通用版高考数学(文数)一轮复习第13单元《椭圆双曲线抛物线》学案(含详解)

这是一份通用版高考数学(文数)一轮复习第13单元《椭圆双曲线抛物线》学案(含详解)，共130页。

第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线
教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过

椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质
范围
－b≤y≤－a≤y≤
－a≤x≤，－b≤x≤，
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为，短轴B1B2的长为
焦距
|F1F2|＝
离心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
　　
1．(浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，△ABC上的点A，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B在椭圆＋＝1上，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由椭圆＋＝1，得椭圆的半焦距为4，
则A(－4,0)和C(4,0)为椭圆＋＝1的两个焦点．
∵点B在椭圆＋＝1上， 作出示意图如图所示，
∴＝＝＝.
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的焦距为8，则m的值为(　　)
A．3或 B．3
C. D．±3或±
解析：选A　当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c＝8，则c＝4，
由25－m2＝16，得m＝3；
当m＞5时，焦点在y轴上，焦距2c＝8，则c＝4，
由m2－25＝16，得m＝，
故m的值为3或.
4．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：因为焦点在x轴上，所以0＜m＜2，
所以a2＝2，b2＝m，c2＝a2－b2＝2－m.
因为椭圆的离心率为e＝，
所以e2＝＝＝，解得m＝.
答案：
[清易错]
1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21
C．－或21 D.或－21
解析：选D　当9＞4－k＞0，即－5 a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴＝，解得k＝；
当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，
∴k的值为或－21.
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由椭圆方程知c＝＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为.

双曲线
[过双基]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
3．双曲线的性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
　
1．(天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D　由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝.又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选C　由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可设其方程为－x2＝λ(λ≠0)．
又双曲线过点(2,3), 则－22＝λ， 解得λ＝－1，
所以双曲线的方程为－x2＝－1，即x2－＝1.
3．(张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．4
C. D.
解析：选A　依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，因为△ABF2为等边三角形，所以∠F1BF2＝120°，由余弦定理，可得4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝4c2，整理得＝，故选A.
4．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
答案：44
[清易错]
1．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1．双曲线－＝1(0＜m＜3)的焦距为(　　)
A．6 B．12
C．36 D．2
解析：选B　∵c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，
∴双曲线的焦距为12.
2．已知直线l：4x＋3y－20＝0经过双曲线C：－＝1的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选C　∵双曲线C：－＝1的焦点在x轴上，直线l：4x＋3y－20＝0与x轴的交点为(5,0)．
∴a2＋b2＝c2＝25.①
∵直线l：4x＋3y－20＝0与双曲线C：－＝1的一条渐近线平行，∴＝.②
由①②解得a＝3，
∴双曲线C的实轴长为2a＝6.

抛物线
[过双基]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线－＝1的右焦点，则此抛物线的方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝10x D．y2＝20x
解析：选D　双曲线－＝1的右焦点为(5,0) ，
由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0) ，
∵抛物线的焦点为双曲线－＝1的右焦点，
∴＝5，p＝10，
∴抛物线方程为y2＝20x.
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B.
C. D．0
解析：选B　点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，
故y＝.
3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选D　设点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，
又抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y,
则其准线方程为y＝－，
所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即|PF|的最小值为.
4．已知抛物线y2＝6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．
解析：可知抛物线y2＝6x的焦点F，设P(x，y)，x＞0.
由抛物线的定义，得点P到焦点的距离d1＝x＋＝x＋，
点P到y轴的距离d2＝x.
由x＋＝2x，解得x＝，∴该点的横坐标为.
答案：
[清易错]
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
1．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
∴2p＝，p＝，∴焦点为.
答案：

直线与圆锥曲线的位置关系
[过双基]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|＝ ·.
　
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　因为直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|＝________.
解析：由题意，可得焦点F(0,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8，过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋4＝12.
答案：12
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：双曲线的渐近线为bx±ay＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即＜1，
∴3b2＜a2，∴c2＝a2＋b2＜a2，∴e＝＜.
又e＞1，∴1＜e＜.
答案：
[清易错]
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).

一、选择题
1．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y＝8x2　　　　　　　　 B．y＝16x2
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D　根据题意知，点P(m,1)在x轴上方，则抛物线开口向上，
设其标准方程为x2＝2py，
其准线方程为y＝－，
由点P到焦点的距离为5，得1－＝5,
解得p＝8，
则抛物线的标准方程为x2＝16y.
2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．9 B．23
C．9或23 D．16－或16＋
解析：选C　由椭圆＋＝1的焦距为2，
可得，2＝2或2＝2，
解得m＝9或23.
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
4．若双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足·＝0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：选C　设P(x，y)，由已知得F1(－，0)，F2(，0)，
则(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－5＋y2＝0，
即x2＋y2＝5，与双曲线方程－y2＝1联立，
可得交点分别为，，
，，
它们构成一个长为，宽为的长方形，
所以四边形P1P2P3P4的面积为×＝.
5．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选D　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e＝＝，
即e2＝＝＝1＋＝10，所以＝3.
因为双曲线－＝1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A　由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选B　如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，
|PF1|＋|PF2|＝2a1，
|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.
设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，
化简得：(2－)a＋(2＋)a＝4c2，
即＋＝4.
又∵＋≥＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
二、填空题
9．(北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2.
答案：2
10．(全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
答案：5
11．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为__________．
解析：由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，
∴c2＝a2－b2＝5，
∴该椭圆的焦点坐标为.
设所求椭圆方程为＋＝1，a＞b＞0，
则c＝，又＝，得a＝5，∴b2＝25－5＝20.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．(西安中学模拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.

解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所以·＝－1.
答案：－1
三、解答题
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且函数y＝x2－的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
解：(1)由题意可得，2b＝2，所以b＝1.
联立＋y2＝1(a＞1)与y＝x2－，消去y，
整理得x4＋x2＋＝0，
根据椭圆C与抛物线y＝x2－的对称性，可得Δ＝2－4×＝0，a＞1，解得a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，S△PMN＝×2b×a＝2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN＝×2a×b＝2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为y＝kx，由
解得x2＝，y2＝.
∴|MN|＝2＝4 .
由题意可得，线段MN的中垂线方程为y＝－x，
联立可得x2＝，y2＝.
∴|OP|＝＝2 .
∴S△PMN＝·|MN|·|OP|＝≥＝，当且仅当k＝±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为.
∵2>，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为y＝±x.

14.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得
|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1,0)，
所以kGA＝＝，
kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
高考研究课(一)
椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
椭圆的标准方程
5年2考
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
5年5考
求离心率，求参数
直线与椭圆的位置关系
5年4考
弦长问题、面积最值、斜率范围


椭圆的定义及标准方程
[典例]　(1)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(大庆模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析]　(1)由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cos∠F2PF1＝
＝＝－.
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝.

(2)设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F(－2，0)，得c＝2.
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，
知PF1⊥PF.
在Rt△PF1F中，由勾股定理，
得|PF1|＝＝ ＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，
从而a＝6，得a2＝36，
于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．　　
[即时演练]
1．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选D　∵椭圆方程为＋＝1，
∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，
连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，
得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，
可得|PB|＝4－|PB′|，
因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)
＝4＋(|PA|－|PB′|)．
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，
∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.
当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案：3

椭圆的几何性质
[典例]　(1)(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

①若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
②若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，求椭圆离心率e的取值范围．
[解析]　(1)将y＝代入椭圆的标准方程，
得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
[答案]　
(2)①由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
②如图，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，

得|QF1|＝＝|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，
解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而2＋2＝4c2，
两边除以4a2，得
＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，
则上式变成e2＝＝82＋.
由≤λ＜，并注意到t＝1＋λ＋关于λ单调递增，得3≤t＜4，即＜≤.
进而＜e2≤，即＜e≤.
所以椭圆离心率e的取值范围为.
[方法技巧]
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．　　
[即时演练]
1．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△F1PF2为直角三角形，则椭圆E的离心率为__________．
解析：作出示意图如图，由题可知，＝2，

即|PF2|＝2|PF1|，
又|PF2|＋|PF1|＝2a，
∴|PF1|＝ a，|PF2|＝a，
∴(2c)2＝2＋2，
即c2＝a2，∴e＝.
答案：
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
解析：∵点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F1PF2≤90°，∴tan∠OPF2≤1，∴≤1，c≤b，c2≤a2－c2，∴0＜e≤.
答案：

直线与椭圆的位置关系
[典例]　(天津高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c), △EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率；
②求椭圆的方程．
[思路点拨]　(1)由已知可得(c＋a)c＝，再结合b2＝a2－c2，求得离心率；
(2)①首先设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，再写出直线AE的方程，联立方程得到点Q的坐标，根据|FQ|＝c得到m的值，求得直线FP的斜率；
②联立直线FP的方程和椭圆方程，求得点P的坐标，再求|FP|，|PQ|，确定直线PM和QN都垂直于直线FP，根据平面几何关系求面积，求c，得出椭圆的方程．
[解]　(1)设椭圆的离心率为e.
由已知，可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，
可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0.
又因为0＜e＜1，解得e＝.
所以椭圆的离心率为.
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m＞0)，
则直线FP的斜率为.
由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，
即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，
可解得x＝，y＝，
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|＝c，有2＋2＝2，整理得3m2－4m＝0，所以m＝，即直线FP的斜率为.
②由a＝2c，可得b＝c，
故椭圆方程可以表示为＋＝1.
由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，
联立消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，解得x＝－(舍去)或x＝c.
因此可得点P，
进而可得|FP|＝ ＝，
所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.
由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP，
所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，
所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝，
同理△FPM的面积等于，
由四边形PQNM的面积为3c，
得－＝3c，整理得c2＝2c.
又由c＞0，得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
[方法技巧]
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．　　
[即时演练]
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，斜率为k的直线过右焦点F2，与椭圆交于A，B，与y轴交于C，B为CF2的中点，若|k|≤，则椭圆离心率e的取值范围为__________．
解析：椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，设椭圆的右焦点为F2 (c,0)，则直线的方程可设为y＝k(x－c)，
令x＝0，得y＝－kc，即C(0，－kc)．
由于B为CF2的中点，
∴B，又B为椭圆上的点，
∴＋＝1，
由b2＝a2－c2，e＝，
可得＋＝1，
∴k2＝.
∵|k|≤，∴k2≤，
即0≤≤.
又0＜e＜1, 解得≤e＜1.
答案：
2．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
解：(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，
故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，
直线PF2的斜率为.
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程为y＝－(x－1)．②
由①②解得x＝－x0，y＝，
所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又点P在椭圆E上，故＋＝1.
联立解得x0＝，y0＝；
联立无解．
因此点P的坐标为.

1．(全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
2．(全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
3．(全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.
4．(全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.
解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以＜k＜2.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，消去y，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
由得x＝，即xP＝.
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，
因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形，
当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当直线l的斜率为4－或4＋时，
四边形OAPB为平行四边形．

一、选择题
1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　　 B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A　x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，
∴＞2，解得0＜k＜1.
∴实数k的取值范围是(0,1)．
2．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
解析：选C　∵直线2kx－y＋1＝0恒过定点P(0,1),
直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，
即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上，
∴＋≤1，即m≥1,
又m≠9，∴1≤m＜9或m＞9.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图所示，把x＝－c代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，
可得P，
又A(0，b)，B(a,0)，F2(c,0)，
∴kAB＝－，kPF2＝－，
∵PF2∥AB，∴－＝－，化简得b＝2c.
∴4c2＝b2＝a2－c2，即a2＝5c2，∴e＝ ＝.
4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2 ，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选A　设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c,
由椭圆与双曲线的定义可知，
|AF1|＋|AF2|＝2a1,
|AF1|－|AF2|＝2a2,
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝30°，
则|AF2|＝|F1F2|＝c，|AF1|＝|F1F2|＝c,
所以2a1＝(＋1)c,2a2＝(－1)c，
即e1＝＝，e2＝＝，
所以e1·e2＝×＝2,
即椭圆与双曲线的离心率之积为2.
5．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若· <0，则x0的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3.又∵＋y＝1，
∴·＝x＋1－－3<0，
解得－ 6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　由已知得c＝5，
设椭圆的方程为＋＝1，
联立得
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由根与系数关系得x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，
所以该椭圆方程为＋＝1.
二、填空题
7．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0 解析：设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，
由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，
解得b2＝，
故椭圆方程为x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
8．已知过点M(1，－1)的直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为____________________．
解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2),
由中点坐标公式可知：x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2,
则
两式相减得：＋＝0，
则＝－＝，
所以直线AB的斜率k＝＝，
所以直线l的方程y＋1＝(x－1)，
即3x－4y－7＝0.
法二：由点M是AB的中点，可设A(1＋m，－1＋n)，
B(1－m，－1－n),
则＋＝1，①
＋＝1，②
两式相减得：m－n＝0，即＝，
所以直线AB的斜率k＝＝，
则直线l的方程y＋1＝(x－1)，
即3x－4y－7＝0.
答案：3x－4y－7＝0
9．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是________．
解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，
所以只需求△F1PQ面积的最大值．
设直线l的方程为x＝my＋1，
联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
于是S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝＝12.
设m2＋1＝t，则t≥1，
即S△F1PQ＝12＝12.
因为g(t)＝9t＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
所以g(t)≥g(1)＝10，
所以S△F1PQ≤3，所以内切圆半径r＝≤，
因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.
答案：π
三、解答题
10．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－1，e)在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点，△MF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F2作不与坐标轴垂直的直线l，设l与圆x2＋y2＝a2＋b2相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，当·＝λ且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．
解：(1)由△MF1F2是等腰直角三角形，得b＝c，a2＝2c2＝2b2，从而得到e＝，故而椭圆经过点，
代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝1，a2＝2，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，
由题意，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得(t2＋1)y2＋2ty－2＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)
＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(ty1＋2)(ty2＋2)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4
＝－2－＋4＝.
∵·∈，∴≤≤1，
解得t2∈.
由消去x，得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0.
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－，
∴S△F1CD＝|F1F2|·|y3－y4|＝
＝ ＝ .
设t2＋1＝m，则S＝ ＝ ，
其中m∈，
∵S关于m在上为减函数，
∴S∈，
即△F1CD的面积的取值范围为.
11．已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A1，A2是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
解：(1)由题意可知2a＝2，则a＝，设P(x0，y0)，
∵直线PA2与OM的斜率之积恒为－，
∴·＝－，
∴＋y＝1，∴b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Q(x0，y0)．
联立消去y，
得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0,
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴x0＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
∴AB的中点Q，
∴QN的直线方程为y－＝－.
令y＝0，得x＝－，
∴N，由已知得－＜－＜0，
∴0＜2k2＜1，
∴|AB|＝·
＝·
＝·＝.
∵＜＜1，
∴|AB|∈，
故线段AB长的取值范围为.
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
解：(1)由题意可得2c＝2，即c＝，
又e＝＝，解得a＝， b＝＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由直线l过点D(1,0)且垂直于x轴，设A(1，y1)，B(1，－y1)，
则直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．
令x＝3，可得M(3,2－y1)，
所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直线BM与直线DE平行．
理由如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)知kBM＝1.
又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE;
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2),
则直线AE的方程为y－1＝(x－2)．
令x＝3，得M，
所以直线BM的斜率kBM＝.
联立消去y，
得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为kBM－1
＝
＝
＝＝0，
所以kBM＝1＝kDE，即BM∥DE.
综上所述，直线BM与直线DE平行.

　已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|＝.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．
解：(1) 当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，
∴|PF|＝＝，
又c＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝，b＝1.
∴椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，
联立椭圆方程得：(2k2＋1)x2＋4kbx＋2(b2－1)＝0，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2),
则
由·＝0，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(k2＋1)x1x2＋(kb－1)(x1＋x2)＋b2＋1＝0，
代入化简得3b2－1＋4kb＝0.④
由y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝，
得C，
∴线段PQ的中垂线AB的方程为
y－＝－.
令y＝0，x＝0，可得A，B，
则A为BC中点，
故＝＝2＝＝2.
由④式得，k＝，则xA＝＝，
∴＝2＝＝，解得b2＝3.
∴b＝，k＝－或b＝－，k＝.
经检验，满足条件①②③，
故直线PQ的方程为y＝x－或y＝－x＋.
高考研究课(二)
双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
双曲线的定义及标准方程
5年1考
求双曲线的标准方程
双曲线的几何性质
5年5考
由离心率求渐近线、求离心率、求实轴长范围问题
直线与双曲线的位置关系
未独立考查



双曲线的定义及标准方程
[典例]　(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4　　　　　　　　　B．8
C．24 D．48
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B．x2－＝1
C．y2－＝1 D．x2－＝1
[解析]　(1)由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2，
又|PF1|＝|PF2|，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又|F1F2|＝2c＝10，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
△PF1F2为直角三角形．
∴△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
(2)由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
得e＝＝2，即c＝2a.
又由右焦点到一条渐近线的距离为，得b＝，
因为c2＝a2＋b2，即4a2＝a2＋3, 所以a2＝1，
故双曲线的方程为x2－＝1.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]
解双曲线定义及标准方程有关问题的2个注意点
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一非零常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．　　
[即时演练]
1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选B　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知，|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
2．已知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的焦距为__________．
解析：由双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，可得＝4，解得a＝，则b＝2，c＝5.
故双曲线的焦距为10.
答案：10

双曲线的几何性质(渐近线与
离心率问题)
双曲线的渐近线与离心率问题是高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)已知离心率求渐近线方程；
(2)由离心率或渐近线求双曲线方程；
(3)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率．
角度一：已知离心率求渐近线方程
1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C　因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝ ＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程
2．(全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率
3．双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝a与双曲线M的渐近线交于点P，若sin∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率为__________．
解析：如图，设双曲线右顶点为A，点P在第一象限内， 双曲线M的渐近线方程为y＝x，
∴P(a，b)，又F1(－c,0)，A(a,0)，
∴|PA|＝b，|F1A|＝a＋c.
∵sin∠PF1F2＝，∴tan∠PF1F2＝＝，
∴＝，b＝(a＋c)，
又b2＝c2－a2，∴(a＋c)2＝c2－a2，
即7c2－2ac－9a2＝0，∴7e2－2e－9＝0，
解得e＝(舍去)或e＝－1.
答案：
[方法技巧]
解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．　　

直线与双曲线的位置关系
[典例]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D都在以点A(0，－1)为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围．
[思路点拨]　(1)设双曲线C的焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
(2)将直线l的方程代入双曲线的方程，可得x的二次方程，运用根与系数的关系和判别式大于0，由中点坐标公式可得CD的中点M的坐标，由题意可知直线l与直线AM垂直，运用两直线垂直的条件：斜率之积为－1，可得k，m的关系式，代入判别式大于0的式子，解不等式即可得到m的取值范围．
[解]　(1)设双曲线C的焦距为2c,
由题意得2c＝4，＝，
所以c＝2，a＝，b＝＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立消去y，
得(3k2－1)x2＋6kmx＋3(m2＋1)＝0,
则
即(※)
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段CD的中点为M(x0，y0),
因为x1＋x2＝，
所以x0＝，y0＝kx0＋m＝，
所以点M，
可得直线AM的斜率为kAM＝＝，
由题意知，直线l与直线AM垂直，所以kAM·k＝－1，
即·k＝－1,
化简得3k2＝4m＋1，因为3k2＞0，
所以4m＋1＞0，解得m>－.
将3k2＝4m＋1代入(※)式得
解得－ 故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
[方法技巧]
直线与双曲线的位置关系判断方法和一个技巧
(1)判断方法
直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
(2)一个技巧
对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．　　
[即时演练]
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．
解：(1)由题可知a＝b，所以c＝a＝b＝2，
故a＝b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)由题意知|OA|＝c，又OA的倾斜角为30°，
所以A，
代入双曲线方程得，－＝1，
结合c2＝a2＋b2，可得3c4－8a2c2＋4a4＝0，
解得e2＝2或e2＝(舍去)，
又e>1，所以e＝.

1．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．(全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选A　依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝ ＝＝2.
3．(全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝.
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
4．(全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A　由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.

解析：选D　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.
6．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若· <0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－ 7．(全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
8．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，

由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
答案：12
9．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，

∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图所示)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1

一、选择题
1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
解析：选B　由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4.
2．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－a B．m2－a2
C. D.－
解析：选B　由题意，不妨设P在双曲线的右支上，
则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，
∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　双曲线C1：2x2－y2＝1，即－y2＝1，
所以左顶点A，
渐近线方程y＝±x，
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为
y＝，即y＝x＋1.
解方程组得
所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S＝|OA|·|y|＝××＝.
4．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|＝，则E的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　如图，设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，
则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|＝，|QF2|＝|MF2|，
由双曲线的对称性可得，
|AF1|＝|AF2|＝|AQ|＋|QF2|＝＋|QF2|，
由双曲线的定义可得，
|PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PM|－|MF2|
＝＋|QF2|＋|AN|＋|NP|－|PM|－|MF2|
＝2＝2a，
解得a＝，又|F1F2|＝6，则c＝3，
故离心率e＝＝.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　将x＝c代入双曲线方程可得|y|＝，因为以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为，又双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以＝，化简可得a＝b，则双曲线的离心离为.
6．(东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos 120°＝12c2，所以|PF1|＝2c.由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2(－1)c.故双曲线的离心率e＝＝＝.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设|PF1|－|OA|＝m，则＝＝m＋＋6a≥12a，
当且仅当m＝3a时取等号，∴|PF1|＝4a，
∴4a≥c－a，∴5a≥c，
∴25a2≥a2＋b2，∴≤2，
设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，
则0＜tan α≤2，∴cos α≥，
∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为.
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作与x轴垂直的直线l与两条渐近线相交于A，B两点，P是直线l与双曲线的一个交点．设O为坐标原点，若有实数m，n，使得＝m＋n，且mn＝，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±x，
则A，B，
所以＝m＋n＝，
可得P，
代入双曲线方程－＝1，
得－＝1，
由e＝，整理得：4e2mn＝1，
又mn＝，所以e＝.
二、填空题
9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为.
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
则F1(－2,0)，F2(2,0)，
故四边形F1PF2Q的面积是
|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
答案：2
10．(山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p
＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率e＝__________.
解析：设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，F2(c,0)到渐近线的距离为d＝|PF2|＝＝b，cos∠POF2＝＝，
在△POF1中，|PF1|2＝|PO|2＋|OF1|2－2|PO|·|OF1|·cos∠POF1＝a2＋c2－2ac·＝3a2＋c2，
则|PF1|2－|PF2|2＝3a2＋c2－b2＝4a2＝c2，
∴e＝＝2.
答案：2
12．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线的离心率e的取值范围为__________．
解析：设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(c,0)，
将x＝c代入双曲线－＝1，得y＝±，
令A，B，
∴|AB|＝.将x＝c代入y＝±x，得y＝±，
令C，D，
∴|CD|＝.
∵|AB|≥|CD|，∴≥·，即b≥c，
则b2＝c2－a2≥c2，
即c2≥a2，∴e2＝≥，即e≥.
答案：
三、解答题
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
∴解得c＝3，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为
y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝× ＝.
14．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2＜1且k2≠.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.

1．(江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t A. B.
C．2 D.
解析：选B　由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝，所以e1＝，e2＝，所以e1e2＝1.因为e1＋e2＝e1＋＝＋在x∈(0,1)上单调递减，所以e1＋e2>＋＝.因为对任意x∈(0,1)，不等式t 2．设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2>2，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设M(x0，y0)，A1(0，a)，A2(0，－a)，
则kMA1＝，kMA2＝，
∴kMA1·kMA2＝ >2.(*)
又点M(x0，y0)在双曲线－＝1上，
∴y＝a2，代入(*)式化简得，＞2，
∴＜，
∴＝e2－1＜，
解得1＜e＜.
3．已知双曲线－＝1与点M(5,3)，F为右焦点，若双曲线上有一点P，则|PM|＋|PF|的最小值为__________．
解析：双曲线－＝1，焦点在x轴上，a＝3，b＝3，c＝＝6.
∴双曲线的离心率e＝＝2，右准线l：x＝＝，
过P作PN⊥l于点N，

由双曲线的第二定义可知：＝e，
∴|PF|＝e|PN|＝2|PN|,
∴|PN|＝|PF|，
因此|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PN|，
当且仅当M，N，P三点共线时，|PM|＋|PF|＝|MN|时取得最小值，
∴|PM|＋|PF|的最小值为5－＝.
答案：
高考研究课(三)
抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
抛物线的标准方程
未独立考查

抛物线的几何性质
5年6考
焦半径、弦长、面积等问题
直线与抛物线的位置关系
5年2考
抛物线的切线、存在性问题


抛物线的标准方程及几何性质
[典例]　(1)(宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x　　　　　　　　 B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
(2)(兰州双基过关考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32
[解析]　(1)若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
(2)设抛物线的准线方程为x＝－(p＞0)，则根据抛物线的性质有＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
1．求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．　　
2．记住与焦点弦有关的5个常用结论
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，有以下结论：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
[即时演练]
1．(辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率为(　　)
A．2 B．2
C．±2 D．±2
解析：选C　如图，当点A在第一象限．
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，
过A作EB的垂线，垂足为C，
则四边形ADEC为矩形．
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|AF|＝2|BF|，
∴|AD|＝|CE|＝2|BE|，即B为CE的中点，
∴|AB|＝3|BC|.
在Rt△ABC中，|AC|＝2|BC|，
∴直线l的斜率为2.
当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为－2，
∴直线l的斜率为±2.

抛物线的定义及应用　　　　　
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.,常见的命题角度有：
(1)到焦点与定点距离之和最小问题；
(2)到焦点与动点距离之和最小问题；
(3)焦点弦中距离之和最小问题.
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(2,2)
解析：选D　过M点作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
角度二：到焦点与动点距离之和最小问题
2．(邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
答案：5
角度三：焦点弦中距离之和最小问题
3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案：2
[方法技巧]
与抛物线有关的最值问题的2个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．　　

直线与抛物线的位置关系
[典例]　(浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[思路点拨]　(1)由两点求斜率公式可得AP的斜率为x－，又－ (2)先求出直线AP与BQ的方程，联立可得点Q的横坐标，再求出|PA|·|PQ|的表达式f(k)，结合(1)中结论利用f(k)的单调性求得|PA|·|PQ|的最大值．
[解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－ 所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为－.
则直线AP的方程为y－＝k，
即kx－y＋k＋＝0，
直线BQ的方程为y－＝－，
即x＋ky－k－＝0，
联立
解得点Q的横坐标xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
[方法技巧]
直线与抛物线位置关系问题的求解策略
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．　　
[即时演练]
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1.
(1)求C的方程；
(2)若S△BOF＝S△AOD，求l的方程．
解：(1)抛物线C：x2＝2py的焦点为F0，，准线方程为y＝－，
由抛物线的定义，可知|BF|等于点B到准线的距离．
又因为点B到x轴的距离比|BF|小1，
所以点B到x轴的距离比点B到准线的距离小1，
故＝1，解得p＝2，所以C的方程为x2＝4y.
(2)由(1)得C的焦点为F(0,1)，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.
联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
设点O到直线l的距离为d，
则S△BOF＝d·|BF|，S△AOD＝d·|AD|.
又S△BOF＝S△AOD，所以|BF|＝|AD|.
又A，B，D，F在同一直线上，所以x1－＝x2，
即x2－x1＝，
因为(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16k2＋16，
所以16k2＋16＝2，
整理，得16k4＋16k2－1＝0，
故k2＝，解得k＝±，
所以l的方程为y＝±x＋1.

1．(全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
解析：选A　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，
则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，
由消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
2．(全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2
C．2 D．3
解析：选C　依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|＝|MF|＝＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
3．(全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.
4．(全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
6．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2

解析：选C　过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.
7．(全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：

如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
8．(全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P.

又N为M关于点P的对称点，
故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．

一、选择题
1．若点P到直线x＝－3的距离比它到点(2,0)的距离大1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆　　　　　　　　　　　 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可得x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以p＝2.
3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋| |＋| |的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
4．已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D　∵F是抛物线x2＝8y的焦点，∴F(0,2),
∵抛物线上的点A到x轴的距离为5，
∴|AF|＝5＋＝7.
5．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4.由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，直线l：y＝m(x－1)与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|＝3|FB|，则m的值为(　　)
A．3 B.
C. D.
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，得my2－4y－4m＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－4.
由|AF|＝3|BF|，可得y1＝－3y2，
所以－2y2＝，－3y＝－4，
解得m＝(m＝－舍去)．
二、填空题
7．(天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．
解析：由题意知该圆的半径为1，
设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)，
由题意得与的夹角为120°，
故cos 120°＝＝－，解得a＝，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
8．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，－1)满足·≥0，则p的取值范围是________．
解析：过M点作抛物线的两条切线，
设切线方程为y＝kx－1，
切点坐标为A(x0，y0)，B(－x0，y0)，
由y＝，得y′＝x，
则解得k＝± .
∵·≥0恒成立，∴∠AMB≤90°，即∠AMO≤45°，
∴|k|≥tan 45°＝1，即 ≥1，解得p≤2，
由p＞0，则0＜p≤2，
∴p的取值范围为(0,2]．
答案：(0,2]
9．已知点P在抛物线y＝x2上，点Q在圆C：(x－4)2＋2＝1上，则|PQ|的最小值为__________．
解析：∵点P在抛物线y＝x2上，∴设P(t，t2)，
∵圆(x－4)2＋2＝1的圆心C，半径r＝1，
∴|PC|2＝(4－t)2＋2＝t4＋2t2－8t＋，
令y＝|PC|2＝t4＋2t2－8t＋，则y′＝4t3＋4t－8，
由y′＝0，可得t3＋t－2＝0，解得t＝1.
当t＜1时，y′＜0，当t＞1，y′＞0，可知函数在t＝1时取得最小值，|PC|＝，
∴|PQ|的最小值为－1.
答案：－1
三、解答题
10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．
解：(1)设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，
∵圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x.
(2)依题意，直线AB的方程为y＝2x－4.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，联立
得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.
∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6.
11．已知动点P到点的距离比它到直线x＝－的距离小2.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)记P点的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
解：(1)∵动点P到点的距离比它到直线x＝－的距离小2，
∴动点P到点的距离与它到直线x＝－的距离相等，
∴动点P的轨迹是以点为焦点的抛物线，
∴动点P的轨迹方程为y2＝2x.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4),
则直线AB的方程为y＝k1(x－2)，代入抛物线方程消去x，得y2－y－4＝0,
∴y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线AC，BD过点Q(1,0)，同理可得y1y3＝y2y4＝－2,
∴y3＝－，y4＝－，
∴k2＝＝＝－＝2k1，
∴＝2.
12．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|－|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为E.
(1)求双曲线C的渐近线方程和抛物线E的方程；
(2)过抛物线E的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M，N两点，当直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线E的焦点？
解：(1)由双曲线的定义可知，2a＝2，即a＝1.
∴双曲线的方程为x2－＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x.
又双曲线的右顶点坐标为(1,0)，即抛物线E的焦点坐标为(1,0)，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为(－1,0)．
设直线MN的斜率为k，则其方程为y＝k(x＋1)．
由得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.
∵直线MN与抛物线交于M，N两点，
∴k≠0，且Δ＝4(k2－2)2－4k4＞0，
解得－1＜k＜1，且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线焦点为F(1,0),
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF.
∴·＝－1，即y1y2＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
又x1＋x2＝－，x1x2＝1，yy＝4x1·4x2＝16且y1，y2同号，∴y1y2＝4，
∴＝－6，解得k＝±.
即直线的斜率等于±时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．

1．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F作斜率为的直线l，与抛物线C及其准线分别相交于A，B，D三点，则的值为(　　)
A．2或 B．3或
C．1 D．4或
解析：选D　抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A′，B′，
则直线AB的方程为y＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，整理得y2－py－p2＝0，
则y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，
设＝λ，则＝λ，
即－y1＝λy2，由＝＋＋2＝－，
∴－λ－＋2＝－，整理得4λ2－17λ＋4＝0，
解得λ＝4或λ＝.

当λ＝4时，如图所示，|AF|＝4|BF|，则|AB|＝5|BF|.
由抛物线的定义可知：|BF|＝|BB′|，
由直线AB的斜率为，
得sin∠BDB′＝，
即sin∠BDB′＝＝，
∴|BD|＝|BB′|＝|BF|，|AD|＝|AB|＋|BD|＝|BF|，∴＝4.

当λ＝时，如图所示，4|AF|＝|BF|，则|AB|＝5|AF|，
由抛物线的定义可知：|AF|＝|AA′|，
由直线AB的斜率为，
得sin∠ADA′＝，即sin∠ADA′＝＝，
∴|AD|＝|AA′|＝|AF|，
|BD|＝|AB|＋|AD|＝|AF|，∴＝.
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过定点M(m,0)(m＞0)的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：＝λ，＝μ.
①当m＝时，求证：λ＋μ为定值；
②若点R是直线l：x＝－m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为kAR，kBR，kMR，是否存在常数s，使得kAR＋kBR＝s·kMR恒成立？若存在求出s的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当m＝＝1时，M(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，
可设直线AB的方程为x＝ty＋1(t≠0)，
可得N.
联立消去x，可得y2－4ty－4＝0，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
∵＝λ，＝μ，
∴y1＋＝λ(－y1)，y2＋＝μ(－y2)，
∴λ＋μ＝－1－ －1－＝－2－＝－2－＝－1.即λ＋μ为定值．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(－m，y3)，
直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为
x＝ty＋m.
联立消去x，可得y2－4ty－4m＝0，
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.
则kAR＝，kMR＝，kBR＝，
则kAR＋kBR＝＋
＝，
又y＝4x1，y＝4x2，代入可得
kAR＋kBR＝，
把y1＋y2＝4t，
y1y2＝－4m，
代入化简可得kAR＋kBR＝－＝2·kMR.
综上可得，存在常数s＝2，使三条直线AR，BR，MR的斜率满足kAR＋kBR＝2·kMR.
高考研究课(四)
圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
弦长问题
5年5考
求弦长、由弦长求参数
中点弦问题
5年2考
由弦中点求方程


直线与圆锥曲线的位置关系
[典例]　(1)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个　　　　　　　　B．2
C．1 D．0
(2)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)
A．k＞－ B．k＜
C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
[解析]　(1)∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，
∴＞2，
∴m2＋n2＜4.
∴＋＜＋＝1－m2＜1，
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
(2)由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
1．直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．直线与圆锥曲线位置关系的2个关注点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．　　
[即时演练]
1．(厦门模拟)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
解析：选D　直线l的方程为y＝，代入C：－＝1，整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．
2．(河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0) D．(－2,0)
解析：选A　因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.

弦长问题
[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，又l与直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
[解]　(1)由题意可得，b＝1，又＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a2＝2.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)联立解得A；
联立解得B.
又点A在第一象限，点B在第二象限，
∴可化为m2(1－4k2)＞0，
而m2＞0，∴0 又|AB|＝＝，原点到直线l的距离d＝为△OAB的底边AB上的高.
∴S△OAB＝××＝＝2，
∴m2＝1－4k2.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
把直线l的方程代入椭圆方程＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2＞0，∴k≠0.
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝.
∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－7.
∵0 ∴ ∈.
∴·∈.
故·的取值范围为.
[方法技巧]
处理弦长问题的2个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　　
[即时演练]
1．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与抛物线相交于P，Q两点，则＋＝(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选A　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则＋＝＋＝，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.
2.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2＋y2＝1相切于点Q.
(1)当直线MQ的方程为x－y－＝0时，求抛物线C1的方程；
(2)当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．
解：设点M，
由x2＝2py(p＞0)得，y＝，
求导得y′＝，
(1)∵直线MQ的斜率为1，
∴＝1且x0－－＝0，
解得p＝2.
∴抛物线C1的方程为x2＝4y.
(2)∵点M处的切线方程为y－＝(x－x0)，
即2x0x－2py－x＝0.
根据切线与圆相切，得d＝r，
即＝1，
化简得x＝4x＋4p2, 4p2＝x－4x＞0，
解得|x0|＞2.
由方程组解得Q.
由|MQ|＝|x0－xQ|
＝＝(x－2),
点F到切线MQ的距离
d＝＝＝，
则S1＝|MQ|·d＝(x－2)，
S2＝|OF|·|xQ|＝，
∴＝＝＝＝＋＋3≥2＋3，
当且仅当＝，
即x＝4＋2时取等号，此时p＝，
所以的最小值为3＋2.

中点弦问题　　　　
　　弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．
常见的命题角度有：
(1)由中点弦确定直线方程；
(2)由中点弦确定曲线方程；
(3)由中点弦解决对称问题．
角度一：由中点弦确定直线方程
1．在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为__________．
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得
两式相减得＋＝0，
所以＝－，
即－＝，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故该直线方程为y－2＝－(x－1)，
即9x＋32y－73＝0.
答案：9x＋32y－73＝0
角度二：由中点弦确定曲线方程
2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.
故抛物线的方程为x2＝2y或x2＝4y.
答案：x2＝2y或x2＝4y
角度三：由中点弦解决对称问题
3．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为__________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得，
(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.
∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，
∴P，
代入抛物线方程，得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合题意．
答案：0或－8
[方法技巧]
处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法
设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系
联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[提醒]　中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．　　

1．(全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c，0)．

设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝.
2．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1，消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，
即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，
所以b＝c＝3，a＝2，
故E的方程为＋＝1.
3．(全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，
于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即4＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
4．(全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
解：设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
(1)当t＝4时，
椭圆E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，
直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝，
得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，
得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，
因此t＝.
t>3等价于＝<0，
即<0.
因此得或
解得 故k的取值范围是(，2).

一、选择题
1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：选D　由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2,2)，故直线l的斜率为2.
2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为(　　)
A. B．0
C.或0 D．8或0
解析：选C　由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，
综上可知k＝0或.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由AB的中点为N(12,15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，
由
两式相减得：＝，
则＝＝.
由直线AB的斜率k＝＝1，
∴＝1，则＝，
∴双曲线的离心率e＝＝＝.
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝ (　　)
A. B.
C. D．2

解析：选D　如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.
5．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　如图，设A(－a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，－3m)．
则直线AM的方程为y＝x＋2m，直线BN的方程为y＝x－3m.
∵直线AM，BN的交点D(c，y0)，
∴＋2m＝－3m，则＝5，
∴双曲线的离心率为5.
6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
故当t＝0时，|AB|max＝.
二、填空题
7．焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，
且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．
解析：∵经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，
倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
∴＝tan 60°＝，即b＝a，
∴c＝＝2a，故e＝＝2.
答案：2
9．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立消去y，得x2－2x－4＝0.
则x1＋x2＝2，＝1.
∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝.
∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称，
∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，
即＝－2×1＋m，解得m＝.
答案：
三、解答题
10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝，又过左焦点F1(－c,0)作直线l交椭圆于两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．
解：(1)由题意可知|PQ|＝＝.①
又椭圆的离心率e＝＝ ＝，则＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知左焦点F1(－1,0),
依题意，直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，则直线AB的方程可设为y＝－x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(2k2＋3)x2－6kmx＋3k2m2－6k2＝0，
Δ＝(－6km)2－4×(2k2＋3)(3k2m2－6k2)＞0，
则m2k2－2k2－3＜0，③
x1＋x2＝，x1x2＝.
设AB的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝，yC＝.
∵点C在直线l上，∴＝k，
则m＝－2k－，④
此时m2－2－＝4k2＋＋10＞0与③矛盾，故k≠0时不成立.
当直线l的斜率k＝0时，A(x0，y0)，B(x0，－y0)(x0＞0，y0＞0)，
∴△AOB的面积S＝·2y0·x0＝x0y0.
∵＋＝1≥2 ＝x0y0，∴x0y0≤.
当且仅当＝＝时取等号．
∴△AOB的面积的最大值为.
11．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．
解：(1)抛物线E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义可知3－ ＝4，
解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，整理得 ＝(x1≠x2)．
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴直线l的斜率kAB＝＝＝－2，
∴直线l的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
法二：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，
由消去x，得y2－4my－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴＝＝－1，
解得m＝－，
∴直线l的方程为x＝－y＋1，即2x＋y－2＝0.
12．(海口调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．
解：(1)由题意可知
解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，
把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，
所以BD中点的坐标为，
则直线BD的垂直平分线方程为
y－＝－，得P.
又·＝0，
即·＝0，
化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，
解得k＝±.
故P或.

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x＝2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记λ＝，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为__________．
解析：∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，
∴解得a＝，b＝c＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0,
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞y2，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴λ＝＝
＝
＝
＝
＝＝ .
∵k≥，
∴当k＝时，λmax＝ ＝，
当k→＋∞时，λmin→，
∴λ的取值范围是.
答案：
2．已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x＝－2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
(3)在(2)的条件下，求△FPQ面积的最小值．
解：(1)由题意可知，动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x＝－1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线，
所以点M的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则点P的坐标为.
由题意可设直线l1的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
因为直线l1与曲线C交于A，B两点，
所以x1＋x2＝2＋，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.
所以点P的坐标为.
由题知，直线l2的斜率为－，同理可得点Q的坐标为(1＋2k2，－2k)．
当k≠±1时，有1＋≠1＋2k2，此时直线PQ的斜率
kPQ＝＝.
所以直线PQ的方程为y＋2k＝(x－1－2k2)，
整理得yk2＋(x－3)k－y＝0.
于是直线PQ恒过定点E(3,0)；
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E(3,0)．
综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)．
(3)由(2)得|EF|＝2，
所以△FPQ面积S＝|EF|
＝2≥4，
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
所以△FPQ面积的最小值为4.
高考研究课(五)
圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题
[全国卷5年命题分析]

考点
考查频度
考查角度
最值问题
5年2考
求面积最值
范围问题
5年2考
求面积的范围、求参数范围
证明问题
5年3考
证明直线过定点、证明定值、证明等式


最值问题
[典例]　(山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
[思路点拨]　(1)由离心率为，得a2＝2(a2－b2)，由椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2，得a2－＝2，求得椭圆的方程为＋＝1；
(2)由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，确定D，|ND|2＝，然后求的范围，即可得到sin∠NDF的范围，确定其最小值就可求出∠EDF的最小值．
[解]　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程消去y，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ＞0得m2＜4k2＋2.　(*)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D，
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝2＋2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3.
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，
所以y′＝1－.
当t≥3时，y′＞0，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由(*)得－＜m＜且m≠0，
故≥，
设∠EDF＝2θ，
则sin θ＝≥，
所以θ的最小值为.
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述：当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.
[方法技巧]
最值问题的3个求解方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．
(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．　　
[即时演练]
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(－1,0)，求△OPQ面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，
故c＝，
∴a2＝b2＋3.①
∵点在椭圆C上，
∴＋＝1.②
联立①②解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P，Q的中点为(x0，y0)，
将直线y＝kx＋m代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝16(1＋4k2－m2)＞0，()
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝kx0＋m＝.
∵(－1,0)是以PQ为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，
∴＝－，即3km＝1＋4k2，代入()得k2>.
又O到直线的距离为d＝，
则S△OPQ＝d|PQ|
＝··
＝ ＝ ，
当＝，即k＝±时，(S△OPQ)max＝1，
∴△OPQ面积的最大值1.

范围问题
[典例]　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为，过点E(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FA⊥FB(F为右焦点)，求t的取值范围.
[思路点拨]　(1)由椭圆的离心率公式，求得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，由椭圆的对称性可知：ME的直线方程为y＝x＋，代入椭圆方程，由Δ＝0，即可求得c值，求得a和b，得椭圆方程；
(2)设l的方程为x＝my＋t，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积的坐标运算，即可求得t的取值范围．
[解]　(1)由椭圆的离心率e＝＝，
得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，由椭圆的对称性知kME＝1，直线ME的方程为y＝x＋，
联立消去y，
整理得7x2＋8x＋28－12c2＝0，
由Δ＝(8)2－4×7×(28－12c2)＝0，得c＝1，
∴a＝2，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，
整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，
∴(m2＋1)(3t2－12)＋(mt－m)(－6mt)＋(t2－2t＋1)·(3m2＋4)＝0，
化简得7t2－8t－8＝9m2.
要满足题意，则7t2－8t－8＝9m2有解，
∴7t2－8t－8≥0，解得t≥或t≤.
∴t的取值范围为 ∪.
[方法技巧]
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．　　
[即时演练]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max·|QF|min＝.
(1)求椭圆的长轴与短轴的比值；

(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
解：(1)设F(c,0)，
则|PF|max＝a＋c，|QF|min＝a－c，
∴a2－c2＝.
∵b2＋c2＝a2，∴a2＝4b2，
∴长轴与短轴的比值为2a∶2b＝2.
(2)由(1)知a＝2b，可设椭圆方程为＋＝1.
依题意，直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝k(x－c)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y，
得(4k2＋1)x2－8k2cx＋4k2c2－4b2＝0，
则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2c)＝－，
∴M.
∵MD⊥PQ，设D(x3,0)，
∴·k＝－1，
解得x3＝，∴D.
∵△DMF∽△DOE，
∴＝＝＝>，
∴的取值范围为.

证明问题
[典例]　(北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
[思路点拨]　(1)根据条件可知a＝2，＝，以及b2＝a2－c2，求得椭圆C的方程；
(2)设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，根据条件求直线DE的方程，与直线BN的方程联立，求得两条直线的交点E的纵坐标，又＝，所以可将△BDE与△BDN的面积分别用点E，N的纵坐标表示出来即可得证．
[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
[方法技巧]
圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．　　
[即时演练]
(成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝× ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.

1．(2014·全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，
S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，
l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
2．(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由
得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
则四边形ACBD的面积
S＝|CD|·|AB|＝·.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
3．(全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．

1．已知A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，△DF1F2的周长为6，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P是圆x2＋y2＝7上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN.
解：(1)由△DF1F2的周长为6，得2a＋2c＝6，
由|AB|＝，得a2＋b2＝7，
又b2＋c2＝a2，∴a＝2，b＝，c＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：①当切线PM的斜率不存在或为零时，此时取P(2，)，
显然直线PN：y＝与直线PM：x＝2恰是椭圆的两条切线．
由圆及椭圆的对称性，可知PM⊥PN.
②当切线PM，PN斜率存在且不为零时，
设切线PM的方程为y＝k1x＋m，
PN的方程为y＝k2x＋t，P(x0，y0)(x0≠±2)，
由消去y，
得(4k＋3)x2＋8k1mx＋4(m2－3)＝0，
∵PM与椭圆C相切，
∴Δ＝64km2－16(4k＋3)(m2－3)＝0，
∴m2＝4k＋3.
∵y0＝k1x0＋m，∴m＝y0－k1x0，
∴(y0－k1x0)2＝4k＋3.
即(x－4)k－2x0y0k1＋y－3＝0；
同理(x－4)k－2x0y0k2＋y－3＝0，
∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0的两个根，
又∵点P在圆上，
∴x＋y＝7，
∴y＝7－x，
∴k1k2＝＝＝－1，
∴PM⊥PN.
综上所述，PM⊥PN.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
解：(1)由题意可知2b＝2，b＝1.
又椭圆C的顶点在圆M上，则a＝，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，
|AB|＋|CD|＝3；
当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为
y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
故|AB|＝·＝.
同理可得：|CD|＝，
∴|AB|＋|CD|＝.
令t＝k2＋1，则t＞1,0<<1，
∴|AB|＋|CD|＝＝＝，
当0<<1时，2＜－2＋≤，
∴≤|AB|＋|CD|＜3 ，
综上可知，≤|AB|＋|CD|≤3，
∴|AB|＋|CD|的最小值.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，P为C上的动点，且满足＝λ (λ>0)，||＝|1|，△QF1F2面积的最大值为4.
(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(m＞0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求S△F1MN的取值范围．
解：(1)由椭圆定义得：|F2Q|＝|F2P|＋|PQ|＝|F2P|＋|PF1|＝2a，
所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆．
当QF2⊥F1F2时，△QF1F2面积最大，
所以×2c×2a＝4，即ac＝2.
又＝，可得a＝2，c＝1.
所以点Q的轨迹E的方程为x2＋(y＋1)2＝16，椭圆C的方程＋＝1.
(2)由消去y，整理得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，则Δ＝36k2m2－4(3k2＋4)(3m2－12)＝0，
化简得3k2－m2＋4＝0，
即k2＝.
由k2＝≥0及m＞0，得m≥2.
设圆心F2(0，－1)到直线MN的距离为d，
则d＝＝ ，
所以弦长|MN|＝2＝2 .
设点F1(0,1)到直线MN的距离为h，
则h＝＝ ，
所以S△F1MN＝|MN|·h
＝ ＝ .
由m≥2，得 ∈[，)，
所以S△F1MN的取值范围为[，)．
4.如图，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线y＝kx＋m(k＞0)交椭圆于C，D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M，N两点(M，N不重合)，且|CN|＝|DM|，求k的值；
(3)在(2)的条件下，若m＞0，设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．
解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由|AB|＝4，|F1F2|＝2，可知a＝2，c＝，
则b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设D(x1，y1)，C(x2，y2)，易知N(0，m)，M，
由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ＞0，得4k2－m2＋1＞0，即m2＜4k2＋1，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
又|CM|＝|DN|，即＝，可得x1＋x2＝－，
即＝－，解得k＝.
(3)＝＝
＝＝＝2.
由题知，点M，F1的横坐标xM≥xF1，有－2m≥－，
则m∈，满足m2＜2.
即＝－＝－1＋，则∈(1,7＋4]，
所以的取值范围为(1,97＋56]．

　已知椭圆C：
＋＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P，Q(异于A1，A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2x0，y0)．
①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．
解：(1)由解得或
故椭圆C的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.
(2)①不妨取椭圆C的方程为＋y2＝1，A1(－2,0)，A2(2，0),
则MA1的方程为：y＝(x＋2)，
即x＝y－2，代入＋y2＝1,
得2＋y2＝1，
即y2－y＝0.
∴yP＝＝，
则xP＝·－2＝－2.
即P.
同理：MA2的方程为y＝(x－2)，
即x＝y＋2，代入＋y2＝1,
得2＋y2＝1，
即y2＋y＝0.
∴yQ＝＝.
则xQ＝·＋2＝＋2.
即Q.
②证明：设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
∵P，Q，B三点共线，∴kPB＝kQB，即＝.
∴＝，
即＝.
由题意知，y0≠0，
∴＝.
即3(x0＋1)(x0－1)2－(x0＋1)y＝(x0－1)(x0＋1)2－3(x0－1)y.
∴(2x0－4)(x＋y－1)＝0.
则2x0－4＝0或x＋y＝1.
若x＋y＝1，即＋y＝1，
则P，Q，M为同一点，不合题意．
∴2x0－4＝0，即点M始终在定直线x＝4上．
高考研究课(六)
圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
定点问题
未考查
直线过定点
定值问题
5年2考
证明斜率积为定值、证定值
探索性问题
5年2考
探索点的存在性问题


定点问题
[典例]　已知右焦点为F的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M，直线x＝a与抛物线C1：x2＝y交于点N，且＝，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点．若直线l与x轴垂直，过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点．
[解]　(1)设N(a，y0)，连接MN，由＝，得四边形OMNF为平行四边形，则y0＝，
将N代入抛物线方程，得a2＝4，
解得a＝2，
再将M代入椭圆方程，得＋＝1，
解得b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)，B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，－y1)．
联立消去y，整理得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.①
又直线AE的方程为y－y2＝(x－x2)，
令y＝0，得x＝x2－，
由y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4),
得x＝，
即x＝＝1，∴x＝1，
∴直线AE与x轴相交于定点(1,0)．
[方法技巧]
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．　　

[即时演练]如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a＞0，
将A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.
(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，
直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
联立
消去y，得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，
解得x＝2或x＝4k1－2，
因此点B，
同理可得C.
于是直线BC的斜率k＝＝＝k1＋k2－1，
又k1＋k2＝k1k2，所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·，
即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.
故直线BC恒过定点(2，－3).

定值问题
[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
[解]　(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，
直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝.
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
[方法技巧]
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．　　
[即时演练]
设抛物线C1：y2＝8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设N(0，－2)，过点P(1,2)作直线l，交椭圆C2于异于N的A，B两点．
①若直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值；
②以B为圆心，以BF2为半径作圆B，是否存在定圆M，使得圆B与圆M恒相切？若存在，求出圆M的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)．
令椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)①证明：当直线l的斜率不存在时，l：x＝1,
由得或
不妨取A，B，
此时，k1＝＋2，k2＝－＋2，所以k1＋k2＝4.
当直线l的斜率存在时，设l：y－2＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋(8k－4k2)x＋2k2－8k＝0，
则Δ＝(8k－4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，
得k＞0或k<－.
且x1＋x2＝，x1x2＝，
所以k1＋k2＝＋＝
＝
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋＝2k－(2k－4)＝4，
综上所述，k1＋k2＝4.
②存在定圆M，使得圆B与圆M恒相切，圆M的方程为(x＋2)2＋y2＝32，其圆心为左焦点F1.
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
所以|BF1|＝4－|BF2|，
所以两圆相(内)切.

探索性问题　　　
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：
(1)探索是否存在常数的问题；
(2)探索是否存在点或直线的问题；
(3)探索最值或定值的存在性问题.
角度一：探索是否存在常数的问题
1.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知，C(0，－b)，D(0，b)．
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·
＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
[方法技巧]
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．　　
角度二：探索是否存在点或直线的问题
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过焦点F的直线l的斜率为－1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由．
解：(1)设Q(x0,2)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋，
所以＋＝2×，
解得p＝2或p＝－2(舍去)，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)由已知得，直线l的方程为x＋y－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kMN＝＝，
∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴＝1.①
∵MN的中点T的坐标为，中点T在直线l上，∴＝－＋1.②
由①②可得y1＋y2＝4，y1y2＝4，
∴y1，y2是方程y2－4y＋4＝0的两个根，此方程有两个相等的根，
∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称.
[方法技巧]
探索是否存在直线时要注意判断直线的斜率是否存在．探究是否存在点时要注意利用特殊情况先判断再证明或直接判断．　　
角度三：探索最值或定值的存在性问题
3．(湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.

(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x与圆M相切，
所以＝，
化简得(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，所以k1·k2＝.
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，
即y＝3－x，所以k1k2＝＝－.
即k1k2为定值－.
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.
理由如下：
法一：(ⅰ)当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立解得
所以x＋y＝，同理得x＋y＝，
由k1k2＝－，
得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝9.
(ⅱ)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，
显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
法二：(ⅰ)当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为k1k2＝－，所以yy＝xx，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以即
所以＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝3，
所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
(ⅱ)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
[方法技巧]
解决探索性问题的注意事项
解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．　

1．(全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4，所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，
所以点P(0，－a)符合题意．

1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.
解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b＝1，
且e2＝＝＝ ，
解得a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)直线PQ恒过定点．
法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线PQ的方程代入x2＋4y2＝4，
消去y，整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.①
因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以·＝－1，
整理得 x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.②
因为y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2.③
将③代入②，整理得(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0.④
将①代入④，整理得5m2－2m－3＝0.
解得m＝－或m＝1(舍去)．
所以直线PQ恒过定点.
法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＝kx＋1.
将直线BP的方程代入x2＋4y2＝4，消去y，得 (1＋4k2)x2＋8kx＝0.
解得x＝0或x＝.
设P(x1，y1)，所以x1＝，y1＝kx1＋1＝，
所以P.
以－替换点P坐标中的k，可得Q.
从而，直线PQ的方程是＝.
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．
在上述方程中，令x＝0，解得y＝－.
所以直线PQ恒过定点.
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，
所以原点O到直线AB的距离为＝.
综上，原点O到直线AB的距离为定值.
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝，得＝，
即c＝a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，
且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，
所以a＝＝，代入①得c＝2，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，
使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，
则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
＝，
要使上式为定值，即与k无关，
只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
解得m＝，
此时， 2＋·＝m2－6＝－，
所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．
解：(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①
又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②
由①②可解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，
因为Δ＝16(12k2－3)>0，所以k2>，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，
即(1＋k2)·＋2k·＋4>0，
解得k2<.
又k2>，所以 解得－ 所以直线l的斜率k的取值范围为∪.
(3)证明：由(1)知椭圆C1的方程为＋＝1，
设P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
因为M，N不在坐标轴上，所以kPM＝－＝－，
直线PM的方程为y－y3＝－(x－x3)，
化简得x3x＋y3y＝，③
同理可得直线PN的方程为x4x＋y4y＝.④
把P点的坐标代入③④得
所以直线MN的方程为x0x＋y0y＝.
令y＝0，得m＝，令x＝0，得n＝，
所以x0＝，y0＝，
又点P在椭圆C1上，
所以2＋32＝4，即＋＝，为定值．

　已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若·＝0，||·||＝8.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过右焦点F2(，0) (不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P(x0,0)，使得·的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0),
则c＝，||2＋||2＝(2c)2＝20.
又||·||＝8，∴(||＋||)2＝||2＋||2＋2||·||＝36，
解得||＋||＝6，即2a＝6，
则a＝3，b2＝a2－c2＝4，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－)，代入椭圆方程并消元整理得，
(9k2＋4)x2－18k2x＋45k2－36＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－)(x2－)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋5]＝－，
所以·＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)
＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2
＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2
＝.
令·＝t，
则(9x－18x0＋29)k2＋4x－36＝t(4＋9k2)，
故9x－18x0＋29＝9t且4x－36＝4t，
解得x0＝，此时·的值为－.
当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝，代入椭圆方程解得A，B，
所以·＝·
＝－＝－，
综上，在x轴上存在一个定点P，使得·的值为定值.
阶段滚动检测(四)检测范围：第一单元至第十三单元
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x>3}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．[4，＋∞)　　　　　　　　 B．(4，＋∞)
C．(3,4] D．(3,4)
解析：选D　A＝{x|x>3}，B＝{x|1≤x<4}，则A∩B＝{x|3 2．若“∃x0∈[－1，m](m>－1)，|x0|－1>0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,1]
C．[1，＋∞) D．[0,1]
解析：选B　因为“∃x0∈[－1，m](m>－1)，|x0|－1>0”是假命题，所以“∀x∈[－1，m](m>－1)，|x|－1≤0”是真命题，所以|m|－1≤0且m>－1，所以－1 3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)
A．－7 B．－3
C．2 D．3
解析：选D　依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，由(a＋λb)·(2a－b)＝0，得2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2] B.
C．(0,2] D.
解析：选D　由题意可得f(log2a)≤f(1)，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，所以≤a≤2.
5．设P是左、右顶点分别为A，B的双曲线x2－y2＝1上的点，若直线PA的倾斜角为，则直线PB的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可得A(－1,0)，B(1,0)，直线PA：y＝－(x＋1)，与x2－y2＝1联立可得P(－2，)，所以直线PB的斜率k＝－，则直线PB的倾斜角为.
6．已知a，b，c均为正数，且(a＋c)(b＋c)＝2，则a＋2b＋3c的最小值为(　　)
A. B．2
C．4 D．8
解析：选C　因为a，b，c均为正数，且(a＋c)(b＋c)＝2，所以a＋2b＋3c＝(a＋c)＋2(b＋c)≥2＝4，当且仅当a＋c＝2(b＋c)，即a＝2b＋c时，a＋2b＋3c取得最小值为4.
7．函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数g(x)，若存在x0，使得|g(x0)|≤a成立，则a的最小值为(　　)
A．3 B．1
C．5 D．2
解析：选B　f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，则g(x)＝2sin 2x－3，则g(x)∈[－5，－1]，所以|g(x)|∈[1,5]，若存在x0，使得|g(x0)|≤a成立，则|g(x)|min≤a，所以1≤a，即a的最小值为1.
8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为＋π，则a的值为(　　)

A. B．1
C．2 D．3
解析：选B　由三视图可知，该几何体是组合体，一个是三棱锥，一个是半圆柱，所以该几何体的体积V＝××2a×1×a＋×πa2×2＝＋π，所以a＝1.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝ln，则ea7＋a8＋a9＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为Sn＝ln＝ln，由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，可得a7＋a8＋a9＝S9－S6＝ln－ln＝ln，所以ea7＋a8＋a9＝eln＝.
10．设直线xcos θ－ysin θ＋2cos θ＝0(θ∈[0，π))与关于x，y的不等式组所表示的平面区域有公共点，则θ的取值范围为(　　)
A.∪{0} B.
C.∪{0} D.∪{0}
解析：选A　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
当θ＝0时，直线为x＝－2，符合题意．当θ≠0时，直线可化为y＝(x＋2)，其恒过定点(－2,0)，要满足条件，
结合图易知≤1，解得θ∈，
综上，θ＝0或≤θ<π.
11．菱形ABCD的对角线相交于点O，其中AO＝，P是△BCD内(包括边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[15,20] B．[10,20]
C．[10，20] D．[5,10]
解析：选B　以O为原点，OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，)，C(0，－)，设P(x，y)，则＝(x，y－)，＝(0，－2)，·＝－2y＋10，当点P在△BCD内移动时，－≤y≤0，所以·∈[10,20]．
12．已知函数f(x)＝a－2ln x(a∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)>g(x0)成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选B　令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax－2ln x，因为“至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)>g(x0)成立”，所以h(x)＝f(x)－g(x)>0有解，即a>有解，所以a>min.令u(x)＝，则u′(x)＝≥0在[1，e]恒成立，∴u(x)min＝u(1)＝0，则a>0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．
解析：由抛物线方程可得焦点坐标为(－3,0)，所以c＝3，则a2＝c2－1＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和等于________．
解析：法一：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋a8＝15，a10－a9＝17，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1＋a3＝a5＋a7＝a9＋a11＝2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4＋a2＝8，a6＋a8＝24，a12＋a10＝40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
以上式子相加可得，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.
法二：由题意，当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，
两式相减得an＋2＋an＝2；
当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，
两式相加得an＋2＋an＝4n.
所以S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)
＝2×3＋4(2＋6＋10)＝78.
答案：78
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围为________．

解析：由已知得，C1(1,0)，C2(m，－m)，作出示意图如图所示，由题意可得|PA|2＝|PG|·|PC1|，
又|PA|2＝|PC1|2－2，
所以|PG|＝，
|AG|＝＝，所以S△PAB＝2×××＝1，令＝t(t≥0)，化简可得t3－t2－4＝0，解得t＝2，即＝2，所以|PC1|＝2，因为圆C2：(x－m)2＋(y＋m)2＝m2的点P到C1距离的最小值为|C1C2|－m＝－m, 最大值为|C1C2|＋m＝＋m，由－m≤2≤＋m，解得1≤m≤3＋2，所以正数m的取值范围为[1,3＋2]．
答案：[1,3＋2]
16．若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
解析：由题意可知，函数y＝f(f(x))－1的零点，即为f(f(x))－1＝0的解，则或则f(x)＝0或f(x)＝2，显然或解得x＝1或x＝4，故所求零点个数为2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值．
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由f＝2sin＝2sin A＝，且A为锐角，所以A＝.
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sin B＋sin C＝＝，
则b＋c＝×＝13，
所以cos A＝＝＝，
所以bc＝40.
18．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝k·3n－m，且a1＝3，a3＝27.
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)若anbn＝log3an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)证明：∵Sn＝k·3n－m，
∴S1＝a1＝3k－m＝3，a3＝S3－S2＝18k＝27，
解得k＝m＝，
则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－·3n－1＝3n.
又a1＝3，∴∀n∈N*，an＝3n，
则有＝3为常数，故由等比数列的定义可知，数列{an}是等比数列．
(2)∵anbn＝log3an＋1，∴bn＝，
则Tn＝＋＋＋…＋＋，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减，得
Tn＝＋－
＝＋－＝－，
所以Tn＝.
19．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1­AEF的体积．
解：(1)证明：∵B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，
∴B1B⊥AE.
∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.
∵B1B∩BC＝B，B1B⊂平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，
∴AE⊥平面B1BCC1.
∵AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)∵VB1­AEF＝VA­B1EF，AE＝，
S△B1EF＝S▱B1BCC1－S△B1BE－S△FEC－S△FB1C1
＝4－1－－1＝，
∴VB1­AEF＝VA­B1EF＝××＝.
20．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
解：(1)由题意，得解得
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，
则Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，且y1＋y2＝，y1y2＝，
∵＝λ，∴y1＝λy2.
∴＝＋＋2＝，
从而λ＋＋2＝.
由λ∈[－2，－1]，得∈，
从而－≤≤0，解得0≤k2≤.
∵＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)
＝，，
∴||2＝16－＋.
令t＝，≤t≤，
则||2＝8t2－28t＋16，
∵y＝8t2－28t＋16在上是减函数，
∴当t＝时，|QC|min＝2.
故对角线QC长度的最小值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆分别交于两点M，N，求·的取值范围．
解：(1)由题意知解得
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴，
则M，N，
∴＝，＝，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝＝－.
由k2≥0，可得·∈.
综合①②可知，·的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xex－asin xcos x(a∈R，其中e是自然对数的底数)．
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若对于任意的x∈，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极小值


所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝－，无极大值．
(2)①当a≤0时，由于对于任意x∈，有sin xcos x≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意；
②当0 所以函数f(x)在上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，即当0 ③当a>1时，f′(0)＝1－a<0，
f′＝e>0，
所以存在α∈，使得f′(α)＝0，且在(0，α)内，
f′(x)<0，
所以f(x)在(0，α)上为减函数，
所以f(x) 即当a>1时，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．