]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；
a>b，c>d⇒a＋cb＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒acbc；
a>b>0，c>d>0⇒acbd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．
3．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2 (x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x>x2或x
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
1．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
解析：选C 由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋，故选C.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A 由题意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N.
3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则f(10x)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2}
C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}
解析：选C 一元二次不等式f(x)＞0的解集为xx＜－1或x＞，则不等式f(10x)＞0可化为10x＜－1或10x＞，解得x＞lg ，即x＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x|x＞－lg 2}．
4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________．
解析：不等式－6x2＋2＜x可化为6x2＋x－2＞0，
即(3x＋2)(2x－1)＞0，
解不等式得x<－或x>，
所以该不等式的解集是∪.
答案：∪
[清易错]
1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
3．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别a的符号．
1．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C. D.∪(1，＋∞)
解析：选C ①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不符合题意．
②当m≠－1时，则解得m<－，符合题意．
故实数m的取值范围为.
2．对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则＞；
⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.
其中真命题的序号是________．
解析：当c＝0时，若a＞b，则ac＝bc，故①为假命题；
若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；
若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；
若c＞a＞b＞0，则＜，则＜，则＞，故④为真命题；
若a＞b，＞，即>0，故ab＜0，则a＞0，b＜0，故⑤为真命题．
故②③④⑤为真命题．
答案：②③④⑤
3．若不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集是________．
解析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，
∴a＞0，且对应方程ax2－bx＋c＝0的实数根是－2和3，
由根与系数的关系，得
即＝－6，＝1，
∴b＞0，且＝1，＝－6，
∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，
解得－3＜x＜2，
∴该不等式的解集为(－3,2)．
答案：(－3,2)
简单的线性规划问题
[过双基]
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.
2．(全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.
3．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1.
4．已知z＝2x＋y，实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．
平移直线l：2x＋y＝0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝.
[清易错]
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，∴－a＝1，a＝－1，∴当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0.
基本不等式
[过双基]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C 由＋＝，知a＞0，b＞0，
所以＝＋≥2 ，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，
所以ab的最小值为2.
2．已知直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则＋的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．1
解析：选C 由直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.
则＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴＋的最小值为4.
3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围为________．
解析：根据题意知，2x＞0,2y＞0，
所以1＝2x＋2y≥2＝2，
即2x＋y≤＝2－2，x＋y≤－2，
所以x＋y的取值范围为(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
[清易错]
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cos x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选D 当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错误；因为0
2．(天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
一、选择题
1．(洛阳统考)已知a<0，－1
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：选D ∵－1
2．下列不等式中正确的是( )
A．若a∈R，则a2＋9>6a
B．若a，b∈R，则≥2
C．若a>0，b>0，则2lg≥lg a＋lg b
D．若x∈R，则x2＋>1
解析：选C ∵a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴A错误；显然B不正确；∵a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lg a＋lg b，∴C正确；∵当x＝0时，x2＋＝1，∴D错误，故选C.
3．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵－<α<π，－<β<π，
∴－π<－β<，∴－<α－β<.
又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.
4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0，(a>0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
5．不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(2－1)×＝.
6．(成都一诊)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D ＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋≥＝1.故＋的最小值为1.
7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
解析：选A 法一：将z＝y－2x化为y＝2x＋z，作出可行域和直线y＝2x(如图所示)，当直线y＝2x＋z向右下方平移时，直线y＝2x＋z在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y＝2x＋z经过点A(5，3)时，z取得最小值3－10＝－7.
法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分别代入z＝y－2x，得z的值为1，－4，－7，故z的最小值为－7.
8．(山东高考改编)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为( )
A．4 B．3＋2
C．8 D．4
解析：选C ∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
∴＋＝1，∵a＞0，b＞0，
∴2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，
∴2a＋b的最小值为8.
二、填空题
9．(沈阳模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析：因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，当且仅当x＝y时等号成立，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
所以x＋y的最大值为2.
答案：2
10．(郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.
解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，招聘的教师最多，此时x＝a＋b＝13.
答案：13
11．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________ m，宽为________ m时菜园面积最大．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
答案：15
12．(邯郸质检)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
解析：直线y＝kx＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0,1)．
答案：(0,1)
三、解答题
13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6
＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2
故解得
14．(济南一模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立．
∴＋的最小值为.
高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等式
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
不等式性质
5年2考
比较大小
一元二次不等式解法
5年8考
与集合交汇命题考查解法
不等式恒成立问题
5年1考
利用不等式恒成立求参数
不等式的性质及应用
[典例] 若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析] 法一：用“特值法”解题
因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，选C.
法二：用“直接法”解题
由<<0，可知b
②中，因为b
③中，因为b
④中，因为b
[答案] C
[方法技巧]
不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小
熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题
用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题
解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
[即时演练]
1．(泰安调研)设a，b∈R，若p：a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，则1－a＞1－b＞1，所以①a2＋1＞b2正确；②|1－a|＞|b－1|正确；因为a＜b＜0，所以a＋b＜a＜b＜0，所以③＞＞正确，故选D.
3．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
故原不等式的解集为.
(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0.
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[方法技巧]
解一元二次不等式的4个步骤
[即时演练]
1．若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A．(0,3) B．[－4，－3)
C．[－4,0) D．(－3,4]
解析：选C 解不等式(x－1)(x－2)＜2，可得0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由二次函数的性质可得(x＋1)(x－3)的取值范围是[－4,0)．
2．(昆明、玉溪统考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
A．{x|－2
C．{x|0
解析：选C 由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0 ①，又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
将②代入得x2－3x<0，解得0
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.,常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围.
角度一：形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)确定参数的范围
1．(南昌一模)已知函数f(x)＝mx2－2x－m＋1，是否存在实数m对所有的实数x，f(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：f(x)＝mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.
[方法技巧]
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
角度二：形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
2．(西安八校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，则m＜0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，
所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.
[方法技巧]
解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
角度三：形如f(x)≥0(≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m≥0恒成立，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[方法技巧]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．
2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
3．(2012·全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1
C．A＝B D．A∩B＝∅
解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1
一、选择题
1．(唐山一模)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选C 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a
2．(山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋<
易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2>1，
因此a＋>log2(a＋b)>.
3．已知集合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m
C．14 D．16
解析：选C ∵M＝{x|x2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,1)
解析：选A ∵<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.
5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2
解析：选B 由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，对称轴为x＝，结合图象知选B.
6．(合肥一模)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
解析：选D 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3
7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
二、填空题
9．(武汉一模)已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是__________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
10．(河南六市一联)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
11．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
解析：当x>0时，－x<0，即f(－x)＝bx2＋3x，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－bx2－3x＝x2＋ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
12．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当x＝0时，不等式恒成立，当x≠0时，将问题转化为－a≤＋|x|，由＋|x|≥2，故－a≤2，即a≥－2.所以实数a的取值范围为[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
三、解答题
13．已知a∈R，解关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.
解：原不等式等价于(ax－2)(x－1)＜0.
(1)当a＝0时，原不等式为－(x－1)＜0，解得x＞1.
即原不等式的解集为(1，＋∞)．
(2)若a＞0，则原不等式可化为(x－1)＜0，
对应方程的根为x＝1或x＝.
当＞1，即0＜a＜2时，不等式的解为1＜x＜；
当a＝2时，不等式的解集为∅；
当＜1，即a＞2时，不等式的解为＜x＜1.
(3)若a＜0，则原不等式可化为(x－1)＞0，
所以＜1，所以不等式的解为x＞1或x＜.
综上，当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．
当0＜a＜2时，不等式的解集为.
当a＝2时，不等式的解集为∅.
当a＞2时，不等式的解集为.
当a＜0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)．
14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0
必须有
即解得0
15．已知函数f(x)＝(k＞0)．
(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；
(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．
解：(1)由不等式f(x)＞m⇔＞m⇔mx2－2kx＋6km＜0，
∵不等式mx2－2kx＋6km＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，
∴－3，－2是方程mx2－2kx＋6km＝0的根，
∴解得，故有5mx2＋kx＋3＞0⇔2x2－x－3＜0⇔－1＜x＜，
∴不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集为.
(2)f(x)＞1⇔＞1⇔x2－2kx＋6k＜0⇔(2x－6)k＞x2.
存在x＞3，使得f(x)＞1成立，即存在x＞3，使得k＞成立．
令g(x)＝，x∈(3，＋∞)，则k＞g(x)min.
令2x－6＝t，则x＝，则t∈(0，＋∞)，y＝＝＋＋3≥2 ＋3＝6，
当且仅当＝，即t＝6时等号成立．
当t＝6时，x＝6，∴g(x)min＝g(6)＝6，
故k的取值范围为(6，＋∞)．
1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________．
解析：∵函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，
∴Δ＝a2＋4b＝0，
∴b＝－.
∵关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，
∴方程f(x)＝c－1的两根分别为m－4，m＋1，
即－x2＋ax－＝c－1的两根分别为m－4，m＋1，
∵－x2＋ax－＝c－1的根为x＝±，
∴两根之差为：2＝(m＋1)－(m－4)，
解得c＝－.
答案：－
2．已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为________．
解析：由xy＋2z＝1，可得z＝，
则5＝x2＋y2＋2≥2|xy|＋.
当xy≥0时，不等式可化为x2y2＋6xy－19≤0；
当xy<0时，不等式可化为x2y2－10xy－19≤0.
由x2y2＋6xy－19≤0，解得0≤xy≤－3＋2.
由x2y2－10xy－19≤0，解得5－2≤xy<0，
所以5－2≤xy≤－3＋2.
则xyz＝xy·＝－2＋，
根据二次函数的单调性可得当xy＝5－2时，xyz取得最小值为9－32.
答案：9－32
高考研究课(二)
简单的线性规划问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
线性规划求最值
5年10考
求最大值、最小值
线性规划实际应用
5年1考
实际应用(整点)
二元一次不等式(组)表示平面区域
[典例] (1)不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
(2)已知不等式组表示的平面区域被直线2x＋y－k＝0平分成面积相等的两部分，则实数k的值为________．
[解析] (1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.
(2)画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为×1×(1＋1)＝1，可知直线2x＋y－k＝0与
区域边界的交点A，B的坐标分别为及，要使直线2x＋y－k＝0把区域分成面积相等的两部分，必有××＝，解得k＝－2.
[答案] (1)D (2)－2
[方法技巧]
确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
直线定界
即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线
特殊点定域
即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(0,0)，(1,0)或(0,1)点
[即时演练]
1．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，A(1,1)，B(0,2)，则平面区域的面积为＝×2×1＝1.
2．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)
解析：选A 直线y＝k(x－1)－1过定点A(1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率k∈(－∞，－1)；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，y≤k(x－1)－1所表示的区域是直线y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k的取值范围是(－∞，－1)．
目标函数最值的求法及应用
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.,常见的命题角度有：
(1)求线性目标函数的最值；
(2)求非线性目标函数的最值；
(3)求线性规划中的参数值或范围；
(4)线性规划的实际应用.
角度一：求线性目标函数的最值
1．(全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
角度二：非线性目标函数的最值
2．(太原一模)已知实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的取值范围为( )
A．[1,13] B．[1,4]
C. D.
解析：选C 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝2＝，最大值为点O与点A(－2,3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝(－2)2＋32＝13.
3．如果实数x，y满足则z＝的最大值为________．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝＝2－.
设k＝，则z＝2－k，
k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
要求z＝2－k的最大值，即求k的最小值，
由图象知OC的斜率最小，
由得即C，
则k＝＝，所以zmax＝2－＝.
答案：
角度三：求线性规划中参数值或范围
4．已知实数x，y满足若目标函数z1＝3x＋y的最小值的7倍与z2＝x＋7y的最大值相等，则实数k的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A
作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当z1＝3x＋y过点A时取得最小值，由解得即A(1,2)，所以z1＝3x＋y的最小值为5，故z2＝x＋7y的最大值为35，由图知z2＝x＋7y过点B时取得最大值．由解得代入kx－y－5k＝0，得k＝2.
5．(汉中质检)若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
解析：
选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可以看出，当－1＜－＜2，即－4＜a＜2时，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值．
角度四：线性规划的实际应用
6．(天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：
(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在
y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
[方法技巧]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
3．解答线性规划实际问题的3步骤
(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；
(2)准确作出可行域，求出最优解；
(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
1．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
2．(全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：
画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得
∴zmin＝－5.
答案：－5
3．(全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.
答案：－1
4．(全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值，
由得A，zmax＝1＋＝.
答案：
5．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．
∴的最大值为3.
答案：3
6．(全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为
即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
一、选择题
1．若O为坐标原点，实数x，y满足条件在可行域内任取一点P(x，y)，则|OP|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知|OP|的最小值为点O到直线x＋y＝1的距离，所以|OP|的最小值为.
2．(山东高考)已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y＝－＋进行平移，显然当该直线过点A时z取得最大值，由解得即A(－3,4)，所以zmax＝－3＋8＝5.
3．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.
4．(浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：
选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
∴是直线y＝－x＋在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－x＋过A点时，取得最小值．由得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋y的取值范围是[4，＋∞)．
5．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：
选A 画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线y＝kx－3k过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－，所以k的取值范围是.
6．设变量x，y满足约束条件则S＝的取值范围是( )
A. B.
C. D．[1,2]
解析：选C
作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，
顶点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝表示可行域内的点与定点P(－1，－1)连线的斜率，则Smin＝kPA＝，Smax＝kPB＝2.
7．(大连期末)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4.
8．已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，给出以下结论：
①3a－4b＋5>0；②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是∪.
正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3a－4b＋5＜0，故①错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a>0时，由图知，a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0表示的区域是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d＞＝1，故③正确；表示阴影部分的点M(a，b)和B(1，－1)连线的斜率，由图象得＞k1＝或＜kAB＝＝－，故④正确，故选B.
二、填空题
9．(北京高考)若x，y满足则x＋2y的最大值为________．
解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.
答案：9
10．(沈阳质监)已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.
答案：
11．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y＝kx－1(k>0)的最大距离为2，则实数k＝________.
解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y＝kx－1(k>0)的距离最大，所以＝2，又k>0，得k＝1.
答案：1
12．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线z＝ax＋by过点A(4,6)时，取得最大值10，即2a＋3b＝5，而a2＋b2表示原点(0,0)与直线2a＋3b＝5上的点的距离的平方，显然a2＋b2的最小值为原点到直线2a＋3b＝5的距离的平方，又原点到直线2a＋3b＝5的距离d＝，所以a2＋b2的最小值为.
答案：
三、解答题
13．(天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．
(1)写出x，y满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
解：(1)x，y满足约束条件为
(2)设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y取得最大值．解方程组得x＝4，y＝6.此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
1．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取得最小值1时，(a－1)2＋(b－1)2的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
把z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为y＝－x＋，
由图可知，当直线y＝－x＋过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，
联立
解得A(3,1)，
所以3a＋b＝1，
因为a＞0，b＞0，所以0＜a＜.
则(a－1)2＋(b－1)2＝(a－1)2＋9a2＝10a2－2a＋1＝102＋.
则当a＝时，(a－1)2＋(b－1)2取得最小值，最小值为.
2．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两端点，则PM―→·PN―→的最小值为( )
A．4 B．2－1
C．4 D．7
解析：选D 因为M，N是圆x2＋y2＝1的一条直径的两端点，所以可设M(a，b)，N(－a，－b)，则a2＋b2＝1.设P(x，y)，则·＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x2－a2＋y2－b2＝x2＋y2－1，设z＝x2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．则原点到直线x＋y－4＝0的距离最小，此时d＝＝2，则z＝d2＝8，则·P＝x2＋y2－1＝8－1＝7.
高考研究课(三) 基本不等式
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
基本不等式求最值
未考查
基本不等式的实际应用
未考查
利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考查的频率较低，但也要引起重视.,常见的命题角度有：
(1)通过配凑法求最值；
(2)通过常值代换法求最值；
(3)通过消元法求最值.
角度一：通过配凑法求最值
1．(泉州检测)已知0
C. D.
解析：选B ∵0
2．已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．3
解析：选D 由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2 －1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．
3．若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋的最小值为________．
解析：因为b>a>1，所以logab>1.又3logab＋6logba＝3logab＋＝11，解得logab＝3，即a3＝b，所以a3＋＝b＋＝b－1＋＋1≥2＋1(当且仅当b＝＋1时等号成立)，即a3＋的最小值为2＋1.
答案：2＋1
[方法技巧]
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．
角度二：通过常值代换法求最值
4．(日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
解析：选B 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.
5．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
解析：正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时， 取得最小值为.
答案：
6．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为________．
解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.
即＋＝1.
则x＋y＝(x＋y)＝16＋1＋＋≥17＋2 ＝25，当且仅当x＝4y＝20时等号成立，
所以x＋y的最小值为25.
答案：25
[方法技巧]
将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．
角度三：通过消元法求最值
7．(山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值为________．
解析：由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，则＝＝a－＋≥2(当且仅当a－＝，即a＝时，等号成立)．
答案：2
[方法技巧]
利用给定条件变形，消去其中一元，变为一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求最值．
基本不等式的实际应用
[典例] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，
S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，
此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[即时演练]
1.如图，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形OAB(其中∠AOB＝45°，扇形半径为1)的草地上修建一个三角形人造湖OMN(其中点M在OA上，点N在或OB上，∠OMN＝90°)，且沿湖边OMN修建休闲走廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方案，则该方案( )
A．只能满足甲部门，不能满足乙部门
B．只能满足乙部门，不能满足甲部门
C．可以同时满足两个部门
D．两个部门都不能满足
解析：选C 当点N在上时，设OM＝x，MN＝y，则x2＋y2＝1，所以人造湖的面积S＝xy≤·＝，走廊长l＝1＋x＋y＝1＋＝1＋≤1＋＝1＋，上述两个不等式等号成立的条件均为x＝y＝，即点N在点B处；当点N在线段OB上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的最大值显然也在点B处取得．
2．运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t，则t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18 km/h，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
一、选择题
1．“a>0，b>0”是“ab<2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 因为当a>0，b>0时，2≥ab，所以当a＝b时，“ab<2”不成立，
当“ab<2”时，a，b可以异号，所以“a>0，b>0”不一定成立，
故“a>0，b>0”是“ab<2”的既不充分也不必要条件．
2．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24 B．8
C. D.
解析：选B ∵a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，
∴3(1－y)＝2x，即2x＋3y＝3.
∴x＋y＝1，
∴＋＝＝2＋2＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，
故＋的最小值是8.
3．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A.＋ B.
C. D.＋2
解析：选A 因为直线ax－by＋2＝0被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，圆的圆心为(－1,2)，半径为2，所以直线ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，则有a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)＝≥＋，当且仅当＝时，等号成立．故＋的最小值为＋.
4．(开封摸底考试)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析：选B 由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.
5．设x>0，y>0且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：选D ∵x>0，y>0且x＋4y＝40，∴40≥2，即xy≤100，当且仅当x＝4y＝20时取等号．
则lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，因此其最大值是2.
6．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C 不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x
A．2 B.
C. D．1＋
解析：选A 因为正数a，b满足：＋＝1，所以2a＋b＝ab，且a>1，b>2，则＋≥2＝2 ＝2，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，故＋的最小值为2.
8．(洛阳统考)若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选D ∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴＝＝≤1(当且仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－，令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(当且仅当t＝1时等号成立)．
二、填空题
9．已知a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，则＋的最小值为________．
解析：由a>0，b>0，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线ax－by－1＝0对称，可得2a＋b－1＝0，
所以＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2 ＋7＝4＋7，
当且仅当＝且2a＋b－1＝0，即a＝2－，b＝2－3时取等号．
故＋的最小值为7＋4.
答案：7＋4
10．(湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，则＋的最小值为________．
解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 017＝＝4 034，则a1＋a2 017＝4.由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，所以＋＝＝＝＋10≥＝4，当且仅当a2 009＝3a9时等号成立．故＋的最小值为4.
答案：4
11.如图，动点A在函数y＝(x<0)的图象上，动点B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A，B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________．
解析：设A，B，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以b－a＝4，
故|A2B2|＝－＝·＝≥(3＋2)，当且仅当b2＝2a2，即a＝4－4，b＝8－4时，|A2B2|取得最小值.
答案：
12．(江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
三、解答题
13．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.
(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
(2)当x，y分别为何值时，x＋y取得最小值？
解：(1)∵x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0，
∴xy＝x＋8y≥4，当且仅当x＝8y，即x＝16，y＝2时取等号，
∴xy≥32.
∴xy的最小值为32.
(2)∵x＋8y－xy＝0，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝9＋＋≥9＋4，当且仅当＝，即y＝1＋2，x＝8＋2时取等号．
因此x＋y的最小值为9＋4.
14．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房，房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两侧墙用2.5 m高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．
(1)设房前面墙的长为x(m)，两侧墙的长为y(m)，建造一套房所需材料费为P(元)，试用x，y表示P；
(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
解：(1)依题得，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，
即P＝900x＋400y＋200xy.
(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2＋200S＝200S＋1 200，
又因为P≤32 000，所以200S＋1 200≤32 000，
解得0<≤10，
∴0
1．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B．－1＋
C．1＋ D．－1－
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，
可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，
即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，
所以2＋2＝9.
因为2＋2≥
＝，当且仅当2x－＝2＋时等号成立．
所以2≤18，
所以2x＋≤3－2，
即x＋≤.
所以x＋的最大值为－1.
2．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵不等式x＋
解析：因为x>y>z，所以x－y>0，y－z>0，x－z>0，不等式＋≥恒成立等价于n≤(x－z)＋恒成立．因为x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2，＋≥2，所以(x－z)＋≥2·2＝4(当且仅当x－y＝y－z时等号成立)，则要使n≤(x－z)·＋恒成立，只需使n≤4(n∈N)，故n的最大值为4.
答案：4
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