通用版高考数学(文数)一轮复习第10单元《空间几何体》学案(含详解)

这是一份通用版高考数学(文数)一轮复习第10单元《空间几何体》学案(含详解)，共30页。
[过双基]
1．简单旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；
(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
2．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
eq \a\vs4\al([小题速通])
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：选B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
2．下列说法中正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
解析：选D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．选D.
[清易错]
1．认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识．
2．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面α，使得平面α∥平面AB1D1，则平面α截正方体的表面所得平面图形为( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选D 如图所示，平面α是平面EFGHJK，截面是六边形，故选D.
2．下列几何体是棱台的是________(填序号)．
解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义，故填④.
答案：④
[过双基]
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
2．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
[提醒] 正视图也称主视图，侧视图也称左视图．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
eq \a\vs4\al([小题速通])
1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )
解析：选B D选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.
2．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：选B 由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB.又因为A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形．
3．现有编号为①②③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：选B 还原出空间几何体，编号为①的三棱锥的直观图如图(1)三棱锥P­ABC所示，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为②的三棱锥的直观图如图(2)三棱锥P­ABC所示，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为③的三棱锥的直观图如图(3)三棱锥P­ABC所示，不存在侧面与底面互相垂直，即满足题意的编号是①②.
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2)
C．3 D．3eq \r(2)
解析：选C 依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥D­ABC，最长的棱AD＝eq \r(1＋2\r(2)2)＝3，故选C.
[清易错]
1．画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．
2．一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B.
2．已知以下三视图中有三个表示同一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是( )
解析：选D 对于选项A，相应的几何体是如图所示的三棱锥A­BCD，其中AB⊥平面BCD，且BC⊥BD，AB＝3，BC＝1，BD＝2；对于选项B，相应的几何体可视为将选项A中的几何体按逆时针方向旋转90°而得到的几何体；对于选项C，相应的几何体可视为将选项A中的几何体按逆时针方向旋转180°而得到的几何体．综上所述，选D.
[过双基]
空间几何体的表面积与体积公式
eq \a\vs4\al([小题速通])
1．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于( )
A．12eq \r(3) B．16eq \r(3)
C．20eq \r(3) D．32eq \r(3)
解析：选C 由三视图画出该几何体的直观图如图所示，V棱柱＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)×3＝12eq \r(3)，V棱锥＝eq \f(1,3)×4×(6－3)×2eq \r(3)＝8eq \r(3)，所以组合体的体积V＝V棱柱＋V棱锥＝20eq \r(3).
2．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为eq \r(2)的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)π×12×3＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×3＝eq \f(π,2)＋1.
3．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是________．
解析：设圆锥的母线与轴所成角为θ，由题意得πRl＝2πR2，即l＝2R，所以sin θ＝eq \f(R,l)＝eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(π,6).即母线与轴所成角的大小是eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,6)
4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可知该几何体左侧是一个半圆柱，底面半径为1，高为2；右侧是一个棱长为2的正方体，则该几何体的表面积为S＝5×22＋π×1×2＋π×12＝20＋3π.
答案：20＋3π
[清易错]
1．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
2．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
3．易混侧面积与表面积的概念．
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中图中小正方体的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A．10 000立方尺 B．11 000立方尺
C．12 000立方尺 D．13 000立方尺
解析：选A 该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF所示，取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体可看作四棱锥F­BCHG与三棱柱ADE­GHF的组合体．三棱柱ADE­GHF可以通过割补法得到一个高为EF＝2，底面积为S＝eq \f(1,2)×3×2＝3的一个直棱柱，故该楔形的体积V＝3×2＋eq \f(1,3)×2×3×2＝10(立方丈)＝10 000(立方尺)．
2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π
C．18π D．24π
解析：选B 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为2，下底半径为1，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π(2＋1)×4＝12π.
3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．
解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2eq \r(2)×2＋4×6＋eq \f(1,2)×(2＋6)×2×2＝72＋16eq \r(2).
答案：72＋16eq \r(2)
一、选择题
1．如图所示，若P为正方体ABCD­A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A．①②③④ B．①③
C．①④ D．②④
解析：选C 由题意，得△PAC在底面ABCD，A1B1C1D1上的射影如图①所示，△PAC在其余四个侧面上的射影如图④所示，故选C.
2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
解析：选C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A．8π B．12π
C．20π D．24π
解析：选C 如图，由题意得PC为球O的直径，而PC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，即球O的半径R＝eq \r(5)，所以球O的表面积S＝4πR2＝20π.选C.
4．(北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2eq \r(2) D．2
解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为
AC1＝eq \r(AC2＋CC\\al(2,1))＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3).
5．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A．60 B．30
C．20 D．10
解析：选D 如图，把三棱锥A­BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A­BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×5×3×4＝10.
6．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.eq \f(81π,4) B．16π
C．9π D.eq \f(27π,4)
解析：选A 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，解得r＝eq \f(9,4)，所以该球的表面积为4πr2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))2＝eq \f(81π,4).
7．(南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶1 D．1∶4
解析：选A 由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－eq \f(8π,3)＝eq \f(16π,3)，V2＝eq \f(4π,3)×23＝eq \f(32π,3)，V1∶V2＝1∶2.
二、填空题
9．(山东高考)由一个长方体和两个eq \f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2×eq \f(1,4)×π×12×1＝2＋eq \f(π,2).
答案：2＋eq \f(π,2)
10.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．
解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O(如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC＝2，
斜边上的高为SO＝1，此高即为四棱锥的高，故V＝eq \f(1,3)×2×2×1＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x的值为________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r＝1、高为x的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，则该几何体的体积V＝(5.4－x)×3×1＋π×eq \f(1,4)×x＝12.6，解得x＝1.6.
答案：1.6
12．某几何体的一条棱长为eq \r(7)，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq \r(6)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为________．
解析：构造长方体，则其体对角线长为eq \r(7)，其在侧视图中为侧面对角线a，在俯视图中为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b2－1＋a2－1＝6，则a2＋b2＝8，利用不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))≤eq \f(a2＋b2,2)＝4，则a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，即a＋b的最大值为4.
答案：4
三、解答题
13．已知正三棱锥V ­ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
解：
(1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝2eq \r(3)，
∴侧视图中VA＝
eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq \r(3)，
∴S△VBC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2eq \r(3)＝6.
14．(大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．
(2)其侧视图如图所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝eq \r(3)a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝eq \r(3)a，
故该平面图形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \r(3)a×eq \r(3)a＝eq \f(3,2)a2.
(3)该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×6×eq \f(\r(3),4)a2×eq \r(3)a＝eq \f(3,2)a3.
高考研究课 求解空间几何体问题的2环节——识图与计算
[全国卷5年命题分析]
[典例] (1)(天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
[解析] (1)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.
(2)根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．
注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．
先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．
要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
[即时演练]
1．如图甲，将一个正三棱柱ABC ­DEF截去一个三棱锥A ­BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )
解析：选C 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.
2.(昆明模拟)如图，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P ­BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．2∶3 D．3∶2
解析：选A 根据题意，三棱锥P ­BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P ­BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
[典例] (1)已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(40,3) B.eq \f(34,3)
C．10＋eq \f(4\r(2),3) D．6＋eq \f(4\r(3),3)
(2)(全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
[解析] (1)由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面是一个直角边长分别为1、2的直角三角形、高是2的直三棱柱，下面是两个几何体，左边是棱长为2的正方体，右边是底面是边长为2的正方形、高是1的正四棱锥，则该几何体的体积V＝eq \f(1,2)×2×1×2＋2×2×2＋eq \f(1,3)×2×2×1＝eq \f(34,3).
(2)
如图，连接AO，OB，
∵SC为球O的直径，
∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，
∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，
则OA＝OB＝R，SC＝2R.
∴VS ­ABC＝VA­SBC＝eq \f(1,3)×S△SBC×AO
＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，
即9＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得 R＝3，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
[答案] (1)B (2)36π
[方法技巧]
1．求解几何体的表面积与体积的技巧
(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．
(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．
2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤
(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图．
(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量．
(3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．
[即时演练]
1.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2)
解析：选A 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，则△BHC中BC边的高h＝eq \f(\r(2),2).
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，∴V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
2．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．9＋4(eq \r(2)＋eq \r(5))cm2 B．10＋2(eq \r(2)＋eq \r(3))cm2
C．11＋2(eq \r(2)＋eq \r(5))cm2 D．11＋2(eq \r(2)＋eq \r(3))cm2
解析：选C 如图所示，该几何体是棱长为2的正方体去掉两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积为2×2＋2×1＋2×eq \r(2)＋2×eq \r(5)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,2)－1))＝11＋2(eq \r(2)＋eq \r(5))cm2.
3．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1­AEFD的体积为________．
解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2h＝36.又四棱锥A1­AEFD可分割为两个三棱锥A1­AED，A1­DEF且这两个三棱锥体积相等，则VA1­AEFD＝2VA1­AED＝2VE­ADA1＝2×eq \f(1,3)S△ADA1×a＝2×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a×h×a＝eq \f(1,3)a2h＝eq \f(1,3)×36＝12.
答案：12
与球有关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变.,常见的命题角度有：
1四面体的内切球与外接球；
2三棱柱或四棱锥的外接球；
3圆柱或圆锥的内切球与外接球.
角度一：四面体的内切球与外接球
1．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq \r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.eq \f(4π,3) B．4π
C．8π D．20π
解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)×eq \f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝eq \r(r2＋d2)＝eq \r(2)，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
2．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( )
A.eq \f(4,3)π B.eq \f(8,3)π
C．2π D．4π
解析：选A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π.
3．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝________.
解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，
则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq \f(6\r(3),π).
答案：eq \f(6\r(3),π)
角度二：三棱柱或四棱锥的外接球
4．(武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2eq \r(2)，则该球的表面积为________．
解析：
如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2eq \r(2)，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq \f(5,2)，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
5．(长春模拟)已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为eq \r(6)的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝eq \r(3)，又易得AM＝eq \r(2)，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为eq \f(\r(3),4)×(eq \r(6))2×2＝3eq \r(3).
答案：3eq \r(3)
6．已知表面积为4π的球有一内接四棱锥，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA⊥平面ABCD，则四棱锥S­ABCD的体积为________．
解析：由S球＝4πR2＝4π，解得R＝1，即2R＝2.四棱锥S­ABCD的直观图如图所示，其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以SA＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以四棱锥S­ABCD的体积V＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·SA＝eq \f(1,3)×1×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),3).
答案：eq \f(\r(2),3)
角度三：圆柱或圆锥的内切球与外接球
7．(全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
解析：选B 设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4)，所以圆柱的体积V＝eq \f(3,4)π×1＝eq \f(3π,4).
8．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．
解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，即△ABC的边长为2eq \r(3)，圆锥的底面半径为eq \r(3)，高为3，故V＝eq \f(1,3)×π×3×3＝3π.
答案：3π
9．(江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
[方法技巧]
“切”“接”问题处理的注意事项
(1)“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
1.(全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为eq \f(2＋4×2,2)×2＝12.
2．(全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
解析：选B 法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－eq \f(1,2)×π×32×6＝63π.
法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.
法三：(估值法)由题意，知eq \f(1,2)V圆柱＜V几何体＜V圆柱．
又V圆柱＝π×32×10＝90π，
∴45π＜V几何体＜90π.
观察选项可知只有63π符合．故选B.
3．(2014·全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A．6eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．6 D．4
解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A­BCD，最长的棱为AD＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6.
4．(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析：选A 作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A.
5．(全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝eq \r(22＋2\r(3)2)＝4，S表＝πr2＋ch＋eq \f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
6．(全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是eq \f(28π,3)，则它的表面积是( )
A．17π B．18π
C．20π D．28π
解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eq \f(1,4)，得到的几何体如图．设球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3－eq \f(1,8)×eq \f(4,3)πR3＝eq \f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面积为eq \f(7,8)×4πR2＋eq \f(3,4)πR2＝17π.
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
解析：选C 如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq \f(1,2)R2.
∵VO­ABC＝VC ­AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大，为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.
8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问
米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：选B 设米堆的底面半径为r尺，则eq \f(π,2)r＝8，所以r＝eq \f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)π×r2×5＝eq \f(π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,π)))2×5≈eq \f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq \f(320,9)÷1.62≈22(斛)．
9．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3) ，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1 的体积为( )
A．3 B.eq \f(3,2)
C．1 D.eq \f(\r(3),2)
解析：选C 由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2sin 60°＝eq \r(3)，所以VA­B1DC1＝eq \f(1,3)AD·S△B1D C1＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝1.
一、选择题
1．(大连调研)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中点P是棱CD上一点，则三棱锥P­A1B1A的侧视图是( )
解析：选D 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P­A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.
2.(永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )
A．1 B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \r(6) D．2eq \r(3)
解析：选D 由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A­BCD，如图，其最大面的表面是边长为2eq \r(2)的等边三角形，故其面积为eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(2))2＝2eq \r(3).
3．已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则该几何体的表面积为( )
A．24π＋48 B．24π＋90＋6eq \r(41)
C．48π＋48 D．24π＋66＋6eq \r(41)
解析：选D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为3r、高为4r的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为3r的等腰直角三角形、高为4r的三棱锥，则eq \f(1,4)×eq \f(1,3)π(3r)2×4r＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3r×3r×4r＝24π＋48，解得r＝2，则该几何体的表面积为eq \f(1,4)×π×6×10＋eq \f(1,4)×π×62＋eq \f(1,2)×6×6＋2×eq \f(1,2)×6×8＋eq \f(1,2)×6eq \r(2)×eq \r(82)＝24π＋66＋6eq \r(41).
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．60－12π B．60－6π
C．72－12π D．72－6π
解析：选D 根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3，
所以该组合体的体积为V＝eq \f(1,2)×(4＋8)×4×3－eq \f(1,2)π×22×3＝72－6π.
5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )
A.eq \f(4π,3) B．3π
C.eq \f(\r(3),2)π D．π
解析：选C 由三视图可知，该几何体是棱长为1的正方体截去4个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于正方体的对角线，即R＝eq \f(\r(3),2)，所以外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(3),2)π.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．72 B．48
C．24 D．16
解析：选C 由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为2,4，高是6的直角梯形，棱锥的高是4，则该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(2＋4)×6×4＝24.
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.eq \f(123,5)π B.eq \f(124,3)π
C.eq \f(153,4)π D.eq \f(161,5)π
解析：选D 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为3、底边长为4的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为4且垂直于底面．设等腰三角形的顶角为θ，由余弦定理可得cs θ＝eq \f(32＋32－42,2×3×3)＝eq \f(1,9)，sin θ＝eq \f(4\r(5),9)，由正弦定理可得底面三角形外接圆的直径2r＝eq \f(9,\r(5))，则球的直径2R＝eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,\r(5))))2)＝ eq \r(\f(161,5))，所以外接球的表面积为eq \f(161,5)π.
8．(全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2)
C．6π D.eq \f(32π,3)
解析：选B 设球的半径为R，
∵△ABC的内切圆半径为eq \f(6＋8－10,2)＝2，
∴R≤2.又2R≤3，
∴R≤eq \f(3,2)，
∴Vmax＝eq \f(4,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9π,2).
二、填空题
9．四面体A­BCD中，若AB＝CD＝eq \r(2)，AC＝BD＝eq \r(3)，AD＝BC＝2，则四面体A­BCD的外接球的体积是________．
解析：作一个长方体，面对角线分别为eq \r(2)，eq \r(3)，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,x2＋z2＝3，,y2＋z2＝4，))则该长方体的体对角线为eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \f(3\r(2),2)，则该长方体的外接球即为四面体A­BCD的外接球，则外接球的半径为R＝eq \f(\r(x2＋y2＋z2),2)＝eq \f(3\r(2),4)，体积为V＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)))3＝eq \f(9\r(2),8)π.
答案：eq \f(9\r(2),8)π
10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积为________．
解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为2的正三角形，则该正三棱锥的侧棱长为eq \r(2)，其三棱锥的高 eq \r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\r(3)))2)＝eq \f(\r(6),3)即为正视图的高，又正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(6),3).
答案：eq \f(\r(6),3)
11．若三棱锥S­ABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝eq \f(π,3)，则球O的表面积为________．
解析：由题意，得三棱锥S­ABC是长方体的一部分(如图所示)，所以球O是该长方体的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，设球的半径为R，则2R＝eq \r(AC2＋SA2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，所以球O的表面积为4πR2＝20π.
答案：20π
12．(新余二模)已知A，B，C是球O的球面上三点，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，∠ABC＝60°，且三棱锥O­ABC的体积为eq \f(4\r(6),3)，则球O的表面积为________．
解析：∵AB＝2，AC＝2eq \r(3)，∠ABC＝60°，∴在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(2,sin C)＝eq \f(2\r(3),sin 60°)，解得sin C＝eq \f(1,2)，又0°