2022新教材高中数学第4章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系素养作业北师大版必修第二册

第四章　1

A　组·素养自测

一、选择题

1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　B　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　∵α是第四象限角，∴sin α<0.

∵∴sin α＝－.

2．化简的结果为(　D　)

A．sin 220° B．cos 220°

C．－cos 220° D．－sin 220°

[解析]　＝|sin 220°|，又220°为第三象限角，所以sin 220°<0，故＝－sin 220°.

3．已知＝－，则＝(　A　)

A． B．－

C．2 D．－2

[解析]　由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．

4．若α为第三象限角，则＋的值为(　B　)

A．3 B．－3

C．1 D．－1

[解析]　∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，

∴原式＝－－＝－3.

5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　B　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

[解析]　(sin α＋cos α)2＝，

∴2sin αcos α＝－<0，

又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．

6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为(　B　)

A． B．

C．3 D．4

[解析]　由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，

又sin2α＋sin αcos α＝

＝＝＝.

二、填空题

7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝ 60° .

[解析]　∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.

8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝  .

[解析]　由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.

又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.

9．若＝1，则tan α的值为 3 .

[解析]　＝1化为＝1，

所以2tanα＋1＝3tan α－2，

所以tan α＝3.

三、解答题

10．(1)已知0<x<π，sin x＋cos x＝，求tan x的值；

(2)已知tan x＝2，求sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的值．

[解析]　(1)由sin x＋cos x＝，①

两边平方，得1＋2sin xcos x＝，则sin xcos x＝－.

∵0<x<π，∴<x<π，

∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝1＋2×＝，

∴sin x－cos x＝.②

由①②解得∴tan x＝－.

(2)由tan x＝2，

得sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x

＝

＝＝＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若π<α<，＋的化简结果为(　D　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　原式＝＋

＝＋＝，

∵π<α<，∴原式＝－.

2．若＝2，则sin θ·cos θ＝(　D　)

A．－ B．

C．± D．

[解析]　由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.

3．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　AB　)

A．＝2

B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2

C．若tan x＝，则＝1

D．若sin α＝，则tan α＝2

[解析]　A正确，＝·＝2；

B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；

C不正确，＝＝＝2；

D不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．

4．(多选)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是(　BC　)

A．tan α＝－

B．＝sin α－cos α

C．cos α＝－

D．＝sin α＋cos α

[解析]　由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，所以A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，所以B，C正确，D错．

二、填空题

5．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝  ，tan α＝ －1 .

[解析]　由题意可得解得

sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－1．

6．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝  .

[解析]　因为tan A＝>0，则∠A是锐角，则sin A>0，解方程组得sin A＝.

三、解答题

7．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；

(2)求证：·＝1．

[解析]　(1)解：因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0.

原式＝tan α＝tan α

＝tan α

＝·＝·＝－1．

(2)证明：·＝·

＝·＝＝＝1．

8．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.

(1)求k的值；

(2)求tan θ＋的值．

[解析]　(1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：

∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④

∴将②③代入④，得－＝1，

即9k2－8k－20＝0，解得k＝－或k＝2(舍去)．

∴k＝－.

(2)tan θ＋＝＋＝，

由(1)知sin θ·cos θ＝＝－，

∴tan θ＋＝＝－.