通用版高考数学(文数)一轮复习第15单元《统计与统计案例》学案(含详解)

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第十五单元 统计与统计案例
教材复习课“统计与统计案例”相关基础知识一课过

三种抽样方法
[过双基]
三种抽样方法
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等
从总体中逐个抽取

总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个数比较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
　
1．从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2c>a
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选D　依题意，这些数据由小到大依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，因此ab>a.
4．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝________.
解析：由数据表可得乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s2＝(1＋0＋0＋1＋0)＝.
答案：

变量间的相关关系、统计案例
[过双基]
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－.
(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
　
1．如图是根据x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是(　　)

A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析：选D　若变量x，y具有线性相关关系，那么散点就在某条直线附近，从左上到右下，或从左下到右上，故选D.
2．已知变量x，y取值如表所示：
x
0
1
4
5
6
y
1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x＋1，则m的值(精确到0.1)为(　　)
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
解析：选C　由题意知，＝3.2代入回归方程＝x＋1可得＝4.2，则4m＝4.2×5－(1.3＋5.6＋7.4)＝6.7，解得m＝1.675，则精确到0.1后m的值为1.7.
3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
解析：K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
答案：5%
[清易错]
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
　设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D　由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79kg，而不是具体值，因此D不正确.

一、选择题
1．(邯郸摸底)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝(　　)
A．660　　　　　　　　　　 B．720
C．780 D．800
解析：选B　由已知条件，抽样比为＝，
从而＝，解得n＝720.
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
解析：选A　依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B，知A正确．
3．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为(　　)
A．480 B．481
C．482 D．483
解析：选C　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
4．根据如下样本数据：
x
2
3
4
5
6
7
y
4.1
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝x＋，则(　　)
A.>0，>0 B.>0，0)，故x与y之间是正相关．
当x＝10时，＝2.1×10＋0.9＝21.9.

独立性检验
[典例]　(沈阳模拟)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？

(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828

[解]　(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗发病率为＝，注射疫苗发病率为＝.
作出发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．

(3)K2＝＝≈16.667＞10.828.
所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．
[方法技巧]
解独立性检验的应用问题的关注点
(1)两个明确
①明确两类主体；②明确研究的两个问题．
(2)两个关键
①准确画出2×2列联表；②准确计算K2.
[提醒]　准确计算K2的值是正确判断的前提．　　
[即时演练]
已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．

(1)求n的值；
(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
K2＝
解：(1)依题意得
解得b＝0.01.
因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n＝＝60.
(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，
设及格的人中，女生有x人，则男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．
于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：

及格
不及格
总计
男
22
8
30
女
26
4
30
总计
48
12
60
结合列联表计算可得K2＝＝1.667b′，>a′ B.>b′，a′ D.