江苏省镇江市新区重点中学2021-2022学年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

3．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）

A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1

C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是10

4．若=1，则符合条件的m有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为(   )

A．1 B． C． D．

6．－5的倒数是

A． B．5 C．－ D．－5

7．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　）

A．10%x＝330 B．（1﹣10%）x＝330

C．（1﹣10%）2x＝330 D．（1+10%）x＝330

8．计算：的结果是(         )

A． B．． C． D．

9．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）

A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是_________．(填序号)

12．一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是_____．

13．《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为______．

14．化简:＝  __________.

15．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．

16．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是_____°．

17．若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为      .

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．

（1）求证：BP平分∠ABC；

（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．

19．（5分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．

（1）求证：DB=DE；

（2）若∠BDE=70°，求∠AOB的大小．

20．（8分）计算：解方程：

21．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．求证：AP=BQ；在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

22．（10分）如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．

求证：；若的半径，，求的长

23．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O．

（1）如图1，当旋转角为90°时，求BB′的长；

（2）如图2，当旋转角为120°时，求点O′的坐标；

（3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标．（直接写出结果即可）

24．（14分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；

（3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】

A．|a|与不是同类二次根式；

B．与不是同类二次根式；

C．2与是同类二次根式；

D．与不是同类二次根式．

故选C．

【点睛】

本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

2、D

【解析】

A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;

添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3;

∴平均数不发生变化.

B. ∵原众数是：3；

添加一个数据3后的众数是：3；

∴众数不发生变化；

C. ∵原中位数是：3；

添加一个数据3后的中位数是：3；

∴中位数不发生变化；

D. ∵原方差是：；

添加一个数据3后的方差是：；

∴方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

3、A

【解析】
根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.

【详解】

数据由小到大排列为1，2，6，6，10，

它的平均数为（1+2+6+6+10）=5，

数据的中位数为6，众数为6，

数据的方差= [（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1．

故选A．

考点：方差；算术平均数；中位数；众数．

4、C

【解析】
根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.

【详解】

=1

        m2-9=0或m-2= 1

       即m= 3或m=3,m=1

       m有3个值

故答案选C.

【点睛】

本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.

5、B

【解析】
直接利用概率的意义分析得出答案．

【详解】

解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，

故选B．

【点睛】

此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．

6、C

【解析】
若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

【详解】

解：5的倒数是．

故选C．

7、D

【解析】

解：设上个月卖出x双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D．

8、B

【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：原式=

=

=

故选；B

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

9、D

【解析】
连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案．

【详解】

连接CD，如图：

，CD=，AC=

∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°．

10、A

【解析】

试题分析：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE．

易求AE及△AED的周长．

解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．

∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm．

△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）．

故选A．

点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、②③④

【解析】

试题解析：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误；

∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF，∴②正确；

∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°，

∴四边形AEDF是矩形，

∵AE=AF，

∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；

∵AE=AF，DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确；

∴②③④正确，

12、60°或120°

【解析】
首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD的度数, 求得∠AOB的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.

【详解】

解：如图：

连接OA,过点O作OD⊥AB 于点D,

OA=2,AB=,AD=BD=,

AD:OA=:2,

∠AOD=,∠ AOB=,

∠AMB=,∠ANB=.

故答案为: 或.

【点睛】

本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.

13、

【解析】

分析：根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．

详解：由题意可得，，

故答案为

点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

14、a+b

【解析】
将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

【详解】

解：原式=

=

=

=a+b

【点睛】

此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15、1

【解析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．

【详解】

解：设利润为w元，

则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，

∵10≤x≤20，

∴当x＝1时，二次函数有最大值25，

故答案是：1．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

16、1

【解析】
由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB．

【详解】

解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，

∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'

∵A'B'⊥AC

∴∠A'+∠ACA'＝90°

∴∠ACA'＝1°

∴∠BCB'＝1°

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

17、0或－1。

【解析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：

当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点。

当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即。

综上所述，若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或－1。

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；
（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解决问题.

试题解析：

（1）连接OP，

∵AC是⊙O的切线，

∴OP⊥AC，

∴∠APO=∠ACB=90°，

∴OP∥BC，

∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠PBC=∠OBP，

∴BP平分∠ABC；

（2）作PH⊥AB于H．则∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，

又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，

∴△PBC≌△PBH ，

∴PC=PH=1，BC=BH，

在Rt△APH中，AH=，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2

∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，

即42+BC2=(+BC)2，

解得．

19、（1）证明见解析；（2）110°．

【解析】

分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠BED=∠ABD即可；

（2）因为△OAB是等腰三角形，属于只要求出∠OBA即可解决问题；

详解：（1）证明：∵DC⊥OA，

∴∠OAB+∠CEA=90°，

∵BD为切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBA+∠ABD=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠CEA=∠ABD，

∵∠CEA=∠BED，

∴∠BED=∠ABD，

∴DE=DB．

（2）∵DE=DB，∠BDE=70°，

∴∠BED=∠ABD=55°，

∵BD为切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBA=35°，

∵OA=OB，

∴∠OBA=180°-2×35°=110°．

点睛：本题考查圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20、 (1)10;(2)原方程无解.

【解析】
（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

（1）原式＝＝10；

（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，

解得：x＝2，

经检验：x＝2是增根，原方程无解．

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

21、（1）证明见解析；（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ.

【解析】

试题分析：（1）利用AAS证明△AQB≌△DPA，可得AP=BQ；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等可写出4对线段.

试题解析：（1）在正方形中ABCD中，AD=BA，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAP=90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP+∠DAP=90°，∴∠BAQ=∠ADP，∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB=∠DPA=90°，∴△AQB≌△DPA（AAS），

∴AP=BQ.（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ.

考点：（1）正方形；（2）全等三角形的判定与性质.

22、（1）见解析（2）5

【解析】
解：（1）证明：如图，连接，则．

∵，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形．

∴．

（2）连接，则．

∵，，，

∴，．

∴．

∴．

设，则．

在中，有．

∴．即．

23、（1）5；（2）O'（，）；（3）P'（，）.

【解析】
（1）先求出AB．利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；

（2）先判断出∠HAO'=60°，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH，OH，即可得出结论；

（3）先确定出直线O'C的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，由旋转知，BA=B'A，∠BAB'=90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'=AB=5；

（2）如图2，过点O'作O'H⊥x轴于H，由旋转知，O'A=OA=3，∠OAO'=120°，∴∠HAO'=60°，∴∠HO'A=30°，∴AH=AO'=，OH=AH=，∴OH=OA+AH=，∴O'（）；

（3）由旋转知，AP=AP'，∴O'P+AP'=O'P+AP．如图3，作A关于y轴的对称点C，连接O'C交y轴于P，∴O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时，O'P+AP的值最小．

∵点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣3，0）．

∵O'（），∴直线O'C的解析式为y=x+，令x=0，∴y=，∴P（0，），∴O'P'=OP=，作P'D⊥O'H于D．

∵∠B'O'A=∠BOA=90°，∠AO'H=30°，∴∠DP'O'=30°，∴O'D=O'P'=，P'D=O'D=，∴DH=O'H﹣O'D=，O'H+P'D=，∴P'（）．

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．

24、（1）等腰（2）（3）存在，

【解析】解：（1）等腰

       （2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

        ∴该抛物线的顶点满足．

        ∴．

       （3）存在．

        如图，作△与△关于原点中心对称，

        则四边形为平行四边形．

        当时，平行四边形为矩形．

         又∵，

        ∴△为等边三角形．

        作，垂足为．

        ∴．

        ∴．

        ∴．

        ∴，．

        ∴，．

        设过点三点的抛物线，则

             解之，得

        ∴所求抛物线的表达式为．