2022新教材高中数学第1章三角函数3弧度制素养作业北师大版必修第二册

第一章　3

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列说法中，错误的是(　D　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的

C．1 rad的角比1°的角要大

D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

[解析]　由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．

2．下列转化结果错误的是(　C　)

A．22°30′化成弧度是

B．－化成角度是－600°

C．－150°化成弧度是－

D．化成角度是15°

[解析]　对A,22°30′＝22.5°＝，正确；对B，－＝－×°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×＝－，错误；对D，＝×°＝15°，正确．

3．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为(　D　)

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．

4．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　D　)

A．－－8π B．π－8π

C．－10π D．π－10π

[解析]　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

又2π rad＝360°，315°＝π rad.

故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.

5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　D　)

A．

B．

C．

D．(k∈Z)

[解析]　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．

6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是(　C　)

A．tan 1 B．

C． D．

[解析]　

如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1．

在Rt△AOC中，OA＝＝.

∴扇形的面积S＝×2×＝.

二、填空题

7．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 －8π＋ .

[解析]　∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，

∴应填－8π＋.

8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为  .

[解析]　连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.

9．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为 0.5 m.

[解析]　因为分针20 min转过的角为，所以由l＝αr，得r＝＝＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.

三、解答题

10．如图，已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l(劣弧)及弧所在的弓形的面积S.

[解析]　由⊙O的半径r＝10＝AB知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝.

所以弧长l＝α·r＝×10＝，

所以S扇形＝lr＝××10＝，

而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，

所以S＝S扇形－S△AOB＝50.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　D　)

A．第一象限 B．第四象限

C．x轴上 D．y轴上

[解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，

∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．

当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．

2．(多选)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(　BC　)

A．扇形的面积不变

B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的4倍

D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

[解析]　α＝＝＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．

3．(多选)下列表述中正确的是(　ABC　)

A．终边在x轴上角的集合是

B．终边在y轴上角的集合是

C．终边在坐标轴上角的集合是

D．终边在直线y＝x上角的集合是

[解析]　终边在直线y＝x上角的集合应是α，D不正确，其他选项均正确．故选ABC．

4．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　D　)

A．α＋β＝0 B．α－β＝0

C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)

[解析]　∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，

∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．

∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.

∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．

二、填空题

5．已知θ∈，则θ的终边所在的象限是 第一或第二象限 .

[解析]　当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，

∴θ的终边在第一或第二象限．

6．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 　dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是  dm2.

[解析]　 所在的圆的半径是2，所对圆心角为，

所在的圆的半径是1，所对圆心角为，

所在的圆的半径是，所对圆心角是.

点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：

＋＋＝(dm)；

3段弧所对应的扇形总面积为：

＋＋＝(dm2)．

三、解答题

7．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．

[解析]　设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.

8．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．

(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；

(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．

[解析]　(1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，

所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.

由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，

所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.

所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.

(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.

所以两种方案中的扇形面积一样大．