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人教版高考物理一轮总复习第7章第2讲电势能、电势和电势差课时学案
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这是一份人教版高考物理一轮总复习第7章第2讲电势能、电势和电势差课时学案，共14页。学案主要包含了电势能，电势差等内容，欢迎下载使用。
一、电势能、电势
1．电势能
(1)电场力做功的特点
电场力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
(2)电势能
①定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移到零势能位置时静电力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
2．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ＝ eq \f(Ep,q)。
3．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之电场强度越小。
思考辨析
1．电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。(√)
2．电场强度处处为0的区域内，电势一定也处处为0。(×)
3．电荷在电势越高的位置电势能越大吗？
提示：不一定，正电荷在电势越高处电势能越大，负电荷在电势越高处电势能越小。
(1)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
(2)沿着电场线的方向，电势降低最快。
(3)导体处于静电平衡状态的两大特点
①导体内部的电场强度处处为0。
②导体是一个等势体，导体表面是等势面。
二、电势差
1．定义：在电场中，两点之间电势的差值。
2．公式：UAB＝ eq \f(WAB,q)。
3．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
思考辨析
1．电势差是一个矢量，有正值和负值之分。(×)
2．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。(×)
3．电势差由什么来决定？与电场中有无试探电荷是否有关？与零电势位置的选取有关吗？
提示：电势差由电场中两点的位置决定；与有无试探电荷无关；与零电势位置的选取也无关。
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。即UAB＝Ed，也可以写作E＝ eq \f(UAB,d)。
2．公式UAB＝Ed的适用范围：匀强电场。
思考辨析
1．由公式E＝ eq \f(UAB,d)可知，匀强电场中电场强度E与电势差UAB成正比。
(×)
2．在匀强电场中，沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等。
(√)
3．V/m和N/C都是电场强度的单位，它们之间如何换算呢？
提示：1 V/m＝ eq \f(1 J,C·m)＝ eq \f(1 N·m,C·m)＝1 N/C。
考点1 电势能、电势和等势面(能力考点)
考向1 电场强度与电势的判断
eq \a\vs4\al(典例)(2020·全国卷Ⅱ)(多选)如图所示，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等，则( )
A. a、b两点的电场强度相等
B. a、b两点的电势相等
C. c、d两点的电场强度相等
D. c、d两点的电势相等
【自主解答】
ABC 解析：如图所示，为等量异种点电荷周围空间的电场线分布图。
本题的带电圆环可拆解成无数对这样等量异种点电荷的电场，沿竖直直径平行放置。它们有共同的对称轴PP′，PP′所在的水平面与每一条电场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为0，故在PP′上的点电势为0，即φa＝φb＝0，而从M点到N点，电势一直在降低，即φc>φd，故B正确，D错误；上、下两侧电场线对称分布，左、右两侧电场线也对称分布，由电场的叠加原理可知A、C正确。
【技法总结】
电势高低的判断方法
考向2 电势与电势能的判断
eq \a\vs4\al(典例)(2020·山东高考)(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。过O点作两正点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c点和b、d点，如图所示。以下说法正确的是( )
A. a点电势低于O点
B. b点电势低于c点
C. 该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D. 该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【自主解答】
BD 解析：由题意可知O点的合电场强度为0，根据同种电荷之间电场线的分布可知，aO之间电场线的方向由a到O，故a点电势高于O点电势，故A错误；同理，根据同种电荷电场线的分布可知，b点电势低于c点电势，故B正确；根据电场线的分布可知，负电荷从a点运动到b点电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在a点的电势能小于在b点的电势能，故C错误；同理，根据电场线的分布可知，负电荷从c点运动到d点电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故D正确。
【技法总结】
电势能大小的判断方法
1．(2020·全国卷Ⅲ)(多选)如图所示，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为 q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是( )
A. 沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C. 正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D. 将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负功
BC 解析：点电荷的电场以点电荷为中心，向四周呈放射状，如图所示。
∠M是最大内角，所以PN>PM，根据点电荷的电场强度公式E＝k eq \f(Q,r2)(或者根据电场线的疏密程度)可知，从M点到N点，电场强度的大小先增大后减小，故A错误；电场线与等势面(图中虚线)处处垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以从M点到N点，电势先增大后减小，B正确；M、N两点的电势大小关系为φM>φN，根据电势能的公式Ep＝qφ可知，正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，C正确；将正电荷从M点移动到N点，电势能减小，电场力所做的总功为正功，D错误。
2．(2021·辽宁模考)(多选)电荷量相等的四个点电荷分别固定于正方形的四个顶点，O点是正方形的中心，电场线分布如图所示，取无限远处电势为0。下列说法正确的是( )
A. 正方形右下角电荷q带正电
B. M、N、P三点中N点电场强度最小
C. M、N、P三点中M点电势最高
D. 负电荷在P点的电势能比在O点的电势能小
AC 解析：根据电场线的特点，正方形左上角电荷带正电，右上角电荷带负电，右下角电荷带正电，左下角电荷带负电，A正确；根据电场线的疏密可知，M、N、P三点中M点电场强度最小，B错误；依据对称性可知，O点电势为0，M点电势为0，N、P两点更接近负电荷，电势为负，所以三点中M点电势最高，C正确；将负电荷从P点移动到O点，电势升高，电场力做正功，电势能减少，所以负电荷在P点的电势能比在O点的电势能高，D错误。
考点2 电势差与电场强度的关系(基础考点)
1．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B两点连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势( )
A. φC＝10 V B. φC>10 V
C. φC<10 V D. 上述选项都不正确
C 解析：由于A、C两点之间的电场线比C、B两点之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC< eq \f(φA＋φB,2)，即φC<10 V，选项C正确。
2．(多选)如下列选项图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F两点三等分AB，G为AC的中点，则能正确表示该电场的电场强度方向的是( )
A B
C D
BC 解析：匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分。把AB等分为三段，A、B两点间的电势差为3 V，则每等份电势差为1 V，H点电势为4 V，F点电势为 3 V，将F、C两点相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC等分为两份，A、C两点间的电势差为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确。
3．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A. 电场强度的大小为2.5 V/cm
B. 坐标原点处的电势为1 V
C. 电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D. 电子从b点运动到c点，电场力做功9 eV
ABD 解析：ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的电场强度大小的分量分别为E1＝ eq \f(Uca,ac)＝2 V/cm、E2＝ eq \f(Ucb,bc)＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得 φO＝1 V，B项正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10 eV、－17 eV和－26 eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝(－17 eV)－(－26 eV)＝9 eV，D项正确。
1．公式E＝ eq \f(UAB,d) 的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场线方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．由E＝ eq \f(UAB,d) 可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝ eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示。
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且 AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
甲乙
3．解题思路
考点3 电场线、等势面和粒子轨迹结合问题(能力考点)
考向1 电场线与运动轨迹问题
eq \a\vs4\al(典例)(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M点和N点时的加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A. vM＜vN，aM＜aN B. vM＜vN，φM＜φN
C. φM＜φN，EpM＜EpN D. aM＜aN，EpM＜EpN
解决这类带电粒子在电场中运动的思路是：根据运动轨迹判断出所受电场力方向，然后进一步判断电势、电场强度、电势能、动能等物理量的变化。
【自主解答】
D 解析：同一电场中，电场线密的地方电场强度大，粒子受到的电场力大，所以aMφN，故B、C错误；又由Ep＝qφ和能量守恒定律知，带负电的粒子在电势越低的位置，具有的电势能越大，而动能越小，即EpMvN，故A错误，D正确。
【技法总结】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的判断方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向运动轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的电性判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增大。
考向2 等势面与运动轨迹问题
eq \a\vs4\al(典例)(多选)图中所示的虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定的初速度射入电场，实线为带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则该带电粒子( )
A. 带负电
B. 在c点受力最大
C. 在b点的电势能大于在c点的电势能
D. 由a点运动到b点的动能变化大于由b点运动到c点的动能变化
【自主解答】
CD 解析：由带电粒子进入正点电荷形成的电场中的运动轨迹可以看出两者相互排斥，故带电粒子带正电，选项A错误；根据库仑定律F＝k eq \f(q1q2,r2) 可知，a、b、c三点中，该带电粒子在a点时受力最大，选项B错误；带电粒子从b点运动到c点的过程中，电场力做正功，电势能减小，故在b点的电势能大于在c点的电势能，选项C正确；由于虚线为等间距的同心圆，故Uab>Ubc，所以Wab>Wbc，根据动能定理，带电粒子由a点运动到b点的动能变化大于由b点运动到c点的动能变化，选项D正确。
【核心归纳】
几种典型电场的等势面
1．(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若带电粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
A. 带正电
B. 速度先变大后变小
C. 电势能先变大后变小
D. 经过b点和d点时的速度大小相同
CD 解析：根据粒子的运动轨迹及等势面的分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a→c→e的过程中电势能先增大后减小，则粒子的动能先减小后增大，即速度先减小后增大，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，粒子在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确。
2．(2020·北京模拟)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则( )
A. a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B. M、N两点间的电势差|UMN|等于N、Q两点间的电势差|UNQ|
C. a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D. a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
D 解析：由题图可知，a粒子的运动轨迹方向向右弯曲，a粒子所受电场力方向向右，b粒子的运动轨迹向左弯曲，b粒子所受电场力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a粒子所受电场力逐渐减小，加速度逐渐减小，b粒子所受电场力逐渐增大，加速度逐渐增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度的大小大于NQ段电场强度的大小，所以M、N两点间的电势差 |UMN|大于N、Q两点间的电势差|UNQ|，故B错误；根据电场力做功公式 W＝qU，|UMN|＞|UNQ|，故a粒子从等势线2到等势线3的过程中电场力做的功小于b粒子从等势线2到等势线1的过程中电场力做的功，所以a粒子从出发到等势线3的动能变化量比b粒子从出发到等势线1的动能变化量小，故D正确。
eq \a\vs4\al(典例)(2020·石家庄模拟)如图所示，虚线为某匀强电场的等势面，电势分别为10 V、20 V和30 V，实线是某带电粒子在电场中运动的轨迹。不计带电粒子的重力，则该粒子( )
A. 带负电
B. 三点的动能大小关系Eka＜Ekc＜Ekb
C. 三点的电势能大小关系Epa＜Epc＜Epb
D. 一定是从a点运动到b点，再运动到c点
【自主解答】
C 解析：根据电场线与等势面垂直，且由高电势指向低电势，可知电场强度方向向上，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子所受的电场力方向向上，故该粒子一定带正电，故A错误。粒子带正电，b处的电势最高，所以粒子在b点处的电势能最大，同理粒子在a点处的电势能最小；由于粒子运动过程中只有电场力做功，则粒子的动能与电势能的总和不变，所以粒子在b点处的动能最小，在a点处的动能最大，故B错误，C正确。由题图只能判断出粒子受力的方向与电势能、动能的大小关系，不能判断出粒子是否是从a点运动到b点，再运动到c点，故D错误。
【技法总结】
eq \a\vs4\al(变式1)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为 10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为 6 eV。下列说法正确的是( )
A. 平面c上的电势为0
B. 该电子可能到达不了平面f
C. 该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D. 该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB 解析：电子在等势面b时的电势能Ep＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加 2 eV，则电子在等势面c上的电势能为0，等势面c上的电势为0，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能为2 eV，C错误；电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝ eq \f(1,2)mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的 eq \r(2) 倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。
eq \a\vs4\al(变式2)(2020·天津模拟)(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面下滑。已知在金属块下滑的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
A. 金属块带正电
B. 金属块的机械能减少了12 J
C. 金属块克服电场力做功8 J
D. 金属块的电势能减少了4 J
AB 解析：在金属块下滑的过程中动能增加了 12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加了4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场力方向水平向右，所以金属块带正电，故A正确，C、D错误；在金属块下滑的过程中重力做功24 J，重力势能减少了24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少了12 J，故B正确。
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为0，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功
根据UAB＝ eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式 Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
电场
等势面
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为0
等量同种(正)点电荷的电场
两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
电场力做
功的计算
电场中的
功能关系
(1)电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加，即W＝－ΔEp
(2)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者的总和不变，即ΔEk＝－ΔEp
一、电势能、电势
1．电势能
(1)电场力做功的特点
电场力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
(2)电势能
①定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移到零势能位置时静电力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
2．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ＝ eq \f(Ep,q)。
3．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之电场强度越小。
思考辨析
1．电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。(√)
2．电场强度处处为0的区域内，电势一定也处处为0。(×)
3．电荷在电势越高的位置电势能越大吗？
提示：不一定，正电荷在电势越高处电势能越大，负电荷在电势越高处电势能越小。
(1)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
(2)沿着电场线的方向，电势降低最快。
(3)导体处于静电平衡状态的两大特点
①导体内部的电场强度处处为0。
②导体是一个等势体，导体表面是等势面。
二、电势差
1．定义：在电场中，两点之间电势的差值。
2．公式：UAB＝ eq \f(WAB,q)。
3．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
思考辨析
1．电势差是一个矢量，有正值和负值之分。(×)
2．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。(×)
3．电势差由什么来决定？与电场中有无试探电荷是否有关？与零电势位置的选取有关吗？
提示：电势差由电场中两点的位置决定；与有无试探电荷无关；与零电势位置的选取也无关。
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。即UAB＝Ed，也可以写作E＝ eq \f(UAB,d)。
2．公式UAB＝Ed的适用范围：匀强电场。
思考辨析
1．由公式E＝ eq \f(UAB,d)可知，匀强电场中电场强度E与电势差UAB成正比。
(×)
2．在匀强电场中，沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等。
(√)
3．V/m和N/C都是电场强度的单位，它们之间如何换算呢？
提示：1 V/m＝ eq \f(1 J,C·m)＝ eq \f(1 N·m,C·m)＝1 N/C。
考点1 电势能、电势和等势面(能力考点)
考向1 电场强度与电势的判断
eq \a\vs4\al(典例)(2020·全国卷Ⅱ)(多选)如图所示，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等，则( )
A. a、b两点的电场强度相等
B. a、b两点的电势相等
C. c、d两点的电场强度相等
D. c、d两点的电势相等
【自主解答】
ABC 解析：如图所示，为等量异种点电荷周围空间的电场线分布图。
本题的带电圆环可拆解成无数对这样等量异种点电荷的电场，沿竖直直径平行放置。它们有共同的对称轴PP′，PP′所在的水平面与每一条电场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为0，故在PP′上的点电势为0，即φa＝φb＝0，而从M点到N点，电势一直在降低，即φc>φd，故B正确，D错误；上、下两侧电场线对称分布，左、右两侧电场线也对称分布，由电场的叠加原理可知A、C正确。
【技法总结】
电势高低的判断方法
考向2 电势与电势能的判断
eq \a\vs4\al(典例)(2020·山东高考)(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。过O点作两正点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c点和b、d点，如图所示。以下说法正确的是( )
A. a点电势低于O点
B. b点电势低于c点
C. 该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D. 该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【自主解答】
BD 解析：由题意可知O点的合电场强度为0，根据同种电荷之间电场线的分布可知，aO之间电场线的方向由a到O，故a点电势高于O点电势，故A错误；同理，根据同种电荷电场线的分布可知，b点电势低于c点电势，故B正确；根据电场线的分布可知，负电荷从a点运动到b点电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在a点的电势能小于在b点的电势能，故C错误；同理，根据电场线的分布可知，负电荷从c点运动到d点电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故D正确。
【技法总结】
电势能大小的判断方法
1．(2020·全国卷Ⅲ)(多选)如图所示，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为 q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是( )
A. 沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C. 正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D. 将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负功
BC 解析：点电荷的电场以点电荷为中心，向四周呈放射状，如图所示。
∠M是最大内角，所以PN>PM，根据点电荷的电场强度公式E＝k eq \f(Q,r2)(或者根据电场线的疏密程度)可知，从M点到N点，电场强度的大小先增大后减小，故A错误；电场线与等势面(图中虚线)处处垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以从M点到N点，电势先增大后减小，B正确；M、N两点的电势大小关系为φM>φN，根据电势能的公式Ep＝qφ可知，正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，C正确；将正电荷从M点移动到N点，电势能减小，电场力所做的总功为正功，D错误。
2．(2021·辽宁模考)(多选)电荷量相等的四个点电荷分别固定于正方形的四个顶点，O点是正方形的中心，电场线分布如图所示，取无限远处电势为0。下列说法正确的是( )
A. 正方形右下角电荷q带正电
B. M、N、P三点中N点电场强度最小
C. M、N、P三点中M点电势最高
D. 负电荷在P点的电势能比在O点的电势能小
AC 解析：根据电场线的特点，正方形左上角电荷带正电，右上角电荷带负电，右下角电荷带正电，左下角电荷带负电，A正确；根据电场线的疏密可知，M、N、P三点中M点电场强度最小，B错误；依据对称性可知，O点电势为0，M点电势为0，N、P两点更接近负电荷，电势为负，所以三点中M点电势最高，C正确；将负电荷从P点移动到O点，电势升高，电场力做正功，电势能减少，所以负电荷在P点的电势能比在O点的电势能高，D错误。
考点2 电势差与电场强度的关系(基础考点)
1．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B两点连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势( )
A. φC＝10 V B. φC>10 V
C. φC<10 V D. 上述选项都不正确
C 解析：由于A、C两点之间的电场线比C、B两点之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC< eq \f(φA＋φB,2)，即φC<10 V，选项C正确。
2．(多选)如下列选项图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F两点三等分AB，G为AC的中点，则能正确表示该电场的电场强度方向的是( )
A B
C D
BC 解析：匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分。把AB等分为三段，A、B两点间的电势差为3 V，则每等份电势差为1 V，H点电势为4 V，F点电势为 3 V，将F、C两点相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC等分为两份，A、C两点间的电势差为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确。
3．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A. 电场强度的大小为2.5 V/cm
B. 坐标原点处的电势为1 V
C. 电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D. 电子从b点运动到c点，电场力做功9 eV
ABD 解析：ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的电场强度大小的分量分别为E1＝ eq \f(Uca,ac)＝2 V/cm、E2＝ eq \f(Ucb,bc)＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得 φO＝1 V，B项正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10 eV、－17 eV和－26 eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝(－17 eV)－(－26 eV)＝9 eV，D项正确。
1．公式E＝ eq \f(UAB,d) 的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场线方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．由E＝ eq \f(UAB,d) 可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝ eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示。
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且 AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
甲乙
3．解题思路
考点3 电场线、等势面和粒子轨迹结合问题(能力考点)
考向1 电场线与运动轨迹问题
eq \a\vs4\al(典例)(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M点和N点时的加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A. vM＜vN，aM＜aN B. vM＜vN，φM＜φN
C. φM＜φN，EpM＜EpN D. aM＜aN，EpM＜EpN
解决这类带电粒子在电场中运动的思路是：根据运动轨迹判断出所受电场力方向，然后进一步判断电势、电场强度、电势能、动能等物理量的变化。
【自主解答】
D 解析：同一电场中，电场线密的地方电场强度大，粒子受到的电场力大，所以aM
【技法总结】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的判断方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向运动轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的电性判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增大。
考向2 等势面与运动轨迹问题
eq \a\vs4\al(典例)(多选)图中所示的虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定的初速度射入电场，实线为带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则该带电粒子( )
A. 带负电
B. 在c点受力最大
C. 在b点的电势能大于在c点的电势能
D. 由a点运动到b点的动能变化大于由b点运动到c点的动能变化
【自主解答】
CD 解析：由带电粒子进入正点电荷形成的电场中的运动轨迹可以看出两者相互排斥，故带电粒子带正电，选项A错误；根据库仑定律F＝k eq \f(q1q2,r2) 可知，a、b、c三点中，该带电粒子在a点时受力最大，选项B错误；带电粒子从b点运动到c点的过程中，电场力做正功，电势能减小，故在b点的电势能大于在c点的电势能，选项C正确；由于虚线为等间距的同心圆，故Uab>Ubc，所以Wab>Wbc，根据动能定理，带电粒子由a点运动到b点的动能变化大于由b点运动到c点的动能变化，选项D正确。
【核心归纳】
几种典型电场的等势面
1．(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若带电粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
A. 带正电
B. 速度先变大后变小
C. 电势能先变大后变小
D. 经过b点和d点时的速度大小相同
CD 解析：根据粒子的运动轨迹及等势面的分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a→c→e的过程中电势能先增大后减小，则粒子的动能先减小后增大，即速度先减小后增大，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，粒子在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确。
2．(2020·北京模拟)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则( )
A. a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B. M、N两点间的电势差|UMN|等于N、Q两点间的电势差|UNQ|
C. a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D. a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
D 解析：由题图可知，a粒子的运动轨迹方向向右弯曲，a粒子所受电场力方向向右，b粒子的运动轨迹向左弯曲，b粒子所受电场力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a粒子所受电场力逐渐减小，加速度逐渐减小，b粒子所受电场力逐渐增大，加速度逐渐增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度的大小大于NQ段电场强度的大小，所以M、N两点间的电势差 |UMN|大于N、Q两点间的电势差|UNQ|，故B错误；根据电场力做功公式 W＝qU，|UMN|＞|UNQ|，故a粒子从等势线2到等势线3的过程中电场力做的功小于b粒子从等势线2到等势线1的过程中电场力做的功，所以a粒子从出发到等势线3的动能变化量比b粒子从出发到等势线1的动能变化量小，故D正确。
eq \a\vs4\al(典例)(2020·石家庄模拟)如图所示，虚线为某匀强电场的等势面，电势分别为10 V、20 V和30 V，实线是某带电粒子在电场中运动的轨迹。不计带电粒子的重力，则该粒子( )
A. 带负电
B. 三点的动能大小关系Eka＜Ekc＜Ekb
C. 三点的电势能大小关系Epa＜Epc＜Epb
D. 一定是从a点运动到b点，再运动到c点
【自主解答】
C 解析：根据电场线与等势面垂直，且由高电势指向低电势，可知电场强度方向向上，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子所受的电场力方向向上，故该粒子一定带正电，故A错误。粒子带正电，b处的电势最高，所以粒子在b点处的电势能最大，同理粒子在a点处的电势能最小；由于粒子运动过程中只有电场力做功，则粒子的动能与电势能的总和不变，所以粒子在b点处的动能最小，在a点处的动能最大，故B错误，C正确。由题图只能判断出粒子受力的方向与电势能、动能的大小关系，不能判断出粒子是否是从a点运动到b点，再运动到c点，故D错误。
【技法总结】
eq \a\vs4\al(变式1)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为 10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为 6 eV。下列说法正确的是( )
A. 平面c上的电势为0
B. 该电子可能到达不了平面f
C. 该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D. 该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB 解析：电子在等势面b时的电势能Ep＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加 2 eV，则电子在等势面c上的电势能为0，等势面c上的电势为0，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能为2 eV，C错误；电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝ eq \f(1,2)mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的 eq \r(2) 倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。
eq \a\vs4\al(变式2)(2020·天津模拟)(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面下滑。已知在金属块下滑的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
A. 金属块带正电
B. 金属块的机械能减少了12 J
C. 金属块克服电场力做功8 J
D. 金属块的电势能减少了4 J
AB 解析：在金属块下滑的过程中动能增加了 12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加了4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场力方向水平向右，所以金属块带正电，故A正确，C、D错误；在金属块下滑的过程中重力做功24 J，重力势能减少了24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少了12 J，故B正确。
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为0，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功
根据UAB＝ eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式 Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
电场
等势面
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为0
等量同种(正)点电荷的电场
两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
电场力做
功的计算
电场中的
功能关系
(1)电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加，即W＝－ΔEp
(2)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者的总和不变，即ΔEk＝－ΔEp
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