高中北师大版 (2019)3.1 指数函数的概念第1课时复习练习题

第三章　§3　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列各函数中，是指数函数的是(　D　)

A．y＝x3　 B．y＝

C．y＝5x＋1　 D．y＝52x

[解析]　根据指数函数的定义：形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数叫作指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D．

2．函数y＝(－1)x在R上是(　D　)

A．增函数　 B．奇函数

C．偶函数　 D．减函数

[解析]　∵0＜－1＜1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．

3．函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是(　B　)

A．[0，1]　 B．[－1，0]

C．　 D．

[解析]　∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，

∴－1≤1－2x≤0，选B．

4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　C　)

A．原点对称　 B．x轴对称

C．y轴对称　 D．直线y＝－x对称

[解析]　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称，选C．

5．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　C　)

[解析]　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C．

6．若＜＜＜1，则(　D　)

A．a＜b＜0　 B．b＞a＞1

C．0＜b＜a＜1　 D．0＜a＜b＜1

[解析]　∵y＝在R上是减函数，＜＜＜1＝，∴0＜a＜b＜1．

二、填空题

7．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝__－1__，b＝__2__．

[解析]　根据指数函数的定义，得，解得．

8．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是__(1，2)__．

[解析]　由题意得0＜a－1＜1，∴1＜a＜2．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1．

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

[解析]　(1)因为函数图象过点，

所以a2－1＝，则a＝．

(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)．

由x≥0，得x－1≥－1，于是0＜≤＝2．

所以所求函数的值域为(0，2]．

10．求下列函数的定义域和值域．

(1)y＝3；

(2)y＝2x＋1．

[解析]　(1)由5x－1≥0，得x≥．

故所求函数定义域为．

由≥0，得y≥1．

故所求函数值域为{y|y≥1}．

(2)所求函数定义域为R，

由2x＞0，可得2x＋1＞1．

故所求函数值域为{y|y＞1}．

B　组·素养提升

一、选择题

1．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　B　)

[解析]　∵y＝a|x|为偶函数，

∴其图象关于y轴对称，当x＞0时，y＞1，与y＝ax(a＞1)的图象一致，故选B．

2．定义运算a*b＝如1*2＝1，则函数f(x)＝2x*2－x的值域是(　D　)

A．(0，1)　 B．(0，＋∞)

C．[1，＋∞)　 D．(0，1]

[解析]　由题意知函数f(x)的图象如图，

∴函数的值域为(0，1]，故选D．

3．(多选题)函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　CD　)

[解析]　当a＞1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0＜a＜1时，＞1，因此x＝0时，y＜0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选CD．

4．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　CD　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝

C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

[解析]　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；

f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；

f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．

二、填空题

5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x，则f＝__－2__．

[解析]　因为当x＞0时，f(x)＝4x，

所以f＝4＝2．

又因为f(x)是R上的奇函数，

所以f＝－f＝－2．

6．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝__或__．

[解析]　若a＞1，则函数y＝ax在区间[－1，2]上是递增的，

当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a＞1，所以a＝．

若0＜a＜1，则函数y＝ax在区间[－1，2]上是递减的，

当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝．

综上所述，a的值为或．

7．若函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1)的定义域、值域都是[0，2]，则实数a的值为____．

[解析]　当a＞1时，由题意得，解得a＝．

当0＜a＜1时，由题意得，无解．

综上可知a＝．

三、解答题

8．函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．

[解析]　(1)由已知得

∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x．

(2)函数g(x)为奇函数．

证明：g(x)＝，其定义域为R，

又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，

∴函数g(x)为奇函数．

9．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在区间[－2，2]上的函数值总小于2，求a的取值范围．

[解析]　当a＞1时，f(x)＝ax在[－2，2]上是增函数，

则f(x)max＝f(2)＝a2＜2，所以1＜a＜；

当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－2，2]上是减函数，

则f(x)max＝f(－2)＝a－2＜2，所以＜a＜1．

综上所述，a的取值范围是∪(1，)．