江苏省苏州市姑苏区2022年中考三模数学试题含解析
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这是一份江苏省苏州市姑苏区2022年中考三模数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁,解分式方程﹣3=时,去分母可得等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形,正确的选择为( )
A.① B.② C.③ D.④
2.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据:≈1.732,≈1.414)
A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里
3.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E,∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
4.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为1.若AA'=1,则A'D等于( )
A.2 B.3 C. D.
5.一球鞋厂,现打折促销卖出330双球鞋,比上个月多卖10%,设上个月卖出x双,列出方程( )
A.10%x=330 B.(1﹣10%)x=330
C.(1﹣10%)2x=330 D.(1+10%)x=330
6.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与A,B重合),则cosC的值为( )
A. B. C. D.
7.解分式方程﹣3=时,去分母可得( )
A.1﹣3(x﹣2)=4 B.1﹣3(x﹣2)=﹣4
C.﹣1﹣3(2﹣x)=﹣4 D.1﹣3(2﹣x)=4
8.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D
9.在平面直角坐标系中,点(2,3)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.如图,△ABC中,DE∥BC,,AE=2cm,则AC的长是( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a),如图,若曲线y=(x>0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围是_______.
12.如图,在同一平面内,将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起,则∠1的度数为_____.
13.同圆中,已知弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角是_____.
14.已知a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0,则a2﹣b2=_____.
15.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下列四个结论中正确的是_____(填写序号).
①如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根;
②如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同;
③如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1;
④如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根.
16.阅读下面材料:
数学活动课上,老师出了一道作图问题:“如图,已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”
小艾的作法如下:
(1)在直线l上任取点A,以A为圆心,AP长为半径画弧.
(2)在直线l上任取点B,以B为圆心,BP长为半径画弧.
(3)两弧分别交于点P和点M
(4)连接PM,与直线l交于点Q,直线PQ即为所求.
老师表扬了小艾的作法是对的.
请回答:小艾这样作图的依据是_____.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
18.(8分)解方程组.
19.(8分)如图,小巷左石两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米,梯子顶端到地面的距离AC为2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米,求小巷有多宽.
20.(8分)全面两孩政策实施后,甲,乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同,回答下列问题:甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是 ;乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率.
21.(8分)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.
22.(10分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(﹣2,1),B(1,n)两点.
求反比例函数和一次函数的解析式;根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
23.(12分)解方程:-=1
24.如图,在中,AB=AC,,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)∠EDB=_____(用含的式子表示)
(2)作射线DM与边AB交于点M,射线DM绕点D顺时针旋转,与AC边交于点N.
①根据条件补全图形;
②写出DM与DN的数量关系并证明;
③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系,(用含的锐角三角函数表示)并写出解题思路.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、C
【解析】
根据正方形的判定定理即可得到结论.
【详解】
与左边图形拼成一个正方形,
正确的选择为③,
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形的判定,是一道几何结论开放题,认真观察,熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.
2、B
【解析】
根据题意画出图如图所示:作BD⊥AC,取BE=CE,根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE,AD=DE,设BD=x,Rt△ABD中,根据勾股定理得AD=DE= x,AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30,解之即可得出答案.
【详解】
根据题意画出图如图所示:作BD⊥AC,取BE=CE,
∵AC=30,∠CAB=30°∠ACB=15°,
∴∠ABC=135°,
又∵BE=CE,
∴∠ACB=∠EBC=15°,
∴∠ABE=120°,
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE,AD=DE,
设BD=x,
在Rt△ABD中,
∴AD=DE= x,AB=BE=CE=2x,
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30,
∴x= = ≈5.49,
故答案选:B.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质,解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
3、C
【解析】
试题分析:∵FE⊥DB,∵∠DEF=90°,∵∠1=50°,∴∠D=90°﹣50°=40°,∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故选C.
考点:平行线的性质.
4、A
【解析】
分析:由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,根据△DA′E∽△DAB知,据此求解可得.
详解:如图,
∵S△ABC=9、S△A′EF=1,且AD为BC边的中线,
∴S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C',
∴A′E∥AB,
∴△DA′E∽△DAB,
则,即,
解得A′D=2或A′D=-(舍),
故选A.
点睛:本题主要平移的性质,解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.
5、D
【解析】
解:设上个月卖出x双,根据题意得:(1+10%)x=1.故选D.
6、D
【解析】
解:作直径AD,连结BD,如图.∵AD为直径,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,∵AD=10,AB=6,∴BD==8,∴cosD===.∵∠C=∠D,∴cosC=.故选D.
点睛:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.
7、B
【解析】
方程两边同时乘以(x-2),转化为整式方程,由此即可作出判断.
【详解】
方程两边同时乘以(x-2),得
1﹣3(x﹣2)=﹣4,
故选B.
【点睛】
本题考查了解分式方程,利用了转化的思想,熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
8、D
【解析】
先根据三角形的周长公式求出函数关系式,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围,然后选择即可.
【详解】
由题意得,2x+y=10,
所以,y=-2x+10,
由三角形的三边关系得,,
解不等式①得,x>2.5,
解不等式②的,x<5,
所以,不等式组的解集是2.5<x<5,
正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象.
故选:D.
9、A
【解析】
根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点,就可得出已知点所在的象限.
【详解】
解:点(2,3)所在的象限是第一象限.
故答案为:A
【点睛】
考核知识点:点的坐标与象限的关系.
10、C
【解析】
由∥可得△ADE∽△ABC,再根据相似三角形的性质即可求得结果.
【详解】
∵∥
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴AC=6cm
故选C.
考点:相似三角形的判定和性质
点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、
【解析】
因为A点的坐标为(a,a),则C(a﹣1,a﹣1),根据题意只要分别求出当A点或C点在曲线上时a的值即可得到答案.
【详解】
解:∵A点的坐标为(a,a),
∴C(a﹣1,a﹣1),
当C在双曲线y=时,则a﹣1=,
解得a=+1;
当A在双曲线y=时,则a=,
解得a=,
∴a的取值范围是≤a≤+1.
故答案为≤a≤+1.
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题,解此题的关键在于根据题意找到关键点,然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.
12、60°
【解析】
先根据多边形的内角和公式求出正六边形每个内角的度数,然后用正六边形内角的度数减去正三角形内角的度数即可.
【详解】
(6-2)×180°÷6=120°,
∠1=120°-60°=60°.
故答案为:60°.
【点睛】
题考查了多边形的内角和公式,熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键.
13、50°
【解析】【分析】直接利用圆周角定理进行求解即可.
【详解】∵弧AB所对的圆心角是100°,
∴弧AB所对的圆周角为50°,
故答案为:50°.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
14、1
【解析】
利用配方法把原式化为平方和的形式,根据偶次方的非负性求出a、b,计算即可.
【详解】
a2+b2﹣8a﹣4b+20=0,
a2﹣8a+16+b2﹣4b+4=0,
(a﹣4)2+(b﹣2)2=0
a﹣4=0,b﹣2=0,
a=4,b=2,
则a2﹣b2=16﹣4=1,
故答案为1.
【点睛】
本题考查了配方法的应用、非负数的性质,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.
15、①②④
【解析】
试题解析:①在方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac,在方程cx2+bx+a=0中△=b2-4ac,
∴如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根,正确;
②∵和符号相同,和符号也相同,
∴如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,正确;
③、M-N得:(a-c)x2+c-a=0,即(a-c)x2=a-c,
∵a≠c,
∴x2=1,解得:x=±1,错误;
④∵5是方程M的一个根,
∴25a+5b+c=0,
∴a+b+c=0,
∴是方程N的一个根,正确.
故正确的是①②④.
16、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
【详解】
解:依题意,AP=AM,BP=BM,根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点睛】
本题主要考查尺规作图,掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米
【解析】
(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;
(2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.
【详解】
解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,
∵AB⊥CD,sin30°=,BC=80千米,
∴CD=BC•sin30°=80×(千米),
AC=(千米),
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4(千米),
答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;
(2)∵cos30°=,BC=80(千米),
∴BD=BC•cos30°=80×(千米),
∵tan45°=,CD=40(千米),
∴AD=(千米),
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2(千米),
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千米).
答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
18、或.
【解析】
把y=x代入,解得x的值,然后即可求出y的值;
【详解】
把(1)代入(2)得:x2+x﹣2=0,
(x+2)(x﹣1)=0,
解得:x=﹣2或1,
当x=﹣2时,y=﹣2,
当x=1时,y=1,
∴原方程组的解是或.
【点睛】
本题考查了高次方程的解法,关键是用代入法先求出一个未知数,再代入求出另一个未知数.
19、2.7米.
【解析】
先根据勾股定理求出AB的长,同理可得出BD的长,进而可得出结论.
【详解】
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.2米,
∴AB2=0.72+2.22=6.1.
在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=1.5米,BD2+A′D2=A′B′2,
∴BD2+1.52=6.1,
∴BD2=2.
∵BD>0,
∴BD=2米.
∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.
答:小巷的宽度CD为2.7米.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
20、(1);(2)
【解析】
(1)根据可能性只有男孩或女孩,直接得到其概率;
(2)列出所有的可能性,然后确定至少有一个女孩的可能性,然后可求概率.
【详解】
解:(1)(1)第二个孩子是女孩的概率=;
故答案为;
(2)画树状图为:
共有4种等可能的结果数,其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3,
所以至少有一个孩子是女孩的概率=.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
21、证明见解析.
【解析】
过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.
【详解】
证明:如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°,
∵∠BCD=90°,
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D,
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE,
又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
22、 (1)y=,y=−x−1;(2)x
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